장음표시 사용
271쪽
viis determinetur ex particulari, dum hic reperitur , - 1. Habet nimiarum ι in easu praesenti valorem duplicem , alterum positivum H-a, alte
S. I98. Qui quae de circulo diximus probe perpendit, ei non haerebit aqua circa ca, quae de sectionibus conicis aliisque curvis in praesenti capite, & de locis geometricis insequente demonstrantur. Incepimus a parabola, quae est sectionum coniis carum simplicissima. AEquatio ejus I o. Quodsi fiat
Tab.II. Atque adeo patet I . in origine Fl. 3. abscissae A curvam secare rectam da, iam , ad quam resertur, A X. Sit alia abscissa AP - υ, eidem respondens semiordinata PΜ - α,
adeoque 3 e Ia'. Crestentibus adeo abscissis, semiordinatae quoque crescunt ἰ consequenter curva in infinitum continuari potest, & ab axe AX continuo magis magisque recedit. Si fiat x aerit o a
3 o. Qitando igitur abscissa par metro aequalis, etiam semiordinataeidem aequalis est, consequenter si abscissa parametro aequalis , semio dinata & abscissa aequalet sunt.
4'. Si ergo semiordinata semipar metro aequalis, quarta diametri parto a vertice A seu origine sua distat. Quodsi a quationem ad parabolam
. cum aequatione pro omnibus curvis algebraicis conferre volueris ; cum haec sit: κε - - pro parabola vero
& in hac deficiat D & terminus co stans ex mere cognitis respondens ipsias, aequatio generalis contrahitur in
Haec addere libuit, ut appareat, eodem modo tractari posse aequationem ad parabo am, qua tractavimus aequa tionem ad circulum. Cetera enim patent per resolutionem problem tum in hoc capite propositorum. Κk 1 S. Iss.
272쪽
,so DE STUDIO MATHESEOS RECTE INITIT.
g. Iss. De methodo tangentium, qua utimur problematis I 8 I , I 89,2O8, . 6 Io, 44o, 49I A IU. , quaedam adhuc annotanda sunt. Tangentes curvarum facillime determinantur per calculum differentialem, quemadmodum in Analysi infinitoriim docemus. Quoniam vero sectiones conicas reserre minime licet ad diametrum, nisi praesupposita tangente, cui semiordinatae sunt parallelae& quae ex puncto contactus ducitur; ideo necestarium fuit tangentem determinari per Adgebram communem. Adhibuimus itaque mei dum CAR-TEsli, quae nititur hoc principio, quod in contactu duae radices evadant aequales r Id quod superius in Tab. II. circulo reperimus L I93 γ. Pona- Fig. 3. mus enesm rectam TR secare curvam
in M & N; evidens est, quod, si a seissae AP & A dicantur x , eisdem respondere duas semiordinatas PM &QN, per quas,in aequatione explicari
potest. Ducatur alia i r, quae eandem curvam secat in punctis m & nt habebimus denuo duas semiordinatas per quas explicatur 3 inaequatione data. Patet autem abscissam unam PM continuo crescere,
di alteram QN continuo decrescere, donec punctis M & N in contactu incidentibus, in aequatione data una alteri fiat aequalis. Ad haec qui
animum advertit, nullo negotio de
prehendet , quomodo ad methodum istam pervenire licuerit. Patebit autem suo loco, subtangentem per hanc methodum prodire eandem in secti
nibus conicis, quae invenitur per cauculum diffirentialem. Etsi autem haec methodus videatur universalis, ad tantas tamen in curvis altioribus calculi perelexitates deducit, quae vix videntur inperabiles. Unde in ea perficienda plurimum desudarunt Ge metrae, donec tandem ope calculi disserentialis obtentum suerit quod
2 o. In EllipsisS. qao Analy . Q iodsi hic ponas.
Quamobrem patet, I '. In origine abscissirum curvam secare rectam p sitione datam, ad quam refertur.. si fiat x - aerit
adeoque denuo 1 o Unde liquet, a . curvam quoque secare rectam, ad quam resertur, si abscissa fit datae a aequalis, adeoque concavitatem obvertere eidem rectae: ex quo porro sequitur, cum ex altera parte eiam modo sese habeant , aquae modo reperimus, curvam esse in se redeuntem. Fiat
273쪽
3'. AEquatio adeo ad' ellipsin d generat in aequationon ad cireulum, ut circulus pro specie quadam ellipseos haberi possit, nacturus nomen ellipseos aequilaterae, nisi jam antea nomine circuli insignita fuisset luee
Quodsi a ponatur infinita , erit inaequatione ad ellipsin
adeoque γ' ta Cum adeo aequatio ad ellipsin degeneret in aequationem ad parabolam, ideo liquet 4 . In locum ellipseos, cujus axis infinitus est,surrogari posse parabolam eandem cum ellipsi par
Quodsi quis' haereat in infinitate axis elliptici , & in eo, quod hinc
colligatur op is evolvat, quae in Ontologia de infinito mathematico demonstravimus. S. aor. Eodem modo in hyperbola quoque generalia quaedam ex aequa. tione ejus colliguntur. . AEquatio ad hyperbolam est: a 'ς Ex ψία , seuerit 3 o Patet ergo 1'. in origine abscis
rum curvam secare rectam position: datam, ad quam ea refertur. Sit x in erit a' ab Φῶ- a ab
I V aia Unde liquet 1'. si abscissa fuerit axii transverso aequalis , semiordinatam sere mediam proportionalem inter axem transvertiim & duplam pari
Patet adeo 3'. si abscissi fuerit para o metro aequalis, semiordinatam esse mediam proportis lem inter patet metrum & compositam ex parametro & tertia proportionali ad axem traei versum & parametrum. Sit alia abscissi υ, aliis semior nata eidem respondens ni erit m
274쪽
DE STUDI O MATHESEOS RECTE INSTIT.
1 Patet itaque '. crescente abscissa crescere se ordinatam; adeoque curvam continuo magis magisque ab axe recederet consequenter in infinitum continuari.
Quodsi aequationem pro hyperbola eum generali pro omnibus algebraicis conferre volueris; cum sita Φbx - - σκη γ' - ἄ- o
ι--ab A t k b,ν Reliqua in ipsa Analysi reperiunturi, S. 2o a. Enimvero applicemus eandem methodum ad aequationem pro hyperbola intra a*mptotos. Quoniam xy - ab ,. 'ab . '
. I adeoque, at infinit. Patet itaque 1'. in origῖne abse s rum semiordinatam esse infinitam. Similiter cum sit 3-
deoque I Unde liquet 2'. rectam, in qua B-muntur abscisi, cum curva non concurrere nisi intervallo infinito, seu ab eadem non distare nisi intervallo infinite parvo; quatenus a b quantitas ordinaria per infinitam divisa dat particulam infinite parvam, quae reupective nihilum est. Sit jam alia abscissa v, semiordunata alia α; erit per naturam curvae
adeoque ae Videmus ergo 3'. crescente abscissa decrescere semiordinatam; consequenter lineam curvam continuo magis magisque ad eam appropim quare rectam, in qua sumuntur semiordinatae. Quoniam Itaque haec cum curva non concurrit nisi infinito intervallo,
aut potius ab eadem non distat nisi quantitate infinite parva , quando illa
275쪽
ῖla in infinitum continuatur - num. α ι & in origine abscissarum semiordinata infinita vi num. I s curva continetur inter duas rectas, quae in infinitum excurrunt, de ad quas curva continuo propius propivique a eedit, nunquam tamen easdem secat. Continctur adeo inter asymptotos. Ex hoc exemplo apparet, quomodo ex aequatione colligatur, quod cur-Va, quae per eam definitur, habeat asympt OS. g. ao 3. Sed demus etiam exemplum in curva quadam superioris generis, cujus aequatio perplexa videtur. Sit itaque x ibae sex
invenimus pro Conchoide prima sive sepeliore s. F38 Anal.) ; erit
Quando igitur 2 . abscissa fit ipsi inaequalis, semiordinata nulla est, adeo. que curva rectam, in qua sumuntur abscisis, secat. Quoniam 3 ex infinita nulla evadit, dum x ex nihilo degenerat in a . necesse est 3'. crescente abscissa decrescere semiordinatam.
Est igitur 1 latus trianguli rectanguli, cujus hypothenuis componiis
b dc x. , Unde liquet, 4 . Si semia ordinata infinita dicatur regula, rectab distantia poli a regula, recta vero a distantia verticis a regula, quemadmodum termini in Conchoide recep- ti sunt f. 131 Anal. ; semiordinatain esse crus ti ianguli rectanguli, cujus hypothenuis componitur ex tertiis proportionali ad abscissam eius origine in regula constituta ), dista tiam regulae a vertice se ejusdem
276쪽
,s DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
a polo distantiam, atque distantia
ejusdem regulae a vertice, crus vero
alterum ex abscissa & distantia regulaea pol O. Tab.II. Hinc sq. ex data abscissa BP , distantia regulae a polo BC, & a vertice BA, reperitur semioidinata PM, si ex P intervallo BA intersecetur regula in G, & recta PD producatur, donec perpendiculari CH in polo erecta in H occurrat ; tandemque intervallo CH intersecetur PM ad AB perpendicularis in M. Quoniam enim PB x, PO a, BC-b; erit ΟΗ-- consequenter
PH - - Φ a , trianguli rectanguli P C H hypothenusa. Quamobrem cum porro sit CP bΦx; erit CH consequenter quia PM-CH; erit PM semiordinata quaesita. Quodsi fiat CL - PB & CN-BA, ac LN ad BC perpendicularis ; recta CNproducta statim resecabit semiordinatam PM. Manifestum itaque est, quomodo ex aequatione eruatur modus determinandi geometrice punctum curvae respondens cuilibet abscissae, quamvis aquatio primo intuitu videatur admodum perplexa. Ceterum in applicatione methodi generalis adhi-hentur varia artificia, ex anterioribus equidem nota, quae tamen tyroni non statim succurrunti Quamobrem hinc elucescit, quod jam saepe inculcavimus , artem exercendam esse petexempla, myn per regulas particul res . etsi particulares annotandae sint, ubi occurrunt; ut tanto facilius se curram, quando denuo iisdem opus habemus. Non addimus de concho, de alia, quae ex eius aequatione d
duci poterant, ne simus justo prolixiores.
S. ao . Etsi ex dictis appareat, ductum curvae hac methodo facillime indagari posse, ut de reliquis tace,
mus; non tamen existit nandum est,
idem in qualibet promiscue curva e dem facilitate succedere. Etenim si in aequationibus altioribus occurrunt termini , quos duae indeterminatae ingrediuntur, nec earum separatio in promptu est , quemadmodum vidimus in conchoide S. 1o 3 J ; haerebit
Quodsi ponamus x a , prodibit γ' aequatio cubica affecta, ex qua radicis extractio difficilis &cujus constructio geometrica per inferiora demum patet. Similiter, quamvis per calculum algebraicum, quae quaeruntur, haud raro mira facilitate eruantur, quemadmodum supra vidimus in circulo S. 3934, & plurima capitis praesentis problemata loquuntur, quae de sectionibus conicis proposuimus; subinde tamen cauculus prolixus & intricatus evadit, proiiti videre licet in probi. I93 Is ,
277쪽
I. ros. Nos sectiones conicas consideravimus in plano & aequationes assumsimus, quae eas definiunt. Hinc vero nondum constat, curvas istas esse se nes coni, nisi supponas theoriam sectionum conicarum a Veteribus traditam, tanquam comitam. Quamobrem consultum esse duximus analytice demonstrari, sectione coni prodire has ipsas curvas, quas in plano consideravitnus, & quarum d scriptiones, proprietates aliaque symptomata ex aequationibus assumtis deduximus S. si I & seqq. Anal. . PO-teramus aequationes, quas assumsimus, Eruere ex proprietatibus , quas exsectione coni derivavimus e sed cur hoc minime fecerimus, jam monubmus S. si 4 AE L . Ex. gr. pro pa rabola ex sectione coni deduximus.
ubi 3 de ρ denotant semiordinatas,
α & E autem ipsis respondentes a scissas. Quoniam etiam est
1 :-: neri r-: - ἔQuare si ponamus, constantem a talem assumi, ut sit 3 --; evidens est fore etiameimo, atque adeo in omni puncto curvae esse quadratum semiordinatae aequale rectangulo ex abscissa in eandem rectam constam te n. Posse autem a talem assumi,
ut sit 3 -- patet, quia a tertia proportionalis est ad abscisam &semiordinatam. Idem etiam hoc . Oper. Acurim. Tom. V.
modo patere poterat. Si alternaniado esse debet 3 : κ-q : α S. I 73Arium. cum ratio non sit nisi homogeneorum S. Ias Arium. κ de Edenotare debent rectangula, quorum latus unum unius est x, latus unum alterius e , latus vero alterum unitas seu recta, quae pro unitate sumitur S. 37s Ge/m. , utique eadem utro
haec rina reicere debet rectangulum I x, aequale quadrato 1 , unitas ista degenerare debet in tertiam proin portionalem ad x &r, quam fore eandem cum tertia proportionali ad ρ & e per modo demonstrata patet. Unde manifestum est, aequationem ad sectionem coni praesentem esse
Notandum adeo hic est, si in aequationibus non appareat lex homogeneorum observata,termini pauciorum dimensionum coefficientem csse unitatem, seu rectam quandam detcrmin, tam , quae pro unitate sumitur. Cum' autem quaelibet recta pro unitate aiasiimi possit, unitatem esse eandem non sumendum, sed demonstrandum est.
Ita sumere licet 1 - x, ubi coesiaciens. ipsius x est Is sumere quoque licet ubi coefficiens ipsius Eest x. Enimvero non licet sumere cocflicientes ipsarum x& eesse aequales; sed hoc demonstrandum, quem admodum ex modo dictis daret. Ni- hil hic supponitur, quod non sit ex notione numeri rationalis integri manifestum , quem in communi Arith- L l metica
278쪽
metica practica consideramus i modo ad communia perpendenda omnem attentionem ineramus: qua neglecta, haud raro haerent tyrones , ubi s mlntur quae per ea patent,& ad ardua magis applicantur; nisi fide Mathemati.
rum tanquam vera admittere velint, . quorum rationem minime capiunt.
S. 2o6. Id quoque notandum est, in aequationibus, per quas definiuntur curvae, originem abscissarum non semper assumendam esse in aliquo curvae puncto , etiam si recta , ad quam curva refertur, eandem secat
vel tangit; sed eandem esse posse quodvis punctum aliud in eadem
recta assumtum. Ita ex. gr. in circulo, si peripheriae puncta reseruntur Tab. I. ad diametrum AB, origo abscissarum statui potest in centro C, ut sit PC- x, PM 3 & radius AC - MC
finit , quam altera, quam supra dedimus, & unde circuli genosin atque proprietates, cum aliis symptomatis, deduximus s. is 3 . Atque ex hac aequatione eadem deducere licet,quae ibidem ex altera deduximus, si tanquam data supponatur, ut adhuc
igaoretur, ad quamnam curvam ea
Unde liquet 1 . in origine abscisaiarum semiordinatam esse constanti a
aequalem. Si vero ponas x aerit -- ΟΙ - Ο ' Unde patet a o. si abscissa fiat semia ordinatae, quae in origine abscissarum est vi num. I ), aequalis, curvam secare rectam positione datam, ad quam
Quoniam a in x ; ideo Iuquet, 3'. Hypothenusam tr anguli rectanguli, cujus crura sunt abscissa& semiordinata, ad quodvis punctum
curvae esse eandem; consequenter
cum haec hypothenusa constanter ex origine abicissarum ducatur, rectis omnes ex origine abscissarum ductas ad curvam esse inter se aequales. AEquatio adeo nos deducit ad gen sin circuli non minus, quam ad definitionem ejus nominalem ; &, ubi definitio circuli ex elementis nota supponitur, hinc discimus, aequationem esse ad circulum. Imnio potest origo abscissarum etiam extra centrum statui, veluti in L, ubi ALTab.II. constans est, & abscissa LP. Sit enim AL , AB a, L x, PM
279쪽
CU. IV DE STUDQuodsi hie ponas
erit 3 -A-ό Unde liquet, iri in origine a scissatum semiordinatam esse mediam proportionalem inter rectam quandam constantem b & disserentiam ejus a constante alia a.
Patet itaque a . abscissam num
ruam fieri posse ipsi a aequalem, sed
Patet adeo, 3'. si abscissa fiat diffsetentiae quantitatum constantium aequa. lis, curvam secare rectam positione datam . Sit x la-ι erit 3 -A-ι - ab --- la s
AEquatio igitur degenerat in aequationem ordinariam pro circulo g. I 93 . Licet etiam originem abscissarum statuere extra circulum, veluti in N, ut sit, NP-x, adeoque si NA b, AP - κ-b. Et similiter abscissas computare licet in aliqua a centro C distantia, ut earum origo vel stinter A & C, vel inter C & B. Haec si nolent tyrones, in doctrina de locis geometricis & constructione aequationum altiorum nihil prorsus sentient dissicultatis. Patebit etiam , quomodo ad sormulas generales plana st via. Quae vero hic annot mus de relatione curvarum ad rectam, quae curvam in puncto quodam se. cat, eadem quoque locum habent, ubi eandem reterre.libuerit ad rectam extra curvam quomodocunque sitam. Nec oleum atque operam perdunt Urones, si in omni casu possibili aequationem ad circulum investigent, ut methodum definiendi curvas per aequationem intimius inspiciant ben sicio exempli omnium facillimi ¬issimi , idem imitaturi in curvis aliis, quod in circulo secere. s. ao7. Enimvero abunde ea d cuimus , quae in hac methodo lucem accendunt tyronibus, ne in ten
280쪽
, G DE STUDIO MATHESEOS RECTE IN WIT
hris palpitent ad magis ardua progressi, quemadmodum vulgo accidere solet. Sed dicenda quoque nonnulla sunt de lineis non algebraicis, . quarum nonnulis sub finem capitis Definimus Quadratri
P ubi ae denotat arcum AN, a Quadrantem. AB, b radium AC,& po tionem radii AP, quae ad radium
eandem rationem habet, quam habet arcus AN ad Quadrantem. Quamobrem etsi aequatio alias definiat triangulum rectangulum aequicrurum ἰerinsequenter in ea spectetur relatio
rectae, quae hypothenusa est ad erus uniim, in quo fimuntur abscissae; praesenti tamen in cassi aequatio, quae eadem videtur, prorsiis diverse est. Etenim in casu priori, quando est ad
triangulum rectangulum aequicrurum, a & x denotant lineas rectas; in posteriori autem, quando ad Quadratricem est, a designat quadrantem sκ arcum circuli quadrante minorem. AEquatio igitur algebraica non est; nisi eum in ea singulae literae denotent totidem re M. Hoc tamen non O
stante aequationes isti usinodi, quas curvae lineae ingrediuntur, tractari possunt eodem modo, quo ante tra ctavimus algebraicas: quod succedere ipsa praesens aequatio docere potest. Etenim si fiat π - o
Atque adeo patet, quadratricem concurrere cum radio in origine abscissae Si x aerit ρο- ab
I binde liquet, quamprisum x fit quadranti aequalis, rectam AP. quae designatur per 3, degenerare in raedium.
deduci possint, suo patebit loco Ls 1 riri. insin. : id quod omnino
notandum, ne nullum in usum aequa, 'tio ista data videatur. Singulare quid habet aequatio quod non exprimat relationem ipsius curvae ad rectam positionem datam per se, sed relationem potius curvae alterius . nimirum Quadrantis circuli, cujus ope determinatur punctum Μ;
quod rectae AP & arcui AN, hoe est
duabus indeterminatis 1 & κ respondet. Exprimit scilicet relationem arcus AN ad rectam AP, qualis esse debeat, ut ipsi AP respondeat pumctum M in Quadratrice. Data enim hac relatione datur etiam punctum M.