장음표시 사용
291쪽
inare si ad semiaxem majorem, &- minorem ellipseos, atque abscissam AP pro arbitrio assumtam, quaeratur quarta proportionalis; erit ea abscissa Ein cui respondet semiordinata QN in circulo semiordinatae ellipseos PMaequalis. Quodsi displicet resolutio per analysiii rationum; analogiam, qua nititur constructio, per Algebram quoque reperire licet. Etenim
Notanda hie sunt artificia, quibus
constructiones ex aequatione Ordinaria eliciuntur. Nimirum in aequa tione ordinaria iubstituimus valorem parametri, quam ex eadem clicuumus, ut eandem ingrediamur nonnisi lineae in ipsa contentae. Ita enim prodibat aequatio , cujus in analogiam resoliuione constructio pilor crat manifesta. Ex eadem aequatione in analogiam resoluta prodit quoque altera ; substituendo valorem quadrati semiordinatae ellipseos ex circulo circa axem minorem descripto. Equidem praevidere non licet, quid per substitutionem sit proditurum; noniasiten ideo ea negligenda est. Ubi enim Veritatem quaerimus; tentanda sunt omnia , donec incidamus in theoremata & constructiones problematum. Principii substitutionis magna vis est in Analysi i essicit enim aequationem dependentem a pluribus veritatibus, ut jam ex ea per reductionem cadem erui possint, quae ex iisdem more Veterum ratiocinando colliguntur. f. II 6. Enimvero ut Intelligant, Tab Im tyrones, idem artificium etiam in aliis
curvis adhiberi posse, lubet hoc ipsum applicare ad hyperbolam. Pro hyperbola aequatio ordinaria est 3
coniugatus d , parameter b- . Quodsi ergo hunc valorem in aequatione ordinaria substituas, habebis d ax in d* x
292쪽
1go DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
Quodsi ergo ex centro hyperbolae ter PM PN Quamobrem punctum C erigas CD - μ, & super BP, a, M in eadem nullo sere negotio descissa AP pro lubitu assumta, destria terminatur. scilicet si ex medio BP, bas semicirculum secantem perpendi- intervallo j BP, intersecetur AN incularem in A erectam in N, & PN N, & intervallo PN intersecetur PM V a v Φ x transferas ex B in L, in M; ut adeo non opus sit, nisi in tandemque in L erigas perpendicu- A erigi perpendicularem infinitam. larcm LI, Occurrentem rectae per B s. 237. Nos non progredimur& D ductae In I; erit LI semiordina- ultra loca solida, in quibus acquista 3 abscisi, AP respondens. Quam- verunt Ucteres r neque enim haec obrem, si fiat recta PM ad BP per- doctrina ultra hosce limites multum petulicularis LI ; erit punctum M promota. NEwToNUs enumera- in liyperbola. Cum in praxi non vit lineas tertii ordinis, seu curvas opus sit semicirculum describi, sed secundi generis, quarum aequationes eX medio BP, tantummodo inter se- ad tres dimensiones asccndunt. Eam canda reM AN in N, & intervallum esse completam demonstravit ST I R- PNex B in L transferendum; quod- LlNGlus, simulque ostendit, qu vis in hyperbola piandium M hoc modo, aequatione curvae totii ordi-thodo facillime determinatur, ut con- nis data, inveniatur locus, hoc est, structio pro non ineleganti haberi species curvatum dignoscatur, adpoisit, Notcnt igitur hic tyrones, i quam madem est. Enimvero haec quod ad artificia, quibus in solutio- non sunt ad captum tyronum , innibus problematum utuntur Autores, quorum usum conscripsimus Ele- animum attendere debeant, eadem menta nostra; neque adhuc ea r
statim adhibituri ad alia, quantum' tione pertractata, ut eadem facilita- ipsis datur. Nec inconsultum erit, te intelligantur, qua a nobis propO- ut Autores, qui de sectionibus co- sta capiuntur. Neque etiam opus nicis commentati sunt, evolvant, &jest, ut hac doctrina sis instructiis,' ubi the6remara & problemata ele- ubi ca, quae in sequentibus tradi-
Rantia occurrunt, ea analytice invo mus, intelligere volueris; immo e
piganda sibi proponant. Ad hoc dem ignorata non impeditur progi cia studium ut eos incitaremus, iisdem-jsus in Analysi recentiorum, qua Ge
que viam, qua cundum, common- metria ad naturam applicatur. Hoc straretitus , ca in mzdium proferre non eo fine monemus, ut praeclaris
libuit, quae de ellipsi & hyperbola inventis laudem sitam detrahamus Idicta sunt. Unicum adhuc addρο - sed ne tyrones remorentur progreudii m. In hyperbola aequilatera a d, sum ad ulteriora ; affectantes scien- adcoquest v axix' , consequen- tiam eorum , quorum ignorantia ei-
293쪽
dem minime obstat. Monitum igitur nostium exigit praesens institutum. Ultra enumerationem linearum tertii ordinis, seu curvarum secundi generis, nemo adhuc progressias. Atque adeo doctrina de speciebus curvarum algebraicarum tanto adhuc intervallo distat a perfectione sua, quanto ab eadem distare Algebram monuimus.
Abunde tyronibus ad altiora adspirantibus susticiunt ca, quae de locis geometricis tradidimus. Et ubi ad artificia, quibus in doctrina hac explananda utimur , animum attulerint
attentum, ut eadem animo distincte comprehendant ; iisdem plurimum iuvabuntur in altioribus, quae deinceps sequuntur. Hoc auxilio m modus comparationis aequationum
particularium, in quibus coeficientes indeterminatarum sunt determinati, cum assumtitiis, in quibus coefficientes isti indeterminati sunt, familiaris redditur. Ejus autem in Analysi
multus est usus. s. a I 8. Doctrinam de locis geometricis non solum proposuimus in usum consti iustionis problematum indeterminatorum , cujus ideo dedimus aliquot exempla ; sed & in usum
construct onis aequationum altiorum,
praesertim cubicarum & biquadraticarum. Quamobrem capite septimo docemus primum in genere, quomodo aequationes superiores construam
tur , & mox in specie , quomodo
Construantur aequationes cubicar & hiquadraticae. Methodus autem, qua
llic utimur, tota huc redit, ut co struantur duo loca, quorum inter sectione determinatur radix aequationis, seu linea recta, quae eidem respondet. Invenit candem SI Ust Us.
Et si enim non desint, qui eam jam
C A R T E s i o perspectam fuisse comtendunt; certo tamen, quod ais mant, probare minime possunt; cum
alia quoque via in regulam suam incidere potuerit, quam in Geometria pro construendis aequationibus cubiacis & biquadraticis, per parabolam& circulum, priscribit. Qtiemadmodum vero inventa Ueterum profuerunt Recentioribus ad invenienda sua, quibus ad ulteriora progressuris usui sunt inventa anteriora; ita dubium non est, quin Veterum quoque inventa facem protulerint S L υ s i oad methodum suam construendi aequationes cubicas & biquadraticas inveniendam. Etenim cum Veteres mulintum desudarent in duabus lineis EF, GH , mediis continue proportionalibus inter duas datas AB, CD, in- Tab.
veniendis; MEN E CH M Us via vere m. analytica pcrvenit ad solutionem pro rise 9'blematis tantopere celebrati, ope intersectionis duarum parabolarum. Atque in hac ipse constructione conistinetur idca ejus methodi , quam SL Ust Us primus reperit : id quod ut appareat, analysis MENECAMr paulo disertius explicanda. Q ion amGH tertia proportionalis ad AB& EF, itidemque CD tertia proportionalis
294쪽
rga DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
Patet itaque, quadratum primae mediarum continue proportionalium esse aequale rectangulo ex data prima AB in quaesitam alteram, seu mediarum continuae proportionalium securudam; quadratum vero secundae me diarum continue proportionalium esse aequale rectangulo ex datarum altera in primam quaelitarum seu con
tinue proportionaliti Quoniam in parabola quadratum semiordinatae est Quale angulo ex palametro in abscissam a igitur patet si , para metro data unae AB, describatur parabola ; secundam quaesitarum GH fore in numero abscisti um, & cidem respondentem semiordinatam fore Mimam quaesitarum EF : contra si, parametro data altera CD, describrutur parabola secundam quaesitarum GH sore in numero semiordinatarii mejusdem, & eidem respondentem abscissam fore primam quaesitarum. inamobrem patet eandem rectam esse abscis in parabola una &semiordinatam in altera, & quae in una semiordinata est , eandem esse Tab. tu altera. obtinet hoe si
Fg 3o. duae parabolae, AMR & AMΟ , circa axes AD & AE, ad angulos rectos junctos , describantur ; in puncto enim intersectionis semiordinata PM parabolae AMR aequalis est abscissae Ain parabolae alterius AMO, & vi
cissim se ordinata QM parabolae AMO aequalis est abscissae AP pac
i rabolae AMR. Patet itaque si rectae datae sumantur pro parametris parabolarum AMR & AMO ; rectas
AP & PM sole duas medias conti nue proportionales inter duas istis revis datas. Hic est modus inveniendi duas lineas medias continue proportionales inter duas datas.
rum intersectione determinatur semi- ordinata PM, quae radici aequationix o respondet. Constructio. , adeo M E N E c M M i insinuat ideam methodi SL IsraN. . g. a I9. Inventum MENECAM Iansam quoque dare poterat inveniendae regulae Corsan , qua aequationes cubicae & biquadraticae construuntur. Nimirum cum eκ illo
constet, aequationem cubicam construi per duas parabolas , quarum
mutua intersectione determinatur radix in Arte inveniendi autem tenta. minibus multa relinquantur; ficile aniamum subit cogitatio tentandi,num ci 'culus
295쪽
has quoque per verticem parabolae ductus in puncto Intersectionis extra verticem determinet radicem 'aequa-τJ III. sonis cubicae. Sit itaque centrum cir-
i euli, per veriicem parabolae A descripti , in C ; si ex eo in axem parabolae demittatur perpendicularis CD, evidens est per rectas AD & DC determinari de centrum C, de radium AC. Sit itaque PM -', parameter a , AD , , DC c. Demit.. tatur ex C perpendicularis CR ad semiordinatam PM; erit dc ex natura Parabolae AP L s.
ritet itaque, intersectione circuli perverticem parabolae transeuntis & parabolae, construi posse aequationem cubicam, in qua secundus terminus deficit. i . Ut iam determinetur olor Ipsius b, seu reetae AD, & valor ipsius c, seu rectae DC; sit aequatio alteri aequivalens
Quodsi cum C ARTE flo sumas parametrum pro unitate, de fiat in axe m semiparametro, erit
hoc est, recta HD est aequalis coefῆ- cienti dimidio termini tertii, & DC coeficienti dimidio quarti, secundo
deficiente; quemadmodum habet regula CARTES II. Non aliis hic utimur artificiis, quam quibus usi sumus in determinanda tan gente sectionum conicarum juxta m thodum C ARTES II fg. 6 Io, 4 , yi Anast . CARTEsIo itaque conis structio MENECHMI , qua utitur in imveniendis duabus mediis continue pro- , portionalibus inter duas rectas, ansam dare potuit inveniendi regulam com. struendi aequationes cubitas, in quibus' secundus terminus deficit; & artificia ipsi familiaria, quibus hic distur, anumum avertere potuerunt ab idea comNn a structio.
296쪽
,8 DE STUDIO MATHESEOs RECTE INSTIT.
structionis per combinationem duorum locorum in constructione MENECHMl contenta, ad quam eundem advertit S LusIUS; ut adeo certo
asseverari non possit , methodum dis nam cognitam iam fuisse CAR-TEs Io, & eadem hunc pervenisse
ad regulam suam. Quicquid sit,
utile tamen est tyronibus perpendisse, quomodo inventum M E N E C Η M Ianalytice expensum, & ideam construbionis aequationum superiorum per combinationem duorum loco rum, & ansam inveniendi regulam construendi aequationes cubicas, in quibus secundus terminus deficit, ad biquadraticarum constructionem deinceps extensam, praebere potu riis, siquidem ad tertium cognitionias gradum adspirant. Quoniam ex qualibet aequatione secundus terminus
pacto aequationes cubicae omnes reis
ducuntur ad tres casus S. 34y Ana regula CARTEsI I quae tacundum terminum deficere supponit,
omnibus omnino aequationibus cubicis conflauendis sufficit; etsi haud
difficile sit eandem quoque extendere ad eas aequationes , quae secundum terminum habent, quemadmodum operose ostendit BARE RUs ; nos brevius docuimus g. 6 a a AE L). Cur vero methodum Summam praseramus regulae Carusiana a BALERO extensae, rationem reddimus in sch
i s. azo. Notandum vero est, quod constructiones aequatiotuvni cublam tum & biquadraticarum vere analyticas tradiderimus, ut.adeo in iis industriam suam utiliter exerceant, qui ad tertium cognitionis gradum asspirant. Tanta autem perspicuitate doctrinam hanc exposuimu5, ut, qui
in anterioribus industriam suam de derari non fuerunt passi, nihil pro .sus difficultatis sentiant. Inprimis
autem hinc discere licet, quomodo tollatur omnis dii ficultas, quae ex niamis longa rerum meditandarum serie nascitur. Quamobrem huc animum advertant, quotquot meditationibus longis adsuescere voluerint- Quod qui faciunt, hunc utique percipient fructum, ne longitudine meditati num defatigentur. Id tantummod adhue monemus tyrones, ut, ubi lincus construendus, formula generalis, cum qua particularis data conserenda, ex superioribus exscribatur, dieidem inruatio locaIis construendae subscribatur, ut termini comparandi sibi invicem respondeant. EA. gr.
locus ala circulum est--ιν, in bx --- o. Formulae igitur
generali ea ita subscribitur, quemadmodum hic factum esse vides:
297쪽
in vacua replentur sellaea, ut perduita voluptare persimilatur ani appareat, quinam ternunt fini nihilo mus, cpiae studium Matheseos con- aequales, in casu particulari; dato. t tinuo nimis magisque, tibi commemHoc nimirum paω statim videmus, ' dabit, &ardorem in eodem progre- quinam coeficientes sint . invicem dicndi accendet. lnprimis etiam s)neomparandi, & quinam poni debeant sim evidentiae acquires; statim pomnihilo aequales ; ne eκ confusione ' hac animadversurus, ubi distincte ortatur error. Quamvis vero, pr l perceptis quaedam permiscemur,qMelivitatis evitandae gratia, non omnia i adhuc confuse percipiuntur: id quod
combinavimus loca, quorum aequa. inprimis usui est ema Mithesin, uintiones ex aequatione cubica vel b, confuse perceptorum cum distincte quadratica elicuimus; qui tamen in- perceptis commixtio magis nocet, genium & industriam suam exercere quam in Mathesi; praesertim iis io voluerint, hoc non inutiliter facienti casibus, in quibus intellaetus ab ima- Ubi vero , comparatione aequati iginatione avocandus totus, ut vinita. num particularium, cum formula ρο- tem liquidam peripicias. Hoc etiam nerali secta, valores omnes linearum obtinebis, ine nimia festinatione te ad constructionem loci requisitarumipraecipites; i&,ut inten multos stre-
fuerunt determinati ; oculi comem plaus t attentionem. conserves pineam
tendi sunt in schema formulae gene-ique interrumpere possis, quotiescun-rali respondens & delendae lineae,ique volucris, certo semper tramite quarum valores reperti sunt nihilo progressurus, quando visum fuerita. aequales: ita enim relinquitur schema quemadmodum viator recta via inaequationi particulari respondens. cedens ab eadem minime aberrat Quamobrem si lineis remmentibus ' nec iter jam emensum rcpeteres tene-
aBoibas valores modo repertos ; tur, ubi gradum sistit, quotiescunque statim videbis, quomodo locus fit i libuerit. Neque verendum est,riit construendus. Et ubi schemata dum i diuturna meditatione defatigetur anibus locis respondentia inter se con- l musti sanitati corporis infidiae struanseri illico patebit, quomodo unum ture Non opus est ut in hisce alle- alteri sit imponendum, ut lineae, quae rendis multum studii 'collocemus , utrobique eaedem sunr, fibi mutuo quamvis ad singula demonstranda a congruanis consequenter quomodo i priori principia suppeditet Psychol aequatio data sit construenda. Hac l l gia nostra. Qui enim dictis obediens via, si Incedere volueris V non modo i fuerit, in seipso experietur, veritatiaberit i molestia, quae ex nimis diu consentanea esse, quae dicimus non icontinuanda meditatione suboritur; loquentes nisi eafferta. verum etiam congluctione ad finem l S. aii. .ioniam idem problemai
298쪽
αM DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
multis modis construi potest, cum V. gr. eidem aequationi cubicae satis. faciat non modo cujusvis loci solidicum loco ad circulum, verum etiam cujusvis loci solidi cum quovis loco solido combinatio; quaeri omnino
Poterat, quaenam curvae sint ceteris praeserendae. CARTEslus aequationes cubicas &biquadraticas non comstruit nisi per parabolam & circulum; etsi non ignoraverit, easdem quoque construi posse per ceteras stetiones
conicas, atque circulum. Videtur
utique hoc fecisse, quod aequatio parabolae & circuli sit simplicior aequationibus ceterarum sectionum coniis carum. Cum enim vitium
ipsi sit, si aequatio construatur per lineas superioris cujusdam generis, quae construi potest per lineas generis inferioris, veluti s aequatio
cubica vel biquadratica construatur per curvas secundi generis, cum comstrui possint per curvas primi gcneris; ex ejusdem omnino generis curvis eas praeferre debuit, quae per aequationes simpliciores definiuntur. Recte autem monuit NEwTONUs, in constructione problematum geommicorum non respiciendum esse
ad aequationes curvarum, sed potius ad earum descriptionem; ita ut hae praeferantur aliis, quae sunt milioris deseriptionis. Unde ad construenda moblemata solida ad hiet con. choidem , etsi ea sit tenti generis. Immo non improbat, si quis ad datum angulum in data ratione secandum utatur cycloide, qirae motu miniae, Vel circuli, super recta facillime describitur ψ etsi ea per nullam aequationem algebraicam definiri possita
Etsi autem aequationes cubicae ac biis quadraticae omnes per circulum fleparabolam construi possint; non tamen ideo consultum est, ut non aliis
etiam sectionibus conicis in istis
aequationibus construendis utamur.
Etenim ubi problemata algebraice solvimus , haud raro incidimus inaequationes locales alterius sectionis conicae, quam parabolae; ut adeo sua veluti sponte sese offerat ad constructionem, cum parabola demum minxie quaerenda esset ι de , per aliam sectionem conicam quam parabolam, haud raro multo concinnius constiui potest. Quaedam adeo lineae quibusdam problematis videntur quasi propriae, ita ut destinentur eorundem constructioni ; quia pariunt elegant tem, de simpliciorem , si lineatam rationem: habeas, ex quibus datis
quaesita determinanda ; cum con structiones ceterae evadant intricati
res, & schemata pariant confusa , si omnes construesones subsidiariae eidem fimul inserendae, nec curVa supponatur tanquam data, nec lineaei ex coeficientibus terminorum repouriandae tanquam jam repertae. g. Apud Veteres celebr i tantur problemata, de inveniendisi lineis Minus mediis continue propo . tionalibus inter duas datas, & de Ubsectione anguli. Cum cnim per Ge metriam
299쪽
c p. IV. DE STUDIO ALGEBRAE. et gr
molam esementarem facillime Inveniatur media proportionalis inter duas datas, & angulus non minus
facile bisecetur, per solas rectas &circulum, seu per Geometriam elementarem ἱ Veteres primum horum
problematum solutiones intersectione rectarum & circuli quoque tentarunt, sed: frustra. Unde ad constructiones per alias lineas curvas confugiendum tandem erat. Quamobrem nostrum quoquz erat , ut, ac structiones aequationum cubicarum,&biqua taucarum illustraturi, horum inprimis problematum rationem , haberamus. Distinxerunt vero ideo Veteres prinblemata in plana, solida, de linearia.
Plana appellarunt, quae per rectas &circulum construi possunt, quia, hae lineae supponuntur in plano descrip-- ; solida, ad quorum constructiones adhibendae sunt sectiones conicae, quae, cum per coni dati sectionem Prodeant, tanquam in solido datae
stipponunturia Cumque praeter rinctam , circulum, & sectiones conicas, lineas alias in Geometriam recipere nollent; problemata plana &selida sola geometrica appellarunt, quemadmodum etian, lineas istas solas geometricas dixerum. Per alias vero lineas coestruenda problemata, mechanica vocarunt ἔ i ρος, qua riam ope construuntur, lineas mechanicas nuncuparunt. Ast CARTE-Sιυ , connubium Arithmeticae cum lGeometria introducens, cum videret sectiopes conicas per aequationeS I definiri posse algebraicas, & praeter
eas dari curvas innumeras alias, qua
per istiusnodi aequationes definiuntur ; hasce omnes illis aequiparavit &in Geometriam recipiendas esse intulit; in numerum mechanicarum rejectis , quae aequationes istiusmodi
respuunt. Invento autem calculo
differentiali; cum curvae, CARTES Iomechanicae dictae , non minus per aequationes disserentiales definiantur,. quam ceterae per ordinarias , & ad constructiones problematum utilissimorum adhibeamur, quemadmodum
in Mechanicis videbimus; his quoque aditus, in Geometriam factus Unde multo amplior evasit speculationum geometricarum campus, quia Veteribus intra nimis arctos limites. coercebaturi. Sane inventa longe praeclarissima ex Mathesi ereularent, si recentiores Geometrae vestigiis vel Veterum , vel CARTES II , instare voluissenta I. uti et 23. Non omnia problematae per rectam & circulum construuposse , inventio duarum linearumi mediarum continue proportionalium
inter duas datas, & tti sectio anguibdocuit; & ex aequationibus algebra eis, ad quas ducunt sellationes pro- blematum, patet ratio, Quema
dum enim aequationum quadratic rum constructio pendet ab inveniem da una linea media i proportis nati inter duas alias quomodocumpla via tas ι ita constructio, cubicarum sup .i ponit duas m udias: continue propo-
300쪽
,fg DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
tionales, constructio biquadraticarum tres inveniendas & ita porro. Inae quationibus puris hoc ipuam obi tum est ; in affectis non minus ollcndi potest. Suffciat nobis in giat iam tyronum id ostend.sse in aequationi bus puris. AEquatio quadratica pura est x M. Patet hic esse
adeoque constructurus aequationem invenire debet mediam proportionalem inter a & b. AEquatio cubica pura est
Similiter aequatio biquadratica pura est
tinue proportionales;& arquationem biquadraticam puram constructurus, invenire debet tres medias continue proportionales inter duas datas a &b, quarum prima x est radix aequationis. Intersectio rectae & circuli nonnisi unam exhibet lineam mediam continue proportionalem inter duas. Quamobrem si plures inveniendae iupponuntur, sola rectae ac circuli intersectione obtineri minime pose sun . Hinc duarum inventio dedi. xit MENECHMUM ad intersectionem duarum parabolarum, quemadm dum vidimus supra S. 218 . S. 226. Forsan autem non inutile erit, si hic exemplo aliquo ostendamus, quomodo inventio duarum linearum mediarum continue propo tionalium ad aequationes cubicas asi ctas deducat ; ne quae de extremis quomodocunque datis diximus Obscura videantur, nec satis a tyronibus intelligantur. Sit igitur problema tale Dara quat-r quantitatrem continue proportionatium prima o differentia Parta a secunda ; iave re snguias. Resolutio haec erit. i, i Sit Qtiant. I a Quant.