장음표시 사용
281쪽
Quoniam vero 3 adeoque AP quarta proportionalis ad arcum AN,
quadrantem AB & radium AC ; determinatio puncti M dependet a re stisficatione indefinita circuli, consequenter a circuli quadratura. Ceterum .iadratrix insinuat artificium
reductionis constructionis curvarum
ad curvas simpliciores, supposita limrum quadratura ves rectificatione :neque enim in omnibus curvis rectificatio pendet a quadratura, prouti in circulo obtinet H. theor. 3. I
A. , quemadmodum suo loco videbimus , ubi de quadratura & recu-ficatione curvarum agitur. Artis cium hoc maximi momenti est in Analysi infinitorum ad Geometriani sublimiorem applicata, quemadm dum patet per problemata physico- mechanica, qualia in Elementis Mechanicae occurrunt. Quamobrem consultum est, ut tyrones, qui . ad tertium cognitionis gradiim adspirant, tempestive annotent, quomodo inventa Veterum recemioribus Geometris insinuaverint artificia, aut
Bltem insinuare potuerint, siquidem attentionem suam deficere non fuerant passi. g. 2.8. Notandum adhue est, posse
etiam curvas referri ad curvas alias positione datas, quemadmodum. r. feruntur ad reris positione datas, ita ut abscissae sumantur in curva
positione data, quemadmodum su-
mimtur In recta positione data: quod ut facilius intelligatur, dabo exem
niana seu primi generis. Producatur semiordinata PM in N, donec recta MN habeat ad arcum parabolicum AM eam relationem , quam
habet semiordinata PM ad ejus a scissam AP s evidens est, si arcus Ari
x, MN & recta quaedam constans a, fore , --.. AEquatio haec ab aequatione ad parabolam in eo differt, quod π denotet arcum parabolicum AM, cum in aequatione ad parabolam denotet rectam AP.
Ceterum eadem ex aequatione hac deducuntur, quae ex aequatione ad
parabolam, nisi quod theoremata ingrediatur arcus parabollaus. Nimirum cum sit 3 V ax; semiordinata MN est media proportionalis inter arcum parabolicum datum AM& rectam quandam datam constantem a , quae tertia proportionalis est ad quemvis arcum parabolicum dc ipsi respondentem semiordinatam. Ecquemadmodum in parabola quadrata semiordinatarum habent ratione abscissarum , ita semiordinatae curvae ANR sunt in ratione arcuum parabolicorum ipsis respondentium Hoc artificio jam usus est ARCHIMEDEs in spiralibus qui eas retulicia peripheriam circuli tanquam ad
axem. Facile autem apparet, relationem semiordinatae MN ad arcum
AM exprimi posse pes aequationem
282쪽
λη TMESEOS RECTE INSTIT. DE STUDIO MATHE
metrae addiderunt, Si ponamus π - α
dio aequalem. . Ponamus ex adverso 1 eru
283쪽
cip. IV DE STUDIO ALGEBRAE a i
resertim eum inventis recentioribus sana dederint, quae a Ueteribus in-' venta fuerunt, quemadmodum jam hinc inde annotavimus. Logarit, mica autem & cyclois usum praecla,
rum nactae sunt in problematis physic inechanicis, pro uti suo loco in Elementis Mechanicae ostendimust. Earundem itaque mentionem injicere debuimus. iubet quoque usum prorsus eximium epicyclois in Mecha. nica practica, & aliis inventis recemtioribus ansam dedit. Quamobrem nec hancce silentio praeteriri fas erat. CuadratricemTAchiri,Musianam & Lineam sinuum, tangentium atque secantium non alio fine adjecimus, quam ut constaret, quomodo curvarum geneses cxcogitari possint: quem in finem etiam adjecimus problemata
ultima huius capitis s. 37s est sqq.
Anal. ). Ex duobus tamen ultimis
S. 38t, y83 Anal. simul discimus,
quomodo curvae superiorum gen rum describi possint ope curvarum generum inferiorum. Ecce . igitur tibi rationem, cur hasce potissimum curvas in praesente capite considera
S. 2Io. Postquam ostendimus, quomodo Algebra utamur in eruenis dis curvarum descriptionibus, proprietatibus, aliisque symptomatis; ad
earum usum in construendis proble. matis exponendum progredimuri Primum itaque docemus, quomodo problemata indeterinlinita construam
tur. Atque eo fine capite sexto agitur de locis geometricli. Doctrinam hanc invenere veteres Geome
trae; sed Recentiores ad candem Al- .gcbram applicare coeperunt ἱ ubi constabat intersectione duorum locω tum eonstrui aequationes altiores.. Problemata indeterminata, quemadmodum vidimus superius cap. a, sectis. a , duas habent quantitates incognitas, quarum, una pro arbitrio assumta , determinatur altera; quemadmodum vidimus in curvis algebraicis
assumta abdissa pro arbitrio deteris minari semiordinatam : id quod etiam obtinere, si recta quaedam positione data referatur ad rectam aliam itidem positione datam, ex iis liquet, qua in Geometria de lineis propo tionalibus inveniendis demonstrata
sunt. Ita in triangulo rectangulo et ib. 11
ABC, habet PM ad AP rationem Fg. is. constantem ipsius BC ad AB; atque adeo sumta AP pro arbitrio , perrectam AC determinatur PM. Dum
itaque problema indeterminatum con struimux, omnes reperimus rectas
possibiles, quae eandem datam relationem ad se invicem habent. Unde si ad rectam positione datam applia centur parallelae, & quaeritur an recta
positione data punctum , quod sit
origo unius indeterminatae, atque 'linea secans omnes istas parallelas , .ut ad ipsas respondentes portiones, in linea politione data habeant eamdem relationem datam ι probi mali satisfactum. Hinc vero patet , cur linca ista. dicatur L
284쪽
27 aeus; quia nempe continet onmra lumeas rectas, quae in problemate in. locum indeterminatarum substitui possunt , seu quia in ea sunt singula puncta, quibus terminantur rectae , una indeterminatarum pro arbitrio assumta, determinandae. Ex. gr. in triangulo rectangulo hypothenun AC est locus omnium rectarum propor tionalium cruribus AB & BC : etenim continuatis tectis AB & AC in infinitum , intra crura hujus anguli continentur omnes istae proportion, les , quarum una sumitur in AB, autera vero determinatur per rectam
AC i & in tecta AC sunt omnia puncta M , quibus terminantur indoterminatae ad AB normales, ut fiant assumtis AP in data ratione propo tionales. Ratio est relatio simplici sima, quam exhibet recta ad rectam aliam relata. Relationes vero ceterae constantes repraesentantur per lineas curvas, qualis est in circulo, ut quadratum semiordinatae sit aequale remnis gulo eκ segmentis diametri. Uid mus adco aequationes, quae duas involvunt lineas incognitas, geometriace construi posse; quatenus eaedem exprimunt relationem constantem , quam habent singula lineae curvae puncta ad rectam positione datam , seu quatenus eaedem sunt aequationes ad curvam quandam lineam, quam definiunt. Atque ideo aequati nes, quas ante diximus aequationes ad curvam, hic vocantur im
F. a II. Monuisus in anterkKbus , curvam reserri posse ad quamlibet rectam positione datam, sive 'ea curvam secet in vertice, sive in alio quocunque puncto, sive eandem non secet, sed tota extra eam cadat intervallo vel nullo, vel dato ab eadem distans, & sive axi fuerit parallela. sive ad eundem obliqua. Hine determinantur omnes casus possibiles aequationum localium et quae quomodo reperiantur, ex iis patet, quae de circulo paulo ante ostendimus. Cum Q. S L U s I U s aequationum localium usum in construendis aequationibus cubicis & biquadraticis docuisset ιPHILI ppus DE LA I IRE Algo. bram ad loca geometrica applicavit,& in omni casu aequationes locales ad rectam , circulum, & sectiones conicas investigare docuit : quod idem fecit OZANAMUL Enimvero cum sic plures prodirent aequationes particularcs ad eandem lineam a IOANNEs CRAICI Us aequationes generales investigavit ad sectiones conicas, quae Omnes particularcs eminenter continent z cujus exemplum
secutus Hos PI TALI Us. Nobis quoque placuit generalia invenire theoremata construendi omnes aequationes locales ad rectam & sectiones conicas; cum per ea constructiones problematum indeterminatorum, viavere analytica, erui possint. Rem p nitius examinanti constabit, non aliis hic opus esse artificiis, quam quae paulo ante insinuavimus, cum de aequa. tioni
285쪽
ilonibus ad circulum ageremuS. Theoremata generalia inveniuntur, si intestigentur theoremata an casu maxime composito; in quo linea, ad quam refertur curva, ponitur esse ad axem Obliqua, & origo abscissarum distare a vertice, vel centro curvae , sit quod habet, aliquo intervallo. Etenim si hic quaedam lineae constantes supponantur nullae, inaequatione icrmini evanescunt, qui in eas ducuntur, sicque prodit aequatio in casu simpliciori. Hoc fieri debere observavimus superius, cum in circulo origo abscissarum statuer I b. u tur in L intra verticem A & centrum' hi' C. Vidimus enim si ponatur AL- , aequationem in eo casu repertam 3
in aequationem ad circulum 1 --x , in casu simplicissimo, quando origo abscissariim est in A. Enimvero non modo aequatio naris composita, hoc pacto, reduciti ad simpliciorem ; verum etiam schema , quod cxhibet constructionem illius aequatit nis , degenerat in schema , quod hujus repraesentat coasti ictio. Tab. nem. Ex. gr. si fuerit LH o, linea DH incidit in D L, adeoque pars A geb. schematis, quae relinquitur, casum istum repraesentat, in quo recta positione data DL , ad quam refertur curva AMB, est axi AS parallela. Qiiodsi porro fiat ΚD - o, relinquitur pars schematis , quae repraesentat casum, in quo abscissae computantur in axe ultra verticem continuato ΚS, Oper. Mathem. TOm. V.
& origo earum statuitur In aliqua avertice distantia Κ. Denique si etiam ponatur AK o, prodit schema ca- m ordinarium exhibens, in quo abscissae suniuntur in axe AS, & origo abscissatum in vertice. Methodus
adeo qua utimur, non modo aequa tiones locales omnes ad eandem curvam una aequatione in ludit, codem artificio, quo aequationes omnes adcursas algebraicas ad aequationem
unicam generalem reduximus S 38 s at s. ri sit ita quod ibidem aliud
praeterea artificium adhibendum erat, quo hic non habemus opus; quia ibidem aequationes omnes una H mula comprehendendae, non erant
ejusdem gradus, quemadmodum in praesenti obtinet; sed etiam unico hemate omnium aequationum localium constructiones' comprehendit. Qilaenam haec sit praerogativa praemethodo communi, qua singuli casus sigillatim eκpenduntur; facillimo negotio animadvertet, qui, quae de locis geometricis tradimus, cum iis conferre voluerit , quae de iisdem docet DE LA HIRE, vel OZAN
g. aga. Unum adhuc superest, 'quod de theorematis hisce generalibus observandum, ne eorum applicatio turbet tyrones. In schcinate nostro supponimus, originem absci sarum removeri ultra verticem, ita ut abscissa linea quadam data craedat abicissam ordinariam. Enimvero vidimus supra, originem earundem Fg.
286쪽
α DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
etiam statui posse ex parte altera , veluti in L, ita ut abscissa LP dcficiat ab abscissa ordinaria linea quadam data A L. Similiter rectam mi parallelam, vel ad eum obliquam
ponimus ultra eundem, ut augeat semiordinatam ordinariam PM recta quadam data; cum tamen cliam hae
lineae ita duci possint ex parte Opposita, ut semiordinata . vel RMdeficiat ab ordinaria PM, linea quadam data PQ , vel PR. AEquatio igitur localis generalis non videtur
omnes aequationes particulares continere, nec schema illi respondens comprehendere omnia schemata, quae harum constructionem exhibent. Dubium hoc ut tollatur, nostri im est docere, qua ratione innotuerit, quin modo iidem quoque casus in eo, ad
quem computavimus aequationem , contineantur. Supra reperimus aequationem ad circulum, si origo abscissarum suerit in L, 3 - , -- an - 2bx-κφ. Ponamus jam originem
AEquationem hanc a superiori non differre videmus nisi signis ' hanc diversitatem hinc oriri observamus,
quod ibi abscissa ordinaria AP sit
x -b, hic vero b x. Quodsi emgo aequationes istae redigantur ad
nihilum, quemadmodum in hac doctrina fieri solet; habebimus in eo casu, ubi abscissarum origo in N,
in casu autem opposito, ubi origo abscissarum in L ,
- 2bx --b Quare si duas haberes formulas, valor ipsius b in casu particulari dato s semper eliceretur positivus, cum in priori coinciens negativus comparandus esset cum negativo-ab, in posteriori cocificiens positivus cum q- ab. Quodsi vero aequationem , quae cum formula plasteriori conserridebebat, cum priori componis, ademque quantitatem positivam cum n gativa, necesse est ut valor ipsius , prodeat negativus. Si , substituas in locum in b in aequatione altera; pro in abae habebis-a , pro aώ.
vero, V; ducendo scilicet a uv- bt asin retinet signum situm, quesa b in b efficit ι . Atque sic aequatio posterior degenerat in priorem ; ut adeo prior in utroque casa adhil hi possit; modo notes, quo-lics in casu particulari lege compar tionis valor ipsius ι elicitur negat,
Viis, toties sumendam esse rectamcidem respondentem ex parte opposita , ut sit AL . Idem cum eo. dem modo obtineat quoad distantiam parallelae ari ab eodem PQ ι manifestum est, cur una formula satisfaciat in casu utroque, modo observetur, quod de valore negativo i ii
287쪽
in kquationis particularis cum gen
rati comparatione prodeuute annOTA.II. lavi us. Idem adhuc clarius patre
ita parabola. Etenim si fuerit SA- b , SP ae , adeoque AP - κ- b ; erit ex natura Pariuolae, si pa-
Quodsi fuerint omnia ut ante, sed AL b, adeoque AP b Φ κ, erit
Hic denuo patet, aequationem posteriorem non differre a priori, nisi diversitate signorum in iis terminis , quorum coeficiens est , ; in priori enim habemus Φ ab, in posteriori - ab. Quamobrem ubi in applicatione Qrmulae generalis, quae ad casum priorem spectat, consers terminum negativum aequationis ad casum posteriorem spectantis cum positivo, qui in sormula casus prioris sumitur; valor utique prodire debet negativus
pro AL. Patet etiam hic, si inaequatione posteriori pro Φ b subst,
tuas-b, docendo-b in-a, pr dire Φ adeoque aequationem positeriorem degenerare in priorem; quemadmodum ex adverso prior abit
in posteriorem, si in priori substituas -b pro Φ b. Quodsi enim ducas
in a in-b, prodibit -ab, quemas modum habet formula posterior. Videmus adeo, quomodo innotum
rit, eandem sormulam subire posse vicem duarum, si valoris negativi
quantitas sumatur ex parte opposita. Immo vidcmus, perinde esse, sive in formula generali abscissam & semia ordinatam statuas ordinariis AP &PM majorem, sive minorem ; ut adeo nulla ratio intrinseca fuerit electi nis , sed tantummodo extrinseca rquod ideo monemus, ne quis in Philosophia hinc petat argumentum contra principium rationis sufficientis in electionis casu. Utimur eodem artificio, non sine maxima utilitate,
in Analysi infinitorum seu calculo disserentiali & integrali, quemadmodum suo loco vidcbimus, ubi ex
eadem ratione valorem negativum
sumimus pro magnitudine ex parte
opposita sita. Absit itaque ut tibi
persuadeas, hoc fieri ex natura qua titatum privativarum; & hinc colligas, quantitates privativas esse veras quantitates, seu in numero positiv rum; cum satis constet eas non dein notare nisi defectum quantitatis verae, seu positivae, per positivam, quae deficit, aestimabilem ; quemadmO- dum pecunia, quae debetur, non est parata pecunia, quam habes, etsi per paratam pecuniam aestimetur, quae solvenda, ut debitum tollatur. Nullae revera sunt quantitates nega. tivae , etsi utiliter in usum calculi unia versalis fingantur. Cavendum omnino est , ne entia ficta Mathematiacorum confundantur cum realibus
detrimentum scientiae philosophicae. S. 2I3. Hinc simul patet ratio,
288쪽
DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
eur in easu particulari demonstraturi constructionem ex Armula generali elicitam ; eruendo ex hac aequati nem ad construendum propositam; non utamur valoribus negati vis, qui per comparationem cum formula generali prodeunt, scd iis substituamus positivos i id quod fieri non licebat,
si per naturam quantitatum valor esset negativus. Valor negativus v. gr.
regae AL nonnisi fictilius est ι quatenus aequatio, unde elicitur, repraesentare fingitur casiam, quem non re praesentat ἱ cum revera non exhibeat
nisi eum, in quo origo abscissarum est in N a propterea quod, hac fictione, eadem formula sufficere deprehenditur in utroque casu, quam absque ea nonnisi in uno adhibere liceret, nimirum quando origo abscissarum est in N. Extra hane fictionem utique contradictorium est, quantitatem po- stivam esse aequalem privativae; quemadmodum etiam in ipsa Analysi contradictionem inde colligimus, atque ex ea porro, notioni impossibilis Convenienter , s.f7 Ontol. impossibilitatem inserimus. Habemus exemia plum in aequatione ad circulum γ' εὐ
Ex eo itaque, quod valor ipsius) prodit negativus, lii producit pro 'radicem imaginariam; insertur, impossibile esse, ut abscissa fiat diametro aequalis; recte omnino, cum idem per se pateat, ubi supponis notum en, quod aequatio sit ad circulum, & origo abscissarum in L, eum abscissa major esse nequeat recta LB M. Nimiis rum hic colligitur, hypothesin x a esse absurdam; quia hinc sequitur, quantitatem positivam esse aequalem privativae , aut radici imaginariae squod absurdum esse supponitur.
S. a I . Ut usus sormularum g neralium in construendis aequationi. bus problematum indeterminatorum clarius elucesceret, aliquot exemplis eundem illustrare lubuit g. yy3σ sqq. Mai. ). Patet per ea, Ope
istarum formularum , nos via vere analytica deduci ad problematum in. determinatorum constructionem, ac constructiones semper obtineri concinnas, quales in Geometria desiderantur; ut adeo non setius brevitatis gratia easdem priaetulerimus meth do communi, qua usi sunt DE LAHIRE & OEANA Mus. Dedimus quoque exempla, g. y97, coo A. , quibus ostenderemus, quin modo, ex constructione locorum, deriventur aequationes locales , ut appareat ad quamnam curvam sit locus constructus. Qitoniam vero id intendimus, ut, dum artificia An lyseos incutiamus, simul doceamus
veritatra mathematicas cognitu utiales ;. idco selegimus conflauctiones
289쪽
277Cap. IV DE STUDIO ALBEBRAE.
curvarum, quas pro fornicibus commendant Architecti , ut constaret, eas esse ellipses Apol ianas. AEquationem primam S. 397 Anal. γ' -- o esse ad ellipsin, constare poterat ex collatione cum sermula
generali pro ellipsi s f. 188 Analys. J.
Quodsi consueto more hanc aequationem cum sormula ista compares, deprehendes a esse axem majorem, dvero minorem ellipseos. Etenim vi formulat generalis' fproportionalis ad axem maiorem &minorem S. 423 MAU. I cum a sit axis major, erit d minor , & ob ρ --abicissae computantur a vertice. Similiter aequationem alteram νη- -o esse ad ellipsin,
rius cum formula generali collatio prodit; & illius cum hac compar tione laeta patet, quod a sit axis dimidius major, d vero dimidius mi nor. Etenim vi sormulae generalis
Q2oniam parameter ι est tertia
ioniam a est dimidius axis major, & parameter i tertia proportionalis ad axem majorem & minorem S. 23 Anal , seu quarta ad dimidium axem majorem, minorem du
290쪽
, g DE STUDIO MATHESEOS RECTE INITIT.
originem abscissarum esse in vertice ellipseos. III. Utraque aequatio localis, etsi ex diversis constructionibus eruatur, eadem est; nisi quod in posteriori admotent semiaxes,in priori autem integros axes conjugatos. Forsan non inconsultum erit hic docere, quomodo construistio utraque eruatur ex Qquatione ordinaria ad ellipsin. AEqua. tio haec-- , inquabpa rametrum, a vero axem maiorem denotat. Quoniam parameter est tertia proportionalis ad axem majorem a &
d : a. Quodsi ergo in aequatione ordinaria hunc valorem in locum ipsius b surroges; habebis
Patet adeo semiordinatam in ellipsi esse quartam proportionalem ad axem majorem, minorem & semiordinatam circuli super axe majore descripti ci-dem cum semiordinata ellipseos ab-Tab.II. scissae re Ond.ntem. Quamobrem Fig. 6. cum pro a de d sumi etiam possit&Id 9. 324 Anal. ; igitur pater, si super axe majore describatur semici cuius & in P erigatur perpendicularis PN, ductaque ex centro C tadio CNin eum transferatur CR semiaxi munori aequalis, ac tandem ex It demittatur perpendicularis RM; sore
punctum M in ellipsi : qtue est ipsa
constructio SERLlI ex aequatione ordinaria elicita. Cum enim sit MR
Poteramus itaque constructionem Sertianam cilipseos iam ex aequatione ordinaria elicere in superioribus , cum doctrinam de ellipsi traderemus.
Etsi autem aequatio ex altera construinctione elicita eadem sit cum anteri re eX ea tamen non minus deduci poterat constructio altera. Etenim Taban.
sit ellipsis ADB , cujus axis maior AB, simiaxis minor EF. Describatur, radio CD, semicirculus EDF,& erecta perpendiculari PM ducatur mi AB parallela MN, ex N vero demittatur perpendicularis N , quae erit ipsi PM aequalis. Si sit AC -a, DC d, AP a, erit aequatio ad ellipsin) C, adeoq;