장음표시 사용
301쪽
c p. IV. DE STUDIO ALGEBRAE. Spo
de per eonditionem problematis
, Videmus itaque constructionem aequationis cubicae affectae dependere ab inventione duarum t iarunt proponionalium inter duas extremas, quarum prima simpliciter datiar, at tera autem per dinerentiam a prima mediarum. Ad constructionem vero sese offerunt aequatio ad parabolam
H - - o, de aequatis ad hyperbolam intra symptotos maxΦ-- . Cum vero etiam sit x :1 : κ-ώ adeoque 3 -x -- consequenterr - κ Φ bου-o; loco hyperbolae im tra asymptotos osit etiam sese hy-' perbola aequilatera. Eodem modo ex sequente problemate liquet, quomodo Inventio unius mediae proportionalis durat ad aequationem quadraticam affectam. Scilicet, dara quainitatum cominue propo eis tam prima re merentia tenta a
secunda, imunienda μ secunda. Sit itaque λ . Oper. MAE . Tom. V. Quantitas I a Quanti II-x Differ. II. & III b erit III adeoque per conditionem problematis
Non sine ratione addimus exem plum aequationis quadraticae affectae, propterea quod harum aequationem constructionum reduximus ad invenis tionem linearum reciprocarum a 63 Mai. ; ne existiment tyrones veritati consentaneum non esse, quod eadem pendeat ab inventione mediae proportionalis inter duas extremas quomodocunque datas. Poterant casus omnes aequationum cubicarum per inventionem duarum, casus Vero omnes aeqitationum biquadraticarum per inventionem trium mediarum
continue proportionalium illustrari s siquidem prolixioribus esse licuissetis. a 2 s. Doctrina de numeris irrationalibus illustratur problemate a F. 63o MAEL ), in quo ostcndimus
quomodo numerus irrationalis qui cunque per lineam exprimatur , ut intelligatur, cur' veteres quantitates irrationales non in numeris, sed in continuo considerarent, unde orium tur , adeoque eas ad Geometriam retulerint. Attentionem denique meretur usus constructionis aequati num ad curvas datarum, per com
302쪽
DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
pacto, ope curvarum inserioris generis, construi possint curvae superioris; quemadmodum, ope parabolae &circuli, construximus parabolam cubicam & eirculum secundi generis. Etsi enim hae constructiones sint molestiores, quam ut in usum recipiam
turi sufficit tamen quod per easdem in curva, quae descripta supponitur, quodvis punctum datum ad examen revocari possit, num rite fuerit d terminatum; & saltem ex possibilit, te constructionis pateat curvae post, bilitas S. a 26. Satis Ostendimus, quom do in Elementis nostris Analyseos finitorum versari debeat, qui artem hanc intimius perspicere sibique miliarem reddere voluerit; quamvis longe plura annotare poteram , si singula accuratius perpendenda proponere visum nobis fuisset, nec acquiescere voluissemus in speciminibus, quae in aliis imitari poterit at tentione sinciente usus. Restat igitur ut doceamus, quomodo in Ana. lysi infinitotum sit versandum. Initio tyrones non scrupulosiores esse de. iant in notione quantitatis infinite
parvae expendenda; modo notenteas non in se esse nihilum, sed tam tummodo respectu aliarum pro nihilo haberi r quo facit scholion def. a
dissicultates quaedam stipersunt, quae
assensum remorantur; eaedem in progressu evanescent : tollentur autem
penitua, ubi ea perpenderis, quae iaMetaphysicis de ente infinito Mathe
malicorum imaginario demonstrantur
thematici ex differentiis quaesivere quadrata & cubos; quemadmodum docuimus in applicatione calculi lit
ratis ad Arithmeticam fg. 8r σ seqq.A I. . Inventum hoc ansam dedit L Eia N ITI o investigandi meth dum ex differentiis colligendi termianos seriei cujuscunque continue cres, centis, vel decrescentis; cum ignoraret, id jam in literas fuisse relatum aD. MOUTON, Canonico Lugdunensi, ex Observatione FRANCIRI REoi NALDI, Lugdunensis; quemadmodum constat ex epistola Laraa NITII ad OLDEM BURG IUM striapta, quae legitur in commercio e lico D. JOANNIs COLLINs c, aliarum de Anahsi promota, jussu Stacietatis Rcgiae Britannicae in lucem edito, p. 3a σseqq. Calculum adeo differentialem primum exercuit in
t mimeris, ubi disserentiae sunt finitar,'s seu assignabiles. Cum deincla opus' praeclarum de Gad iura ciscuo in uni G cumcis GREGORII A S. VINCENTIO, ab Huci εNlosita commendatum, legeret, in quo disserentia mVnitudinum infinite parvae considerantur, quarum lammae e hibent ipsas magnitudines; haec ob servans in calculum differentialam in cidit, de quo hie nobis sermo est; . methodo Cama lana, qua felicissime usiis GREGORlus A S. VINCENTIO,
303쪽
esilo omnia pendent a disserentiatione rectanguli κ1. Quamobrem ad
eam omnem attentionem afferre debent tyronesi ne in ceteris supersit
ulla dissicultas. Etenim si supponas, quomodo differentiale rectanguli Dinveniatur ἱ nullo negotio cetera erues per Algebram communem ι quemadmodum ostendimus tum in ipso problemate primo naem. II. ct sqq. tum in problemate secundo atque tertio. Constat lineam generari motu continuo puncti ab uno te uno ad alterum, qualis est motus liquidi fluentis; unde a NEwTONO appellatur Fis s. Cotillat etiam superficies istiusmodi motu linearum; solida vero motu superficierum gigni Quodsi ergo ad , genesin magnitudinum animum advertas ἰ per ea, quae ab . EUCLIDE & ARCHIMEDE,
demonstrata sunt g. s Aa I. in . ,
animadvertes, magnitudines crescere vel decrescere, per incrementa, vel decrementa inassignabilla, quae ipsae sunt quaruitates infinite parvae, cum quibus hic nobis negotium est, a. NEwvo No, ad genesin mKnit dinum respiciente , Harimus, stypellatae; quemadmodum ipsas may Iutudines, quae hoc modo crescunt vel decrescunt, Haemes vocat. Unde quantitatem differentiare, stylo montis , est invenire fluentis da- b. III De fluxionem. 'Ut haec rectius inte, ligantur; perpendant velim tyrones,
si recta quaedam AB, juxta dummalterius re AC, motu tibi semper
parallelo atque aequabili, moveatur deorsum, dum interea punetium quoddam, motu quomodocunque accelerato , in ipsa recta AB, a termino A versus alterum B , progreditur; punctum describet lineam curvam AM, recta vero spatium curvilineum APM. Quodsi ponamus rectam ex Ppervenire inp, adeoque abscissam AP augeri incremento υ; evidens est,eΟ-dem quo hoc accidit momento, semiis ordinatam PM augeri incremento mR, arcum AΜ incremento Mnx,& spatium curvilineum APM incremento s M. Arcus adeo AM differt ab arcu Am, a culo Mis; se ordinata PM a semio dinata tm, particulamR; spatium curis ' vilineum, sive area Am, ab area. Αρην, particula PUM dum disi ii rentia abscissae AP ab abscissa Ap est ' γ Unde, stylo LM-iamo, sit in
tempusculo infinite parvo incrememitum P est invisgnabile; hoc ipsum..' incrementum ην dicitur differentiale ii abscisse υ, mR differentiale semior , ' dinatae PΜ, - , differentiale arcus 3AM, & tandem P m differentiale areae APM r stylo autemm, Pp abscissae, mR semiordinatae
Mm arcus, areae, fluxio est. Atque adeo patet, cur calculus dis. ferentialis seu methodus fluxionum in
Geometria sublimiori tantae sit utilit iis i id quod ex ejus applicatione
clarius elucescet. . Incrementa 3 a
scisi, Pp generantur mora aequabili, adeoque inlusi tempore; sive te pustulo, aequalia sunt: cum in
304쪽
,ρ, DE STUDIO MATHESEos RECTE INsTIT.
erementa semiordinatae mR eodem tempusculo gcnerentur motu inaequa. bili, & incrcirenta lineae curvae sive
mixto ex aequabili & inaequabili, singula inaequalia esse .lcbent. Unde liquet in hoc calculo magnitudinis, unius incrementum sumi ut aequale, dum reliqua imaequalia sunt, quae simul
generantur. Non autem necesse est, ut abscissa ponatur crescere per incrementa aequalia , sed sumi etiam posscint mi in anca incrementa magnitudinis alterius tanquam aequalia, quo casu abscissa crescit per inaequa- Tib.lIl lia incrementa. Ponamus enim re- Εο- 3ῖ -AC aequabiliter moveri, motu
sibi semper parallelo, juxta ductum rectae AB; dum interea punctum
motu coni nuo accelerato in illa de cendit; patet incrementa . q, sive Rm, eodem tempusculo aequalia este dc res dum interea incrementa Sm, sive Pp, inaequalia gignuntur. Hactenus dicta qui perpendit, is non modo animadvertet calculum differentialemniti methodo genetica, di rigorem acquirere ex demonstratis ab EUCLing & ARCH IMEDE F. 3 Anal. in- . ; verum etiam, in applicatione hujus calculi ad Geometriam sublimiorem, nihil deprehendet obscuritatis. f. a 27. Ope calculi disserentialis, tangentes curvarum facillime determinamur ; hancque methodum , non modo ad omnes curvas algebraicas
extendi patet ex formula generali, quam dedimus g. 3a Anal. in . , ve
rum etiam eandem ad alias curvas,
quae mechanicae non sunt, applicari posse, exemplo spiralium, cycloidis,logarithmicae & quadratricis DINO-sTRATIs docuimus. Non opus hic est perplexis longisque calculis ι. ne
methodum hanc irrationales quantiatates remorantur; ut adeo nihil inieadem desideiari possit. Tora nititur ratione disserentialium semiordinatae ac abscissae, quae sunt inter se in ratione sem ordinatae ad subtangentem ι. quemadmodum in resolutione probi. S. et o Anal. insin. demonstravimus. oniam enim quantitatibus propo tionalibus infinite parvis substitui possunt aliae finitae; valor subtangentis qua tangens dcterminatur, ex quantitatibus assignabilibus componitur. Aitificio hoc usus est BARR HIUS in sua Tangentium methodo : quod ut appareat, exemplo parabolae labloniana perfacili docere lubet. Sit tab. .
QN , Akx , PT t. Sit semi. 3 ordinata alia PM, & ei respondens abscissa AP, differentia earundem se-
miordinatarum adeo exigua, quam
tum desideratur, & differentia abscis-'sarum in exiguae parvitatis. Sit PQ. MR ei NR-a; erit PM 3-a, AP x-e. Si parameter P
305쪽
ro ranas tangentium a praesenti, quam proponimus, non differt; & calculus, quo utitur BARRO-IUs, non differt a calculo disserentiali, nisi cli radierissim. Haec sane ratio est, cur JACoa Us BERNO ULLI primum existimaret calculum disserentialem L EI 3 NITII. non differre a Barr mia, s & Din DE TsCHIRNHAUI ENContendtiret, calculum d flarentialem Bamw-- ortum suum debere; prinsertim cum L EI ENITI Us, ubi eumdem in Aditis Eruditorum primum publicavit, non nisi ad methodum de maximis & minimis, quae specialis casus est methodi tangentium, applia caret. Enimvero cum usta calculi ditarentialis in problematis magis a duis solvendis conspiceretur , aliter de eodem sentire coeperunt Geom trae, ipse etiam HUGENius, qui sibi persuadebat, aliis methodis detecta tantummodo aliter exprimi hoc cab
nititur attificiis Ca Es H in deterin minanda tangente curvarum, & principiis Geometriae indivisibilium C VA L L E R M , atque Algebrae ordinariae. Etenim si curva AMNO s catur recta To, erit NR. MR-PM: TP , quemadmodum demonstravimus in resolutione probi. 4. I. . . Quamobrem si sit Nil a , MR ,
Quodsi semiordinatae PM & QN continuo propius ad se invicem accedant, ut differentiae semiordinatarum NR & abscissarum MR, sive P tandem degenerent in partes infinite
parvas, seu momentanea incrementa ; recta MN degenerat in arculum cognominem, TN degenerat in tan gentem & TP in subtangentem. Tum vero ex principiis Geometriae indivisibilium a o respectu as , S ἔ& 1 -a atque 3 habentur pro aequalisus in contactu. Unde habemus :seu a t - γ& a re ):t ρ: a tquemadmodum ante f. et ar). Ad methodum Barro ianam si applicatur vera characteris lica infiniten-marum, seu quantitatum infinite parvarum , sine qua algorithmus infini-tesimalis non subsistit, qui est ipse sic dictus calculus diisetentialis'; prodit Diuitia o by COOste
306쪽
as 4 . DE STUDIO MATHESEOS RECTE INsTIT.
prodit methodus tangentium, quam hic applicamus. ope autem hujus calculi, non modo expedita redditur, verum etiam extenditur, ut ultimum suum complementum ab eodem accepisse dicenda sit. Obiter hic annotamus, quando quaestio est de inventore calculi differentialis, id potissimum quaeri, quinam primus Algorithmum quantitatum infinite parvarum invenerit, & in solvendis
problematis exercuerit; cum antea adhiberetur calculus literatis communis, & vi principiorum Geometriae indivisibilium , termini quidam exin
pungerentur respectu ceterorum evanescentes. Similis quodammodo est haec quaestio alteri communi, qua quaeritur, quinam sit inventor verae characteristicae numerorum & Algorithmi communis, quo hodie utimur in Arithmetica, tanta calculi commoditate & amplitudine. Habuere Veteres numerorum signa, sed parum
apta. Usi iisdem sunt in Arithmetica praetica. Non tamen ideo dici
potest, quod habuerint veram num
ticam practicam talem, qualem nunc
habemus; nec quisquam hodie inventis notis numericis,'quorum significatus ex ipsa numerorum natura deductus, aliis quam hisce signis uti
vult: quemadmodum nec hodie inventa vera characteris ira quantitatum infinite parvarum, qua calaulus imfinitesimalis in Analysin introductus, ut per modum Algorithmi exerceri possit, quisquam talculum IIlcralem
communem adhibere mavult in solvendis problematis, quorum solutio a quantitatibus infinite parvis pendet. Equidem ex ore ipsius Dn. DE T s CHIRNHAusEN hausi , quod contenderet, se per Algebram communem eadem praestare posse , quae per calculum disserentialem adeo feliciter cruuntur; nec calculum hunc esse veram methodum, sed tantum. modo verae methodi compendium; qualia complura, immo, ut ipse confidenter admodum loquebatur, infinita excogitari possint, hocque sese ostensurum in secunda parte Medicianae Mentis; nunquam tamen dictis fidem secit, quin potius mortis vicinus Schedas suas Manuscriptas Vulcano tradidit, ne publicum statueret, quo successu in vera, quam pollicebatur, ' methodo detegenda fuerit versitus,& γquousque fuerit progressus. Constat eautem ex iis, quae dedit in Actis Eri torum, quod nimia in seipsum conia, dentia de iis,quae animo versabatur,t insi, cuius fuerit,quasi a se jam essent invem: .la; etsi re penitius examinata impossi-ibilia deprehenderentur. Ostendi in ' Arithmctica, calculum numerosamita a instititi posse, ut conservetur univer salitas, quemadmodum inliterati, & ihoc paia inveniri per calculum M ., iners m, quae per literalem eruum
l tuti, Ostelisi superius , γ quomodo; Algebra numerosa ad solvenda prω ablemata geometrice applicari piat, ut prodeant sormulae algebraicae geo ..
307쪽
rnet ce construendae s S. Is ). Immo
ostendi, quomodo , retenta communi linearum designatione, regulae Algebrae ad solutiones problematum geometticorum applicari potuerint S. eis. . Ecquis vero dixerit, si quishoe fecisset, ante inventam Arithmeticam literalem, eum iam habuisse Algorithmum universalem & Alge. bram speciosam ξ Immo si hanc methodum ad tractandas curvas adhibuisset ; ecquis dixcrit, eum habuisse methodum C ARTEs II tradiandi curvas per aequationes algebraicas Habuisset similem quandam meth dum , sed non eandem i ut adeo in multis paria praestare potuisset, ast non eadem iacilitate. Ars charactoristica differt a methodo, &, pro illius diversitate, haec prorsus aliam induit formam ι ita ut non modo facilius praestentur, quae fieri debent, verum etiam plura in potestate sint, quam si alia characteristica adhiberetur. Patebunt haec clarius, ubi Ars inveruendi ad formam artis fumrit redacta, quemadmodum Logica; di qui ad diversitatem methodorum, prouti hae per Artem characteristicam modificantur, animum adverterit, prouti in hac commentatione inculissamus , eadem perspiciri. Talia ain tem observasse non tantum protarit ei, qui Artem inveniendi ad formam artis reducere voluerit ι sed etiam ei,
qui in Mathesi addiscenda ad tertium cognitionis gradum adspirat; ut m inodos , quae ipsi innotueru*t, limare, iisdemque omnem suam amplitudinem tribuere possit, quam suscipere valent; ne a casu expectandum sit, quod artis est, usu facultatum huc requisito non occasione sponte oblata , sed ex scientia determinato. nec tentaminibus subjiciatur, quod certa lege regitur. Nihil hic asserimus , quod non obvium sit ei, qui in Mathesi addiscenda praescripto a nobis modo fuerit versatus. Multa hic annotare poteramus, fiquidem prolixioribus esse liceret, nec a praesenti instituto digressio longior videretur
aliena.. g. 219. Notandum vero est, se
mulas algebraicas, quae pro sub- tangente prodeunt, geometrice esse construendas, siquidem tangentem curvae actu ducere volueris. Omi, timus istas constructiones, brevitatis
gratia; propterea quod in Analysi finitorum satis perspicue docuimus, quomodo istiusnodi formulae comstruantur. Dronibus tamen , quo rum est exercere artem, eaedem negligendae non sunt. Ex. gr. subta
gens ellipsis est . S. a I n. Est itaque
308쪽
,ςs DE STUDIO MATHESEOS RECTE INITIT
adeoque subtangms PT rite deae minata , consequenter TM tangens quaesita. Quoniam subtangens pro omnibus ellipsibus in infinitum J --κ' ὶ --x
Patet itaque non absimili modo tangentem pro omnibus ellipsibus In infinitum determinari posse. Et quia pro circulo eadem subtangentis sormula reperitur , quae pro ellipsi Apostoniana; & pro infinitis circulis eadem formula, quae pro ellipsibus infinitis; nisi quod isthic n 1; dem etiam modo tangens omnium circulorum in infinitum determinatur. Immo cum formula subtangentis hyperbolarum a formula subtangentis ellipseos non differat nisi signis; tangens etiam hyperbolarum in infinitum non absimili modo determinatur. Subtangens curvae, quae definitur per
assinodum constructione reperiuntur hune In modum. Fiat CA di 'assitque AP ,, PM ' Erigatur in A perpendicularis AN ipsi PMaequalis, seu construatur parallel grammum rectangulum APMN. D cta rem CN erigatur ad eandem peripendicularis NR. Erit PR- α
erigatur PS ad eandem perpendicularis occurrens ipsi NA ultra tectam CP continuatae in S. Erit NS--
Quodsi curva supponatur data seu in plano descripta, datis iam NS &PR subtangens nullo negotio deterriminatur.
g. 23o. Quoniam normalis ad tangentem perpendicularis; tangens quoque determinatur per normalcnriconsequenter etiam per subnorm lem, per quam normalis determin tur. Subinde subnormalis per comstruimonem faciliorem reperitur padeoque praestat tangentem dcte minare
309쪽
minare per normalem, quam per sub- tangentem. Exemplum habemus in circulo , ubi radius ad tangentem perpem dicularis ; quemadmodum per praesem tem quoque methodum calculo eruitur S. 38 vi cujus sub. normalis reperitur distantiae semiordinatae a centro aequalis i adeoque datur, data abscissa, cum subtangens eandem requirat constructionem, quam Elli' sis exigit I. ars, Enimvero subinde etiam subnormalis postulat constructionem magis compositam quam ista tangens; subinde utraque eadem simplicitate gaudet. Illius exemplum praebet ellipsis; hujus vero curva, ad quam est aequatio 3 -κ -- . Et nim in Ellipsi est S. Ao Ania.
297 Quare si fiat m-PR, habebis sub
normalem , eritque ΗM normalis quaesita. Hanc construmonem si cum ea conferre volueris, quam pro se tangente dedimus S. ars ; patebit eam esse magis compositam. Sub- normalis curvae, quae definitur per aequationem 3 --κ au reperitur, - - Habemus itaque I '-iax : x' - , Ο 3: PH
Analogia haec ab altera, quam pro subtangente elicuimus g. 22s , non differt, nisi quod termini in ratione
priori invertantur; consequenter comstructio eadem sere manet, nec si
plicior est pro subnormali, quam pro
subtangente. g. 23 I. Methodus determinandiasymptotos curvarum nititur princia pio reductionis. Asymptoti enim considerantur instar tangentium in puncto a vertice infinito intervallo distante, ut abscissa eidem respondens sit infinita a consequenter axis a li beat ad eandem rationem inassignabilem; adeoque fiat respective nihilum. Hane suppositionem a veritate non recedere, tyrones inde intelligunt, quod in hac hypothesi eruam tur eaedem quantitates linearum, per quas asymptoti determinantur, quas supra in Analysi finitorum aliter demonstravimus. Novarum enim m
310쪽
,98 DE STUDIO MATHESEos RECTE INSTIT
thodorum i examina haberi debent, si applicentur ad jam nota. Ceterum attendant tyrones ad differentiam, quae inter absolute nihilum, seu nihilum verum, & inter respective nihilum , seu quod respectu quantitatis alterius pro nihilo habetur, interce. dii. Etenim si qua quantitas per absolute nihilum multiplicatur, nihilo aequalis est: sed quae ducitur in respective nihilum non evadit nihilo aequalis. Hinc g q7 A I. ins . in valore ax: a-Fax , recta a non quidem auget valorem rectae ax, ut adeo fit a
hilo aequale sed hoc tactum spectatur tanquam quantitas a infinities sumta, quia a quantitas finita, ae infinita. Idem patet in aequatione a ' όx a*x , quae, quia a respective nihilum, reducitur ad aequationem U-bx . Unde simul liquet, si sumatur a R Axcur infinitum primi gradus Axhabeatur pro nihilo, respectu infiniti secundi gradus ae de M' ι quippe quod infinitum primi gradus infinities
superat, quemadmodum infinitum primi gradus quantitatem finitam. Non nego , haec in numerum fictio. num reserenda esse , sunt tamen toleranter vera, ut cum JUNGIo i quamur,& in calculo,quemadmodum fictiones aliae, utiliter adhibentur. Cavendum itaque, ne in praejudicium veritatis talia in Physicam inseramur principia, ex qua imaginaria exulare debent ; quippe ubi in veras phaenomenorum causta inquirimur. . S. 232. Attentionem quoque hoculiarem meretur problema 7 S. 69- Anal. in . in quo sitbtangens de subnormalis in conchoide determinatur. Curva haec ex numero algebraicarum est i unde semiordinatae ejus sumi possunt ad axem AB noris
males. Habet vero eadem etiam Tab. L.
polum C : unde pro semiordinatis quoque haberi possunt rectae CV m polo C ad puniam curvae M ductae. Q iamobrem duplicem explicamus methodum determinandi ejus tan. gentem & normalem. Prima eadem est, qua utimur in curvis algebratiscis ceteris ; nisi quod valor ipsius daenon ex aequatione ad curvam, sed aliis artificiis eruatur ι ne formulae pro subtangente & subnormali prodeant nimis perplexae, construbionem minus concinnam parientes.
Formula autem pro subnormali e peditior est, quam pro subtangente, adeoque in constructione praeferem .da. Cum enim sit subnormalis