장음표시 사용
311쪽
Atque adeo patet, si formula sub.
tangentis construenda, ante inveniendam esse subnormalem. Data autem subnormali, datur citam tangens, ut adeo ulteriori constructione non habeamus opus. Altera methodus nititur hypothesi semiordinatarum in puncto quodam concurrentium , quam ideo addere vissim est, ut idea ejus animo ingeneretur ad alia prin. futura. F. a 33. Notanda vero sunt antificia, quibus subtangens determinatur in iis curvis, quarum semIordia natae in puncto quodam coeunt.' NLmaeum quia, in curvis algcbralcis, subtangens intercipitur inter tangentem & semiordinatam ; in puncto communi concursus excitatur perpendicularis, ransentem, cui occurrit , secans, quemadmodum videre est
in methodo altera pro conchoide &in methodo pro spiralibus. In cycloide subtangens determinatur per intersectionem tangentis cycloidis &tangentis circuli genitoris; quia portio illa tangentis intercipiitur inter somiordinatam & tangentem cycloidis, etsi ad illam non sit perpendicularis; ut adeo hie a significatu termini tantisper recedatur, quem is in curvis algebraicis habet ; quemadmodum etiam non retinetur innificatus prorsus idem semiordinatae, ubi eaedem in puncto quodam concurrum. Nimiarum definitiones terminorum inventa sunt pro curvis algebraicis; deinceps per analogiam quandam aptantur ad curvas alias termini, ut in iisdem proprias sibi nanciscantur definitiones. Absit itaque, ut tibi persuadeas, ipsos Geometras alere significatum terminorum vagum. Ita tubtangentem cycloidis definire licet per portionem
tangentis circuli, in puncto intersectionis circuli & semiordinatae cycloidis, inter semiordinatam & tangentem cycloidis interceptam; & cum definitiones nominales sint arbitrariae, utique hoc facere licet. Nec ideo dicere licet, quod vocabulum S tangens varios habeat significatus. Subtangens enim cycloidis non est subtangens curvarum simpliciter ita d, cta. In quadratrice Di Nos TRAT is, abscissa sumitur in circulo genitore, &portio radii quadratricem secantis pro semiordinata. Quoniam hic recta is ad semiordinatam perpendicularis cum tangente in puncto contactus concurrit, quae adeo extra ipsum eam non secat, ideo necessarium fuit, ut eo, quem explicavimus g. 33 AMI. in . modo determinaretur. Ad hoc animum probe advertere debent tyrones, ne notione subtangentis conis fundantur , ubi ipsimet tangentes incurvis non algebraicis determinare
312쪽
reducuntur ad casum tangentium. Et similiter applicatio hujus meth di ad problemata particularia eodem principio nititur; quatenus quantitatum series ad certum quendam teris minum continuo crescentium vel de-ctescentium , deinceps rursus decrescentium vel crescentium exponitur per semiordinatas curvae cujusdam algebraicae, in qua semiordinatae candem constantem relationem habent ad abscissas, quae convenit quantit tibiis crescentibus vel decrescentibus. . gr. Si linea recta ita secanda, ut rectangulum ex sigmentis sit maximum eorum, quae hac ratione comstrui possunt; constans relatio quam titatis continuo crescentis usque ad terminum maximum exprimitur per
factum segmentorum in se invicem. Q iamobrem si segmentum minus sumas pro abscissa; problema hoc re ducitur ad circulum, in quo maximast ordinata determinanda. s. a 3 s. in Ideam calculi summatorii, qui vulgo integralis dicitur,
animo concipiant tyrones; repetem dum est ex uiperioribus, magnitudines crescere per momentanea ina
menta. Nimirum si tempusculo quodam abscissa augetur in mento O,' semiordinatae accedit incrementum mi , arcui incrementum & areae incrementum d M. Unde si abscissi AP -κ, constare concipitur ex infinitis istiusmodi incrementis suciscessivis, quorum unumquodque imdefinite exprimItur per dx, ita ut summa omnium is sive μου -κ; Similiter semiordinata Pixl 1 constare concipitur ex infinitis istiusmodi incrementis , quorum unumquodque imdefinite exprimitur per o, ita ut summa omnium H sives i ArcusAM-ν constare concipitur ex inmnitis istiusmodi incrementis, quorura unumquodque si, ita ut μυ- v & area APM constare concipitur ex innumeris istiusmodi areolis, quarum. unaquaeque, quemadmodum ostendimus, exprimitur per φ, ita ut summa omnium istarum areolarum sive
My sit areae aequalis. Calculo adeo
summatorio quaeritur summa omnium. incrementorum momentaneorum, ut habeatur magnitudo, cujus incremem.
tum indefinite datur. Quamobrem. si valor incrementi exprimatur per relationem , quam habet sentiordia nata ad abscissam; per summationem
perbolae Intra asymptotos. Patet asper calculum summatorium testquantitatem variabilem, cujus di
313쪽
rentiatione prodiit magnitudinis elementum, seu momentaneum in ejus genesi incrementum. Unde Angli methodum fluxionum inversant vocant, quia ex data fluxione reperitur fluens, quemadmodum per directam ex fluente fluxio. Regressus autem iste non ubivis obvius est. Unde hodienum Mathematicorum ingenia exercet. Constabit autem ex problematis physico - mechanicis , qualia exempli loco in Mechanica dabimus, solutiones problematum saepe nos deducere ad aequationes disserentiales, quarum integratione detegitur natura curvae; ves, ubi hoc fim nequiti, ope aequationum disserentialium cum vae construuntur. Opei igitur x hujus calculi multa in potestate i sunt i, ad j quae alias non pateret aditus. Cete. irum tyrones ad exemplum trianguli,
quod primo loco Li o i Aa L in .
exhibuimus, animum prcssie attem dant ἡ.ut non modo i idea methodi quadrandi curvas in eodem natatur, verum etiam dubium evanescat, quasi ex neglectu trianguli characterestici oriri debeat in summatione error
assignabilis: quod ubi fieret , impos, lbile erat ut moditet area trianguli limra,. quantam esse debere demo, stratur in Elementis Geometriae. Pra stantia. autem hujus. calculi inde elm i
eescit quod paucis lineis non m
m exhibeatur quadratura parabolae l, sed S. omnium par, i arum, &. curvarum ipsis agnat ruin in intalium s. cum institata
eL-d a difficillime metiatur ranis tummodo prior. . a 36. Cum nobis proposuerimus exemplis potius docere regulas, quam earum multitudine obruere memoriam tyronum, praeceptis Omnibus in unum locum congestis, ant quam ad exempla aecedatur quae de quantitate in uimmatione adjicienda tenenda sunt, exemplo quadraturaesegmenti parabolici inculcare lubuit S. ro 7 M ita enim ratio, cur adjicienda veniat, clarius percia pitur, manifestior in casu partic lari, cpiam si generalis detur. Ratio nimirum, generalis est, quod Indisse, rentiatione, cum diorentiale: quantitatum corutantium .sit os quantitates eonstantes in composita uaria.
bilibus adjectae ex anescant; ita ut idem sit dimentiale quantitatum κ
que x. Est enim S d frusta ααδε,& δ Μ----de clifierentiale ipsiuxκ- . Unde in summatione, summae adjiciendum, quod in disserenti
tione evanuit. Quomodo vero appareat, utrum aliqua quantitas comsans sit adjicienda, nec ne; & num ea, quae adjicienda, venit, signum habere debe re posisivum, an privativum; in exemplo particulari. multo clarius elucet, quam si idem g netaliter doceri deberet. Vidimus rab.II. in doctrinal de locis geometricis, s .aa. initium. Hi scissidi non modo, statui posse in vertice A , ubi cum ab
314쪽
36, DE STUDIO MATHESEOS RECΤE INSTIT.
evanescit arcus , evanescit spatium curvilineum, abscissa, semiordinata,
dc arcu contentum , verum etiam in
puncto L infra verticem, vel in puncto N ultra cundem. Per hoc ipsum
vero non variatur elementum ab
scissae', quod in omni casu idem est. Ne igitur in summatione Obscurum sit, quod de quantitate adjicienda hic praecipitur; probe per- pcndant velim tyrones, quae in scholio g. io 8 Analys in n. habentur.
Inventores talia non animadverterunt, nisii ubi animum ad solutionem particularium applicarunt ἰ neque enim methodi repertae sunt, nisi dum solutiones problematum tentatae ad easdem deduxerunt inventores. Quamobrem qui Analys, tertii cognitionis gradus acquirendi gratia, Ope Iam navat, eadem via incedere de- bdi, quam calcarunt Inventores; utut e vitentur avia, in quae haud raro inciderunt, cum in terris adhuc incognitis versarentur, antequam in viam regiam pervenirent. Ea quoque de causa, non dedimus nisi pa ticularium problematum solutiones; etsi facillimum fuisset generales huc transcribere. Neque enim existimandum est , generales solutiones fuisse particularibus priores; sed illae potius ex his enatae sunt. Plerumque majoris artis est solvere problemata in casu particulari, quam universaliter. g. 237. Quadraturam parabolarum omnium, immo curvarum aliarum eisdem agnatarum in infinitum, nullo negotio dari per calculum in.
tegralem patet S. Io 3, IOIGmn. . Curvae autem ceterae, quas deinceps quadramus, tum etiam segmenta parabolica, quae quadrantur, reducuntur ad parabolas; sive elementum per serion integrabile, juxta canones generales, reducatur ad integrabile , terminis finitis aut nonnisi uno constans; sive resolvatur in seriem infinitam, quae terminos numero infinitos habet. Etenim in casu priore, area curvae reducitur ad areas tot parabolarum, quot sunt termini; in casu posteriori autem ad areas parabolarum infinitarum; quemadmodum, in Geometria Hementari, figurarum rectilinearum, & ipsius circuli
areae reducuntur ad areas triangulorum. Ex. gr. ubi segmentum parabolicum , cujus elementum est
ab --) reducimus ad a. odii δε sumatur pro disserentiali abscissae & v pro abscissa, erit - -αι adeoque Unde liquet segmentum parabolicum quadrandum reduci ad parabolam externam, cujus parameter est ἰa, seu dimidio parametri parabolae aequalis , cujuslegmentum quadrandum. Similiter patet aream curvae C A R T E s II I. III AMI . in . esse differentiam arearum parabolae externae Apostonimina , ad quam κ' M, & parabolae externae secundi generis, ad quam x -ό ω. Non absimili modo patet, in
315쪽
elemento hyperbolae intra asymtotos δε--κΦx dx 'δε ε x rissee. in termino primo semiordinatam esse I, in secundo x, in tertio, si I a, esse κ' s, in quarto, ab, in quinto x' ab &c. consequenter terminum primum esse elementum parallelogrammi redianguli, secundum elementum trianguliae illicruri, tertium parabolae externar
Apolloniana seu primi generis, quartum elementum parabolae externae
secundi generis, quintum elementum parabolae externae tertii generis & ita
porro in infinitum. Quadratura igitur hyperbolae reducitur ad quadraturam parallelogrammi rectanguli, trianguli aequicruri & infinitarum pa. rabolarum. Inde est quod hyperbolae & circuli quadraturam per infinitas parabolas demonstraverit GUIDO GRANDus. Equidem, data hype bolae area intra asymptotos, datur
etiam area interna inter axem & curvam interiacens a placuit tamen S. ia 3 Anaus insin. etiam ostendere,
quomodo area interna quadretur. Enimvero patet quadraturam areae
intra asymptotos esse simpliciorem quadratura internae , in qua V ducenda est in seriem infinitam. I. a 38. Exemplo circuli docuimus I. ia 4 Anat . in . quadraturam
non uno modo absolvi posse. Quadravimus enim circulum , ex dato sinu verso, ex dato sinu complemen.
artificia, quibus progressus terminorum in infinitum redditur conspicuus i id quod inprimis ostendimus in quadratura Artificia etsi eadem sint, quibus jam in Analysi infinitorum usi sumus ; scilicet ut
in numeris conservetur istii versalitas
calculi, & ut terminus sequens efficiatur dependens ab antecedente ;applicatio tamen eorundem non statim cuivis succurrit. Unde memini quosdam seriem Lei uianam, aut, si magis, Gregoria m, pro circulo praetulisse Newtomame, quae tamen citius convergit, seu celerius appropinquat ; quod illa constantem iervet
legem, in hac vero termini nulla ce tae Iege progrediantur; etsi niana non modo manifestam legem admittat, qua termini in infinitum progrediuntur, verum etiam hoc habeat , ut terminus quilibet sequens ex proxime antecedente inveniri possit. Id potius attentionem tyronum m retur, quod quadratura Newtomana exhibeat quadraturam segmentorum circuli, Di Disaxa vero quadrat ram scistorum; atque adeo haec insinuet ideam quadrandi sectores cur varum , quae centrum habent, animo iam observata A R C Η I M 1 D I, dum circuli aream ad aream trianguli r duxit ἱ quemadmodum clarissime d euit ΚEpLERUs in Stereometria dolii Austriata. Notandum porro est, quod docuit L Eis NITIus in Actis Eruditorum An. 168a , P. y , cum termini Tὸ Γ1 ὼγ , , si, itemque termini e
316쪽
64 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INsTIT.
vr 'IV, 3, progrediantur in progressione harmonica ; aream circuli esse differentiam duarum seri rum progressionis harmonicae. Praeterea, si binos quosque terminos ad
eandem denominationem reducas;
circuli, quadrato diametri cxistente a ,
infinitum. Iam si diameter circuli r, erit si midiameter ἔ, adeoque quadratum inscriptum ἰ s,. a ITrigon. . Quoniam itaque quadratum circumscriptum est inscripti duplum , si quadratum inscriptum fumrit erit circumscriptum S, adeo
tim patet esse numeros quadratos unitate mulctatos, nempe I, 36- I , IOO - I ι & inter
quadratum & 36 interjacere tres numeros quadratos s , I 6 , as; simi literque inter x6 6c Ioo interjacere tres q9,64, 8 i. iniodsi seriem pro
girculo continues. & cum numerisia Tabula quadratorum numerorum Ompares ; videbis eam constantehac lege progredi, ut denominator fiactionis sit quartus quisque numerus excerptus ex sesie numerorum quadratorum unitate muletatorum, numeratorc semper existente unitate.
Quando vero quadratum inscriptuml, radius est Ut s. a II in. , adeoque diameter a V ἐ-Φ- ἐ. Hic ideo mo mus, ut discant tyro. nes dari etiam artificia particularia legem progressionis terminorum in infinitum detegendi, praeter gener lia , de quibus diximus ante et quamuis istiusmodi quoque artificiis, jam usi fuerimus in inveniendo generali theoromate pro binomio ad dignitatem quamcunque evehendo S. ss
ridis in . . Neque enim inutile
est eadem artificia variis exemplis illustrari. g. a 39. Quemadmodum vero quadraturae curvarum per series infinitas reducuntur ad quadraturam infinitarum parabolarum . ita quoque curvarum aliarum quadratura ad quadraturam circuli atque hyperbolae reduci solent: id quod non uno modo fieri solet. Exemplum habemus in ellipsi Sia 6 Anat. in . , ubi ratio areae ellipticae ad arcam circuli sua veluti. sponte sese ossert. Exempla alia prinbent cyclois, cis is, spiralis Archi' medea. Non sine ratione addidimus
hanc reductionem, cum eadem ut
mur in altioribus ι prouti suo loco constabit in Mechanicis, ubi probi mala physico. mechanica solvuntur. Probe autem notandae sunt hae red mones iis, qui ad tertium cognitiOnis gradum adspirant, ut vim princi pii reductionis per omnem Artem imi veniendi utilissimi rectius percipiant. Ceterum eodem instituto, I. 147 A Lino. rectificationem parabolae reducimus ad quadraturam hyperbolaei id quod ideo attentionem mer , tur, ut discamus subinde summatio
317쪽
nem ejusdem elementi dependere,& a quadratura eurvae, & a rectificatione arcus cujusdam. Habet enim hoc usum non contemnendum in methodo tangentium inversa, ubi aequationes differentiales construere iubemur, supposita curvae cuiusdam quadratura, vel rectificatione arcus. Exempla occurrunt in Mechanicis ,
ubi problemata physico- mechanica solvimus. Quodsi enim tempestive animum advertamus ad talia, quae in progressu usum praeclarum habent; quae alias difficilia videntur, facilia
evadunt, nec perturbatur animus,
quando applicantur ea, quorum idea nobis iam familiaris evasit; praesertim cum haud raro in lita , nomdumque perspecta videantur, quae eκ anterioribus nota esse poterant, si attentione sufficiente in iisdem usi fuissemus. g. a o. Rectificatio curvarum , perinde ac inventio sectorum ellipticorum & hyperbolicorum, interdum requirit calculos admodum proliXos. Ne igitur prolixitate tyrones redderentur perplexi, & a solutione problematis deterrerentur; calculos in . tegros admodum distincte explicatos exhibuimus. Consulent autem sibi tyrones, si initio generalem quandam ideam solutionis animo concipiant; veluti quod in rectificatione arcus elliptici S. ira Mat. in .
primum quaeratur valor ex aequatio ne ad curvam, deinde tam ex numeratore , quam denominatore, in
valore isto emergente, extrahatur ram dix per theorema Newtonianum, &tandem series pro numerator C emeringens dividatur per seriem, quae emergit pro denominatore. Hoc pacto enim, in usum solutionis problematis, problema unum resolvitur quasi in plura , quorum unumquodque
sigillatim solvi potest. Circa divisionem attentionem meretur artificium,
quo calculus a perplcxitate liberatur, ut distincte singula ipsis oculis ex hiabeantur : quod non modo facit ad facilius evitandum errorem, qui in calculum perplexum facile irrepit,
desectu attentionis; verum etiam omnem molestiam aufert, qua attemtio turbatur. Distincta perceptio in- tellectus est : unde qui intellectus perficiendi gratia Mathesi operam n
Vant, non modo nostro more lingula distincte sibi repraesentare, Verumeti m ad diversa artificia, quibus cofine hinc inde utimur, animum so
licite advertere tenentur. Ceterum ne quis aliorum libros evolvens, in quisus eorundem Problematum s lutio occurrit, existimet, paucis ibidem explicari, quae a nobis tanta proliXitate expediuntur; monendum esse duco, autores plerosque scribore peritis, non tyronibus, quorum utilitati nos velificamur; adeoque multa omittere, quae a lectve supplenda sunt , siquidcm vcritat naassequi voluerit. Unde non modo tyrones , verum etiam.ha id raro exercitatiores multum temporis
318쪽
αουε DE STUDIO MATHESEOs RECTE INSTIT.
fallunt P antequam multo labore ab altero dicta assequantur. Nobis v
ro , qui tempus rerum omnium pretiosissimum existimamus, propolitum est, ut sine omni temporis dispendio sciendi cupidos ad scientiam perducamus ι cumque aliorum facilitati omni modo studere nos iubeat philosophia nostra, id quoque agendum
esse arbitramur,ut in discendo omnem a discentibus molestiam arceamus. g. aqI. Inprimis autem in doctrina de rectificatione curvarum attentionem meretur methodus , qua, ex
quantitate per seriem data, invenitur series pro quantitate variabili, ex qua formantur seriei prioris termini; veluti dum ex arcu dato sinus quaeritur. Etenim arcus datur per seriem infinitam, cujus termini formantur ex sinu, & sinus quaeritur in
serie, cujus terminI formantur ex a G. Nititur ea methodo extrahendi
radicem ex serie infinita, quam eum in finem explicavimus in Analysi finitorum. Inventa est a NEWTONO; quemadmodum constat ex literis ad LEIBNITIUM datis, quae leguntur apud A L L I s I U M, volumine teristio Operum, diciturque Regressus scirierum. Subinde tamen artis est applicare methodum extrahendi radicem in aequatione infinita in regressu serierum. Exempli loco in proble-i 63 in . , quo ex dato arcu invenitur sinus versus. Sol tio igitur problematis imus attentionem meretur, ut artificium, quo hic
utimur, in aliis casibus similibus a Lhiberi possit. Neque enim sufficit,
ut intelligantur, quae docentur, si quis a 1 tertium cognitionis gradum adipirat; sed artificia quoque analytica addiscenda in usum futurum , cum regulas doceamus per exempla. Ad hactenus dicta qui animum attemdit , in ceteris sese satis utentum at que acutum praebebit, ut plura m neri non sit opus. Immo si quis ea attentione in discenda Mathesi uti voluerit, quam tantopere inculcamus; acumen singulare acquiret, quo facile , nullo quasi negotio, discernet artificia in solutionibus problematum adhibita , eorundemque a se invicem dependentiam animadvertet : id
quod utile crit iis, qui, studio theseos ac in specie Algebrae, in Α te inveniendi generali proficere strudent ad recte philosophandum nocessaria. S. a a. Circuli rectificatio etiam deduci potest ex quadratura circuli. Quoniam enim area circuli prodit
ducta peripheria in quartam diam tri partem S. rs Geom. , peripheria prodit, si seriem, quae exprimiti aream circuli, dividas per i Indei est, quod, si diameter lacrit I, pro quadrante eadem prodeat series Pri' - r Φ, Di 18 Anal. in . ,
quam pro circuli area reperer mus, quadrato diametri existente i. Etenim si seriem per S dividete v
'lueris . Numeratores terminorum
' ducendi sunt in , S. a 43 Arisbm.
319쪽
Notandum adhuc est, ex formulis indefinitis erui posse adhuc alias so mulas pro circulo integro, vel ejus peripheria integra, si valor ipsius vnon explicetur per diametrum, I, sed per sinum , sinum versum, colinum, vel tangentem alicujus arcus r quo in casu sipius prodit series magis com Vergens, cum priori modo inventa minus convergeret oe contra. EX. gr. Si tangens fuerit x, pro arcu prodit -ἰκ - - - Η -kx Ακυ dee. Ponamus arcum x eise 3o'. Si su
obrem si seriem, ducas inhoe est, si V i multiplices per 6, cum sit εὐ* - UI Ia - a. 3,
IIo 3 Si adhuc addas terminum series s quentem - τω r, eodem modo r i peries
Unde series pro circulo resultat a x
320쪽
; os DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
finitum. Etenim numeratores progrediuntur secundum numeros impares; denominatores componuntur ex binis faetoribus, quorum unus sumitur ex progressione geometrica, cujus terminus primus s, & cxponens rationis eidem aequalis ι alter vero per saltum excerpitur ex serie numerorum quadratorum unitate mulctatorum, quorum radices sunt A. 8. I a. &c. hoc cst, progredium tur in progressione arithmetica, cuius tcrminus primus est & differemtia terminorum eidem aequalis. Nisi formulam abbreviare voluissomus reductione binorum terminorum
dirersis signis praeditorum ad eandem denominationem; lex progressionis in infinitum manifestari quoque p. terat in sermula j3 I- τοτ resolvendo denominatores in suos factores. Cum enim sit 3 - F. s
Una hic series factorum progreditur secundum numeros impares I. 3. I. 7. s. I I. altera vero in progres.sione geomettica, cujus exponem rationis 3, nimirum I. 3. s. 278 I. I 3. s. a 43. Patet hinc non temere
esse judicandum, utrum series aliqua citius appropinquet altera, nec ne,& num constante quadam lege pr grediatur. Neque enim eadem formula indefinita in omni casu particulari aeque appropinquat, & lex progressionis saepius latet, atque in casu particulari non eadem est, quae in universali. Liquet etiam ad det gendam legem progressionis ficere Arithmeticam, seu numerorum sciemtiam, quae subinde etiam compendia summationis quotlibet terminorum seriei subministrat; ut ad o inutile existimare minime debeat studium, quod in speciebus numerorum certa
lege progredientibus & in iis summandis collocatur; sit ita quod die Geometria magis excolatur Arithmetica, immo Geometriae ad Mechanicam applicatae magis habeatur ratio, quam purae. Apparet etiam usui formularum minime obstare , quod irrationalitati obnoxiae sint; &in casu particulari sol mulam ab ira tionalitate liberam eidcm implicar posse citra ullum incommodum, im mO usum ejus per hoc fieri posse expeditiorem. Haec probe nota
da sunt, ne judicium de formulis diversis i praeciphemus , quando de