장음표시 사용
321쪽
unius prae altera praerogativa agitur.
Etsi itaque jam in superioribus g. a 38 de transmutatione seriei ἀ-
nitia a, seu Gregoriana, pro circulo in alias quaedam monuerimus; non
tamen piguit plura in eam rem ducere S. 24i , tum ut intelligatur,
ex eadem formula, per transmutationem communi Arithmetica nixam,
varias &duci posse alias, tum ut constet, hoc non inutiliter fieri, ubi eaedem ad praxin sunt transserendae ;tum ut excitaremus attentionem eorum , & juvaremus eorundem acuis 'men , qui de seriebus infinitis ad lusum aptandis sorsan commentari do creverint. Neque enim inutilem operam sumeret, si quis hoc argumentum pro dignitate tractarct ι ne , inanes viderentur speculationes, quae icertum sui pollicentur usum. Nec est quod excipias talia peritis nullum facere negotium. Nam quibus sese commendat usus, ii non semper, immo rarissime adco periti sunt, ut ta- ilia per se assequantur. I. 24 . Ut haec rectius Intelligantur; lubet exemplo quodam docere, quomodo per series infinitas inve- niantur approximationes in numeris quantalibet exactitudine, prouti plu- , res vel pauciores terminos summare libuerit. Resolvuntur autem termini singuli in fractiones decimales iperi divisionem; quemadmodum fecimus in extractione radici in 'aequationibus per approximationem
in numero cyphraimili quoto praesi-gendis aberres; tenendum est, tot praefigendas esse cyphras, quot diumeratori cyphrae adjiciendae, ut pruma divitio suceedat. Exl. y si s
ctio suerh ὁ, divisio non succedit nn unitati adiecta cyphra. Quoro Uitur praefigitur cyphra una, ut constet deficere integra, seu locum urit rorum esse vacuum , & fractionem
incipere a partibus decimis. Si stactio fuerit , divisio inchoari nequit , nisi numeratori t adjectis duabus phris. Unde liquet quoto praefigendas esse duas cyphras , id quod indicio est, fractionem declinatem incipere a partibus centesimis. Si fractio fuerit ili , divisio non potest inchoari, nisi tribus ' sphris nuthmratori 1 adjectis quorti igituli 'ra, figuntur tres ciphrae, & fractio decI- malis incipit a millissimis. Similiter fi fractio fuerit Viri; quoto denuo adiiciendae sunt cyphrae tres & fractio incipit itidem a millesimis. In casu tamen particulari dantur compendia singulos terminos per divisionem In fractiones decimales resolvendi, quando scilicet alii ex aliis jam ia- ventis inveniri possunt. Quamobrem sumamus seriem pro circulo
322쪽
3io DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
esse radicem in fractionibus decimalibus f. a 74 AEuhm. , continuata ope. ratione ab tot loca, quot vitum fue- .rit. Quodsi hanc dividas per ψ, habebis Isia, consequenter numerum, a quo summa terminorum signo negativo affectorum subtrahenda venit. Dividatur jam eadem radix pers, s sive 8 I, 9 sive Ias, &c. ut habeatur-Isa, - Isa, ris s s . V rsa, &c. aut, quod perinde est, quotus anterior semper per s, pro obtinendo proxime sequente. Porro numerus , is a multiplicetur pcra, & factum dividatur per is, ita prodibit numerus respondens -- I su Similiter numerus -
Isa multiplicetur per 1 & factum
dividatur per , ut prodeat numerus -- Isa; atque ita posero. Quodsi enim terminos hosce, in unam summam collectos, subir has a numero Isa, relinquetur ni erus peripheriae circuli respondens, posita diametro r. Cum sit j isa - 23. 8364o646o II IR
323쪽
324쪽
DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
. Series haee eum ' metui DoLar HI prorsiis eonsentit r notae enim ultimae 'non habetur atio, quia ac curata non em saltem' dubia , propter ea quod Τgnoratur, italis sit pmditurus, si calaulus produceretur Equidem calculus hic videtur admodum prolixus i quod si tamen quis eundem conferre volucrit cum calculo LUDO L p M l in Libro circulo & -- scriptis, facile intelligit, quanto Ludos ριμαι sit operosior di molestior. Iai-
fractiones decimales resolvere vel*t,
ad tot loca producςret. S. a s. Qiram vis autem ex allato cicemplo agunde perspiciatur,' qii modo seriebus infinitis lit utendum; . noti, Int sultu tameti existinatius alterum adhuc a est' exemplum. Si 'sthus arcus sit 1, imbi totus G r,
325쪽
tum. Sit 3 sinus arcus 3σφ; erit is I; adeoque series degenerat in
. in infinitum ; consequenter si diam ter fuerit et, eadem series exprimit arcum fori Quodsi ergo terminum
primum ducas in es, & qui hinc prindit i , in/' coricientem secundi,
a a. 3. Aut habeas - , obtinebitur series pro
enim hic opus est , ut termini singuli: multiplicentur per E , quia sinitentem semper ingreditur proxime praecedens ἔ adeoque' primus, qui est sextuplus. primi in anteriore serie , I terminos' omnes seque tes. Non 'igitur alia re opus est, quam ut esolvas in fractionem decimalem
tertium vero ducas Inga, seu multiplices per as, & dividas per r68, ut prodeat quartus a os 2633ς 28 7i r 8; & ita porro. Godui enim terminos omnes addas, aggregatum erit peripheria circuli, cum numeris dolphinu consentiens. Sane si quatuor saltem terminos addis, posita diametro io ooo, prout hic iactum esse vides,
habebimus pro peripheria 3I4I, .cum nota ultima non sit accurata. Reperitur adeo ratio diametri ad peripheriam ut Io oo ad 3i t cum turistianis numeris consentiens. Nisi adeo fractiones decimales ad multa loca extendere volueris, sed in paucis numeris acquiescas, quemadmodum fecere ARCHIMEDEs, PTOLONAEUS, alii; exiguo tantum calculo opus est. Similiter brevi calculo iidem numeri inveniri pinerant ex serie praecedente. Cum enim sit . Is 1 - 3. 664ro &a. I 396o R Aa 7Ioο - A-B. Isoo . B C
326쪽
at , DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
...t 3I6 6 Periphoia cireuli, in qua quatuor numeri 3I I, urandi , cum Ladost s consenuunt.. f. a 6. Quod si resolutio serietum infinitarum hic data probe perpem datur ; nullus dubito fore ut, in s ricbus ad usum aptandis, nihil post o hae supei sit difficultatis. Inprimis auis tem hinc perspicitur, quantum inte sit, ut lex progressionis in infinitum sit manifestas ne multo labore domum inves andi sint, termini, qui hus habemus opus, & ut termini sequentes inveniantur ex antecedentibus , sive id fiat per dependentiam eorundem a se invicem in sermulara generali, quemadmodum in exemplo astero: g. a s , sive id singulari quadam ratione contingat in casu parti culari, quemadmodum in exemplo primo . . a s . Intelligimus etiam quanta, in tractandis altioribus, a tentione opus se ad maxime vulgaria, ne ea eidem sese subducant, & per ambages incedamus, ubi brevior ducit ad scopum via. Ex. gr. notissimum est ex communi Algorithmo fractorum, si Φ dividas per ρ, quintum esse -; si porro dividas pers, quotum esse a. & sic porro in im
porro,operois calculo invenies nummiros A, B, C, D &e. qui, continua diu,sione antecedentis per s,multo facilius eruuntur. Immo si quis una divisione terminum quemcunque resolvere ve
let, V. gr. secundum V isa sive
I 3. 836qo &c. per 3 , di sectum dividendo per i 3s; in ambages mult' longiores incideret; adhuc longiores futuras, si terminus quilibet reduceriiatur ad pure irrationalem & ex eo Ex traheretur radix, veluti si fieretia..
traheretur radix. Non existimandum est, talia inutiliter moneri r nisi enim ad ea animum reflectamus, ubi obvia sunt, attentioni nostrae sese subducem; ubi magis latent. allustria dare potet . ramus exempla, nisi nostrum foret ab invidiosis abstinere, quae nulla necessitas imperat. Ad vitandam itaque αδεο - sedato opus est animo; ne asepetitus . influat in determinationem operationum Imellectus, in qua nullae
ipsiuis sunt partes. IEstinctae notione nullibi
327쪽
nullibi negligendae sunt, ubi earum participes fieri possumus; praesertim siquis philosophari constituit, & ad vitae
perfectionem tanquam ad scopum tendit. Diximus insuper, quam difficile
sit de praerogativa formulae unius praealtera flatuere, nisi utriusque resolutione observatis omnibus, quae observari
possunt, facta. Sane si formula post
fore utaris pro circulo, & terminos rosolutos sibi invicem legitime subordines, & idem facias cum priori ι videbitur posterior priori longe anteponenda. Enimvero si totam operationem in casu priori conseras cum tota in altero; praesertim ubi divisionem per novenarium transmutes in substraciis nem S. ri 6 Arithm. ι longe aliter senties. N ,lo addere plura, ne videar
in levioribus commendanais nimius; praesertim iis, qui, cum in calculis
consenescere decreverint, nec studii Matheseos utilitatem extra Mathesin quaerant, illorum fructum prospicere
S. 267. In capite de cubatione stalidorum & complanatione superficierum tantummodo notandum est, quo.
modo Elementa solidorum di superficierum eorundem inveniamur ; de quomodo pericalculum summat numiceruta soliditate vel superficie corporis rotundi, investigentur per in calculum literalem theoremata praxi inservientia. Inprimis hic attentiunem meretur, quomodo solidum.unum transformetur in aliud ipsi aequale.
La cum iacilia sint, pauca tantum
modo speciminis loco exhibuimus, cum unusquisque per se plura addere possit.
S. 2 8. Methodus tangentium in. ver a maximae utilitatis est in sublimio .ribus, atque ideo maximam quoque meretur attentionem. Ejus saltem priamas lineas duximus ; ut nascatur me thodi hujus idea in animis tyronum; ne haesitent in problematis,quae in Mecha. nica traduntur. Duo autem hic praeceteris notanda sunt; primum quomodo constructio aequationum reducatur ad quadraturam curvarum simpliciorum & earundem rectificationem, ut appareat, quomodo solvantur probi mata , supposita quadratura curvae vel rectificatione arcus; deinde quom
do ex aequatione differentiali ad imgatithmicam deducatur modus diffsrentiandi quantitates, quas togarit mi ingrediuntur s. a 43-in . . Hujus enim usus insignis est in inveniendis logarithmis, tam numerorum vulgarium, quam sinuum, atque tam gentium; quemadmodum capite se in docetur. Eodem quoque artificis nititur calculus exponentialis, quem integra sectione tertia exposuimus,&construistioi licurvarum' exponenti
lium, ope togarissimi , atque qua titatum, quas togarithmi ingrediuntur; cujus exempla dedimus capite ait ro hujus se nis. Hinc vero esuincet injignis lineae. Iogarithmicae utilitas, quam nemo praevidere poterat,
iis prolis notanda, qui ad tertium cognitionis gradum adspiranti Ratio-R r a nem
328쪽
nem jam dedimus in superioribus S. I 76 . g. 249. Artificia, quibus utimur in investigando modo difierentiandi differentialia L asT Analys
eadem sunt, quae ante adhibuimus ad investigandas regulas disserentiandi quantitates finitas, & quae jam
nobis innotuere in calculo literati, ubi algorithmum fractorum ex algorithmo integrorum, di algorithmum irrationalium ex algorithimo rationalium deduximus; ut adeo hinc appareat , quomodo quae vulgaria videntur , haud raro prosint ad altiora; di quam utile sit ad artificia, quibus utimur in facilioribus , animum attendere , ne impervia nobis videantur magis ardua. Cum Methodus determinandi puncta flexus contrarii curvarum non miniis utilis se , adductum curvarum repraesentandum, quarum praeter aequationem nihil novimus, quam methodus de maximis, 'HInimis, di methodus, determ puncta, In ciuibivrcviva rectam
hilluui datam laeo, quam in su- Hilogia illustravimus; illa verozaealaulo disserentiali pendeat eam. hubdiae exemplis, mullis illu- . ' Etsi enim curva lato,M-eonstrui possit, ope immen punctorum, quae per eas minthodos determinantur, ductum ejus aginari licet. . Exempla occurrent
In doctrIna de' evolutioiane 'curvarum, quam capite tertio proponimus, notatu maxime dignum est, quod cyclois sua evolutione seipsam describat s. 3 so Anaidis in ' ,
cum hoc faciat ad perscctionem motus penduli, quo horologia automata ad maximam persectionem perducuntur , quemadm6dum in Mechanicis demonstratur. Sane ea ipsa pe movit Hu GENIUM, ut de evolutione curvarum cogitaret, sicuti ex
egregio Mathematici summi Din uis tirologio oscitatoru intelligitur. Notandum praeterea, quod inserviat rectificationi curvarum, & ipsam
curvedinem curvae discernat s ut a cus circuli osculatoris Pro arcu eu
vae alterius in praxi substitui possit S. 33 et Ana. Applicatio Eilculi disserentialis in hoc argumento , nihil habet, quod non sit ex ant rio mire manifestumia Hoc tamen a, huc attentionem meretur, quod determinatio radii osculi, stu evolutari,
interdum faciat ad theoremata selecta eruenda'. quemadmodum exemplo logarithmidae docemus u. 3 Ia
L 2II. Arithmetica infinitorumginvento calculo disserentiali & si matorio, non- a lius eum , habet usum quem habere poterat,s is non. dum filisset inventus. Eam itammpraetermittendam esse non duximus; ne quod sit inventum, celebre inter
recentiores ii Mathematicos in nomo ,
adeptum 'quod a nobis non Illustro tur.' i Eis autem pauca tantummodo . de exi tradidisse videamur , plura.
329쪽
cip. IRI DE STUDIO ALGEBRAE.3 17 tamen dedimus, quam in prolixo
Mlus inesset artificiorum reconissem sim rus , quod sibi proposuer oly D se fecit. linae de ter 'ρ ultimo sortes continuatae evanescente notanda sunt, siueis perspicue , exposuimus f. βψ FAMI s. D. . , ut plura eam ita rem annotari minuite .sit opus- Raxio ocur usum , Arithmeticae infinito go uendi, fluasi, lino infim tum licuerit ultra terminos, intra, quos Aa B -- MALO coacetur, in summatione
potentiarum & numerorum pyrami-dalium conlistit, quam in Analys finitorum universali quadam ratione
Echanica a Veteribus . . ., M 1V1 inventa fuit . in usum
machinarum: Veteres enim laudabili exemplo in: theoria semper respicio. bant ad usum in, praxin ι quippe cum In omni theoriar genere intendenda sit praxis. quemadmωum in Phil Ephiae sedulo inculcamiisse . Primas eius lineas duxit, Axoni MaDε sin libris de aequiponderantibus, nec
simplices diximus; in me nica nox
considerarunt nisi machinas hinfice,
vectem, axem in peritrochio, 'roctaleam, cochleam, planum& cuneum, quarum xin f v plissimam, sed nimix. dimisam tu A RIO NONI U s in
in quo nonnisi adest conatus ad mo. tum , quam vim mortuam vocuLEIBNiTI Us ; propterea ' quod sublato aequilibrio , dum potentia motrix augetur, nascitur motus diaveris celerita is, pto diverto lilius incremqnto, seu excessu potenti
330쪽
jia DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
motricis sepra pondus movendum. Inde est quod, in agitandis machinis,
Non modo potentiae motrices conse- tantur cum pondere movendo; v
rum etiam ipsa mei ad pondus ipsis
aequale, & resistentiae in motu machinarum superandae ad pondus aequi valens reducuntur; quatenus poten tiae cuilibet motrici, quoad effectum,
substitui potest aliquod pondus, vi
gravitatis, qua ad descensim urgetur in machinam agens, seu eandem animans ; & resistentiis superandis substituere licet pondus eandem p tenuam motricem requirens, si et vari debet. Atque haec pr e notanda sunt tyronibus, ut & mentem Ueterum plenius assequantur, de in applicatione theoriar machinarum simplicium.ad praxin, hoc est, ad machinas compositas explicandas nihil sentiant difficultatis. Patet hinc, quod L his Ni T IUs asseruit, Vct res nonnisi vis mortuae notionem habuisse. GALILAEus in Dia is de ν-ta ulterius primum progressus, &motum gravium descendentium, de proiectorum explicare coepit, non infelicitere eum vero In finem praemisit theoriam motus aequabilis. At lini etiam nonnulla de motu pem' dulorum, sed quasi obiter. Ac ratius vero, & data opera, in eumdem inquisivit H u G E M I u s in Tractatu de Horoum oscitauris, & the tiam inprimis ccntri oscillationis superaddidit. occasione motus pendulorum idem incidit in vim tam trifugam , quam in circulo ad examen revocavit, adjectis in fine Tractatus de horologio oscillatorio theorematis de vi centrifuga , quorum demonstrationes demum publici iuris factae sunt in posthumis. Inde
NE in TONUS vires centrales, tam centripetas , quam centrifugas eo siderare coepit etiam in curvis aliis, praesertim centripetis, & ad explis candum motum Planetarum the riam transtulit, in Principias Phil Ahia nataralis mathematicis. C A R.
T E s IV s, in Principiis PMusiphia, leges motus ex percussione explicare aggrediebatur, sed non satis feliciter, cum ad veritatem liquidam perting
re non potuerit. Postea vero A Lis Lls Io, CH Ris TopHORO& HUOEMIO negotium felicius cessi s quorum ille leges motus corporum non elasticorum, hi vero cor porum elasticorum bene explimram Quoniam autem motus corporum diminuuntur propter resistentia e dii, in quo moventiu . inli eandem quoque inquirere coepit sius; deinde vero hoc argumen tum ulicrius prosecutus cst NEWTmNUS in Hinc ju modo laudatae Denique cum calaulus differenti lis esset inventus , i& a Geometris praeclaris, quos inter. eminent BE NOULLII fratres , ad seisionem problematum physic mechanicorum transferrinur ι descensiui de ascensis corporum in lineis eurvis inpendi coepit. Atque sic tandem