장음표시 사용
111쪽
ς Etielidis Elem. Theore=na . propositio Si duo circu 'i se invicem seincent, non erit ιpsorum idem centrum. I xuo enim circuli se invicem secent
B, C. Dico ipsorum id Ecentium nCn esse. Si. n. sreri potest , sit centrum E ; jungaturqire EC, Se EFG utcumql educatur ;El quoniam. E centrum est et rculi ABC erit CE ipsi EF ά equalis. rursus quoniam E centrum est CDG circuli, aequa. Iis est CE ipsi EG . sed ostensa est C E aequalis EF. ergo EF is,cl EG aequalis erit, minor maiori, quod seri non potest. non igitur puncturn E centrum est circulorum ABC, CDG. quare si duo circuli se invicem secem, non erit ipsisium idem centrum . Q d. ostendendum fuit. Theorema s. Propositiο6 Si duo circuli se se intra eun-
ringant, ipsorum idem centrum non erit. '
Duo . n. circuli ABC, CDP contingant se se intra in puncto C. Dico ipsorum non idem centuti m. si enim fieri po- 'rest , sit E , iungaturque EC . ME FB utcumque ducatur. quoniaititur E centrum est circuli ABC.
1 aequalis est CE ipsi EB: ruisus
112쪽
CDF, erit CE aequalis FE offensa autem est C E aequa Iis EB, ergo, & EF ipsi EB est aequalis, minor malori quod fieri non potest. non igitur E punctum centrum est circulorum ABC, CDF. quare si duo circuli se se
intra contingant, ipsorum ident centrum non eri P quod demonstrare oportebat Theorema 6. Propositio 7. Si in cireuli diametro aliquod punctum D marur, quod non sit centrie, circvl, ab
eo in circulu=n cadant 'teadam recta linea; mxxim quidem erat, in sua centrum I minimis vero reliqua et aliarum autem pro inquior eia, qria per centrum tran .st, fem par remotiore major . at duae rant m αqua les ab eodem pura ιIO in e re alum o dent ad utrasqδε partes mιλλι ma.
7 non sit centriini circuli. Sit au cireuli centrum E : di puncto F intra circulum ABC cicadant quaedam lineae FS, FG, FG. Dico FA ma Xira mamesie,&FD minimam 2 aliarum v o F quidem maiorem quam FC, & m maiorem quam FG. iungant cir . n. I , CE , GE . Et quoniam omnis trianguli duo latera reli ruo sunt male,ra; erunt BE, , et O. Primia a
113쪽
MAid. Elem. majores quam M. est aut AE aequalis Es. Ergo Eri ipsi AF sunt aequales. maior igitur est AF, qua α FB. rursus quoniam BE est
l FE, duae BE,EF duabus CE,EFix aequales sunt.Sed sEF angulus f m ior est augulo CEF. basis igitur BF basi FC est maior a
Ic eadem ratione,& CF major est quam FG. rursus quonaam GF. o maiores sunt quam EG, aequalis autem GE ipsi maerent GF, FE maiores quam ED. communis auferatur EP. Ergo reliqua GF maior est quam reliqua να maxima igitur est FA , & FD minima : maior vero BF quam FC, & CF quam FG maior. dico , & a puncto F duas tantum rectas lineas cadere in circulum ABCD ad utrasque partes minimae FD. constituatur n. ad lineam EF, atque ad datum in ea punctum Eangulo GEF aequalis angulus FEH. 3 δ &FH iu gatur. quoniam igitur GE est aequalis ΕΗ .communis autem EF, duae GE, EF duabi' ΗΕ, EF aequales sunt: 8c angulus GEF est aequalis angulo Η . Dasis igitur FG basi FH aequalis erit. dico a F in circulum non cadere aliam ipsi FG aequalem . si enim fieri potest, cadat FΚ.& quoniam Fx est aequalis FG. estque ipsi FG aequalis Fri erit, & FK ipsi FH aequa-ra, videlicet propinquio Ui,quae per centrum uansita
114쪽
GMκ Ter iuri Maequalis remotiori, quos fieri non potest . vel hoe rhodo , iungatur ΕΚ , & quoniam GE ipsi Exest
aequalis, communis autem FE . 3c basis GF aequalis basi FΚ ; erit,& angulus GEF aequalis angulo KEF. Sed angulus GEF angulo HEF est aequalis: angulus igitur H EF ipsi KEF aequalis erit, minor maiori, quod fieri non potest quare i puncto F in pirculum non cadet alia recta linea aequalis ipsi GF. Ergo una tantum cadet. si igitur in circuli diametro aliquod punctum sumatur, qu non sit centrum cireuli, dc re liqua, quae sequuntur . quod demonstrare oportebat.
T,eorema T. Propositis s. sa extra eireulum aliquod punis dium sumatur , atque ab eo ad circulum dueanta
quadam recta linea, quarum una per centrum transeat. alia ver. utcumque: earn quidem, qua in eon cavam circumferentiam cadunt, maximo est, qua per centrum transit; atiarum autem propin uior ei, qua per centrisi, semper remotioυ mahor est. at earum , qua in curvam circumferentiam eadunt minima est, qμ inter punctum, O diametrum interlicitur λ aliarum vero , que propinquior mi uim a semper remotiore essmιριον. dua autem tantum aquales a pun to in cireu.lum cadant ad utrasq; partes minιma.
SIt circulus ABC, & extra eirculum sumatur ali
quod punctum D: ab eo autem in circulum d 'camur rectae lineae quaedam DA, DE, DF, DC: sit qua D A per centrum. DAo earum quidem , quae in concavam AEEC circumferentiam cadunt , maXmlatu esse .
115쪽
Eueliss. Elem. esse DA, quae per centrum transit; & minimam , quae interpunctuin D, dc diametrum AG interlicitur, videlicet D G: maiorem autem
quam DC: earum verb , quae iacuIvam circumferentia HLKGcadunt, quae propinquior mi ni me DG semper' remotiote esse minorem, hoc est DR minorem, quam DL , dc DL mi. norem quam DFI. Sumarur .ri. centrum circuli ABC, quod sit Μ, & iungantur ΜE, MF, MC, 'MH, ML, ΜΚ . & quoniam AM est aequa is ME. dc c inmu- ess apponatur ΜD . ergo AD
monitiabimus, & FD majorem esse quam CD. ergo Iria Sima est DA; major aut DE quam DF 6c DF quam DC major, Praeterea quoniam MK, KD sunt maiores quam .MD , & MG est aequalis MΚ erit reliqua KD lquam Teliqua GD m cIor. quare GD minor quam ΚD, l
116쪽
& idcirco GD , minima est ; & quoniam trianguli
ΜLD in uno latere ΜD , duae rectae lineae ΜΚ, Κ D, intra constituuntur, erunt ΜΚ, Κ D minores ipsi ΜLLD, 3 quarum ΜΚ est aequatis Μ L, reliqua igitur
DK minor est,quam reliqua D L . Similiter ostendemus es DL, quina DH minorem esse. Ergo DG mini ma est; minor vero DK quam DL,& DL minor,quam DH. Dico etiam duas tantum aequales a puncto D, in cuculum cadere ad utrasq; minimae partes , constituatur ad rectam lineam ΜD, ad datumq; in ea punctum Μ, angulo ΚΜ D aequalis angulus DΜB, dc DB iungantur; iraque quoniam ΜΝ in aequalis ΜΒ, communis autem MD,duq ΚΜ,Μν duabus BM,ΜD aequales sunt , altera alteri, di angulus ΚΜ D, aequalis anmlo ΒΜ D, basis igitur DK basi DB est aequalis. s Dico a puncto D, nulla aliam ipsi DB aequa Iem in circulum cadere, si enim fieri potest , cadat DN , di quoniam DK est aequalis DN , & DK ipsi DB est aequalis; erit,dc DB aequalis DN, propinquior sci- Iicet miniinae aequalis remotiori, quod fieri non posse ostensum est. Vel & aliter. Itingatur MN, & quoniam aqua is est ΚΜ ipsi ΜN , communis auten ΜD ; de basis DK basi DN aequalis erit , dc proprerea angulus ΚΜ D aequalis angulo DΜN. Sed ii D angulus est aequalis angulo BΜD; angulus igitur sΜDangulo NΜD aequalis erit, minor maiori quod fieri
non potest, inare, non plures quam duae rectae lineae ' puncto D, in circulum ABC ad utrasque partes mi-G niis
117쪽
98 Euesidis Elam. nimae GD cadent. Si agitur extra circulum aliquod punctum sumatur, dc reliqua deinceps, quod ostendere oportebat. Theorema Propositio 9. . Si intra eirculum fumaturali quod punctum, atque ab eo in cireulum cadant plures, quam dua recta linea aquales , punctum, quod δε-
C It eirculus ABC ,& intra D ipsum sumatur punctum
D, a quo in circulum cadanto plures , quam duae rectae lineae aequales, videlicet DA, DB, DC . Dico punctum D. circuli ABC cciitriim esse. Iungantii renim AB, BC. seceturq; bifariam in punistis E,F : & iunctae ED, DF, ad puncta producatur, quoniam igitur AE est aequalis EB , communis aute ED, erunt duae AE,ED, duabus BE, ED, aequales;& basis DA, est aequalis basi DB,angulus igitur AED, angulo BED aequalis erit, I di idcirco uterq; angu- . lorum AED, BED est rectus. et Ergo GK bifariam secans AB, Bd ad angulos relios secat. & quoniam fi in circulo qusdam recta linea, rectam linea quandam bifariam,& ad angulos rectos secet, in secante est circuli centrum; c 3 erit in GK centrum circuli ABC,
118쪽
ABC. Eadem ratione,& in HL centrum est AEC eirculi, & nullum aliud commune habent rectae lineae GK, HL, nisi punctum D. Ergo D circuli ABC est ce-trum. Si igitur intra circulum sumatur aliquod punctum, atq; ab eo in circulum cadant plures, qui duae rectae lineae aequales ue punctum, quod sumitur circuli centrum erit.
ALITER. Sumatur enim intra cireulum
ABC punctum aliquod Dratque a puncto D, in circulum . ABC cadant plures, quam duae rectae lineae aequales DA , DB, CD. Dico punctum D,quod sumitur , circuli ABC esse cenistrum, non enim; sed si fieri potest, sit E , & juncta DE in FG producat ur ergo FG diameter est ABC circuli, itaq ;quoniam in FG diametro circuli ABC sumptum est aliquod punctum D, quod non est centrum circuli; maxima quidem erit DG , maior autem DC , quam
quod fieri non potest, non igitur E centrum est circuli ABC . Similiter ostendemus , neque aliud punctum centrum esse prς ter ipsum D, ergo D circuli ABC, centrum erit, quod oportebat demonstrare. G a Thesis
119쪽
Ioo. Melidis Elam. Theorema ς. Propositis Io. Circulus circulum in plura bur, quam duobus punctis non secat.
circulus ABC circulum DEF secet in
duobus, videlicet in B. G, H, F;&-BG, ΕΗ bifariam secentur in Κ,L, atq; a puctis K, Lipsis BG, B Hrectos angulos ductae KC,LM in puncta A, E pro ducantur. cisoniam igitur in circulo ABC quaedam recta linea AC rectam lineam quandam AH bifaria, di ad angulos rectos se eat, in ipsa AC circuli ABCerit centrum. I Rursus quoniam in eodem circulo ABC , quaedam recta linea NX rectam lineam quandam BG bifariam secat, & ad rectos angulos; in ipsa
NX centrum erit cireuli, ostensum autem est,rk in ipsa AC centrum esse, bc in nullo alio puncto conveniunt inter se rectae lineae AC , NX , praeter quam ino, ergo o cireuli ABC est celitrum. Similiter ostendemus punctum O, centrum esse circuli DEF , ergo duorum circulorum se se secatium ABC, DEF, 'idem Crit centrum o,quod fieri non potes a non igitur circulus circulum secat in pluribus punctis, quarn duobus. A L I-
120쪽
ALITER.' Cire u Ius enim ABC mr- circulum DEF secet
D in pluribus punctis,quam uti l duobus; nepe in B, G,F,in
sumatur, quod sit Κ, bc KG, KF jungantur. quonia . igitur intra circulu DEFsumptum est aliquod punctum X, quo in circulum DEF incidant plures,quam duae rectae lines X B,ΚG, KF,erit punctum Κ,cireuli DEF centrum: est autem,& eirculi ABC centrum Κ , duorum igitur circulorum, qui se se seeant, idem erit Κ , centrum, quod fieri non potest, quare circulus circulum in pluriis bus, quam duobus punctis non secat , quod oportebat demonstrare. QTheorema Io. Proposito I r.Si duo cireuli se se intul eontingant,di fumantur eentra i drum; recta linea ipsin rum centra coniungens , ct producta in circulorum eontactum Oadet.
ADE, se se intus contingant in puncto A , & sumatur-eireuli quidem ABC centrum, quod fit F , circuli vero ADEcentrum G. Di eo rectam linea puncto ad F, ductam, si producatur in punctum A, eadere. Non enim:sed si fieri po-