장음표시 사용
141쪽
ra 2 Eaelidis Elam. Igitur AK, KC, sunt aequales duabus EL,LF: & basis BC , aequalis est basi EF. Ergo angulus BKC , angulo ELF est aequalis; aequales autem anguli aequalibus insistunt circumferentiis, P quando ad
centra fuerint; quare circumferentia BGC . aequalis est circumferentiae EΗF. sed,& totus ABC,circulus, toti DEF est aequalis s reliqua igitur circumferentia BAC, reliqua EDF, aequalis erit. Ergo in aequalibus eireulis aequales rectae lineae circumferentias aequales auferunt, majorem quidem maiori , minorem, vero minuti, quod demonstrare oportebat.
Theorema 26. Propositio 29. In aequalibus eireulis,aqua tis eireumferentias aquales recta tinea subtendunt.
1 L Ide in ipsisi i l l aequales a Fu-
BC, EF, iungantur. Dico rectam lineam BC, rectae EF, aequalem esse. Sumantur enim eentra cireulorum Κ,L, x deiung ntur ΒΚ, ΚC, EL,Lri quoniam igitur circum-
142쪽
ribὸν Ter Iur. serentia BGC est aequalis eircumserentIae Em, eris,' ἔκ angulus B C, angulo ELF, aequalis. a9 Et quoniam eirculi ABC, DEF, sunt aequales, & quae ex emtris aequales erunt f 3 duae igitur ΒΚ, I C sunt aequales duabus EL , LE; & aequales angulos conti nent; quare basis BC, basi EF, est aequalis In aequalibus igitur circulis aequales circumferentias aequales rectauineae subtendunt;quod oportebat de .
oportet ADB,circumferentia bifariam secare. Iungatur AB,
di in C, bifariam seeetiir: asa puncto autein C , ipsi AB. aa
rectos angulos ducatur CD; de iungamur AD, DB. Qvniam igitur AC, est aequalis CB, e munis autem CD , duae AC , CD, duabus BC , CD, aequales sunt:& angitius ACD.squalis angulo BCD, rectus enim uterque est: ergo basis AD, basi DB, est aequalis; aequales autem rectae lineae cireumfe-- Tentias aequales auferunt, maiorem quidem maioris
143쪽
ruelidis Elem. AD , DB , ei reum serentiarum semicireulo minora quare circularentia AD, circumferentiae DB, aequa Iis erit ι data igitur cireumferentia bifariam sectata est. Mod facere oportebat.
Theorensa II. Propositio, Deireulo angulus , qui iam ieireuIo rectus vero in maiori portione, minnor est recto, O qui in mimri, major recto ct insuper majoris quidem portionis angulus recto major est , mi. Beriι voro portionis angulus recto minor.
It circulus ABCD, cuius dian meter BC , cent Ium autem E ; ει iungantur BA , AC, AD,
DC. Dico angulum quidem , quieu in semicireulo BAC, rectum esse , qui vero in portione ABC, majore semicircuis Io , videlicet angulum ABC, minorem esse recto , & qui in portione ADC , minore te mi- circulo , hoc est angulu ADC ,
recto majorem ; jungatur AE ,&3A ad F produeatur. Itaque quoniam BE, est aequalis EA,erit,& angulus EAB,angulo EBA,aequa . . tis. si Rursus quoniam AE, est equalis EC, & an tutus ACE, ansulo CAE , aequalis erit; totus igitur angulus BAC,est aequalis duobus ABC, ACB ang Iis; est autem,& atisvius FAC extra triangulu AB
144쪽
BAC, est aequalis angulo FAC;ae proptereὶ uterque ipsorum rectus. 3 QDre in semicirculo BAC,an ' .gulus BAC , rectus est; de quoniam trianguli ABC . duo anguli ABC, BAC, duobus rectis sunt minores. 49 rectus autem BAC: erit ABC,angulus rectonor, atque est in portione ABC,maiore semicirculo.QMd eum in eirculo quadrilaterum sit ABCD, qua- .drilaterorum vero , qui in circulis describuntur, anguli oppositi duobus rectis sint aequales: s erunt ABC, ADC, anguli aequales duobus rectis; dc angam Ius ABC, minor est recto; reliquus igitur ADC,recto
maior erit,atque est in portione ADC,minore semicirculo. Dico praeterea maioris portionis angulum . qui continetur ABC circumferentia, de recta linea AC, recto maiorem esse;angulum vero minoris pol. tionis contentum circumferentia ADC, de recta lianea AC, recto minorem; quod quidem perspieuhapparet. Qtaniam enim angulus, qui rectis lineis BA, AC, cotinetur, rectus est,erit,de contentus ABC, circumferentia, de recta linea AC, recto major. Rur sus quoniam angulus contentus rectis lineis CA, AF, rectus est,erit qui cotinetur recta linea CA, de ADC circumferentia, minor recto. In circulo igitur angu- Ius, qui in semicirculo rectus est, qui verb in majo- .ri portione minor est recto, de qui in minori maior rccto ι dc insuper maioris quidem portionis angulus recto major est: minoris vero recto minor. Quod deuis monstrare oportebat. ALI-
145쪽
- ιIO, EMIirit Etim. . ALITER. DEmonstrabitur angulum BAC , rectum ess QDniam enim angulus AEC, duplus est anguli BAE, etenim duobus interioribus, & oppositis est aequalis: est autem, & ΑΕΒ, dupIus ipsius E AC ranguli AEB, AEC, anguli BAC, dupli erunt. Sed, dc ASB, AEC, anguli duobus rectis sunt aequales; ergo ansulus BAC,rectus est;quod domostrare oportebat. COROLi ARIUM. Ex hoe manifestum est, si trianguli unus angulus si qualis duobus,eum rectum esse;propterea quod . di qui deinceps est, iisdem est aequalis; quando auteanguli deineeps sunt aequales, necessario recti sunt.
Theorema as. Propositio 32. Si circulum contingat quadam resta linea , a contactu autem in circulum. catur recta linea ipsumseanssanguli, quos ad contin sentem facie , aquales arunt iis, qui in alternis circuli portionibur consistunt.
tingat quaedam recta linea EF, a puncto B, ad eireulus AECD , ducatur rectaeis linea BD, ipsum utcumque secans Dico angulos,quos BD, cum EF contingente facit , iquales esse iis,qui in alternis ei reuli portionibus consist ut, hoe est angulum FBD, esset aqualem angulo, qui costituis tur
146쪽
Lner Teresus. Iaditur in D AB portione, videlicer ipsi DAB; angulum vero EBD, aequalem angulo DCB, qui in portione DCB constituitur. Ducatur enim a puncto B,ipsi EF, ad rectos angulos BA: I γδc in circumferentia BD, sumathir quodvis punctum C; junganturque AD , DC, CR. 4oniam igitur circulum ABCD, eontingit quaedam recta linea EF , in puncto B : bc contactu B , ad rectos angulos contingenti ducta est BA s erit in ipsa BA , centrum ABCD, circuli, a quare BA, ejusdem circuli diameter est , & angulus ADB, in semicirculo est rectu 3 reliqui igitur anguli BAD, ABD, uni recto aequales sunt. sed.& ABF,
est rectus; ergo angulus ABF, aequalis est angulis BAD, ABDι communis auferatur ABD; reliquus igitur DBF ei, qui in alterna circusi portione consistit,
videlicet angulo BAD , est aequalis. Et quoniam is cireulo quadrilaterum est ABCD , de anguli ejus oppositi aequales sunt duobus rectis ; s erunt DBF , DRE, anguli angulis BAD, BCD, aequales; quorum BAD , ostensus est aequalis ipsi OBF ; ergo reliquus DBE ei, qui in alterna circuli portione DCB constituitur, ridelicet ipsi DCB, aequalis erit. Si igitur ci
culum contingat quaedam recta linea, a contactu vero in circulum ducatur recta linea ipsum secans sanguli, quos facit ad contingentem , aequales eruntiis , qui in alternis circuli portionibus consistunt, quod oportebat demonstrare.
147쪽
Euelidis Elim. . Oblema s. propositis, In data Naa linea riserisere portionem circuli, qua suscipiat angulum dato aranis remtineo aqvalem.
SIt data recta linea As , datus
autem angulus remlineus . qui ad Qitaque oportet in data recta linea AB, deseribere portionem cireuli, quae suscipiat angulum aequalem angulo, qui est ad C; vel igitur angulus ad C. acutus est, vel obtusus. Sit primum aeuius , ut in prima figura,& ad rectam Iineam AB . de ad punctum in ea datum A .
gulo,qui est ad C,aequalis; ca
acutus igitur angulus est BAD , de a puncto A,lpu AD,ad rectos angulos dueatur AE; a see tur autem AB, bifariam in F , 3 atque a puncto F, ducatur FG ad rectos angulos ipsi Aridi GB iungatur . Qiwnia a igitur AF, est aequalis EB, comminunis autem FG, duae AF, FG, duabus BF, FG, aequales sunt:
148쪽
Liber Tertius. Iast& angulus HG, aequalis angulo GFB; ergo basisAG, basi GB, est aequalis. Itaque centro G , in . tervallo autem AG, circulus descriptus transibiteti 1 per B: s describatur, & si ABE, iungaturque E B. Qisnciam igitur ab extremitate diametri AE ,&a puncto A , ipsi AE , ad rectos angulos ducta est AD; ipsa AD; circulum contingeti& quoniam circulum ABE, contingit quaedam recta linea AD , & a contactu, qui est ad A, in circulum ABE , ducta est rectaea linea AB: erit angulus D B , aequalis angulo, qui in alterna circuli portione eonstituitur, 6 videlicet ipsi AEB. Sed angulus D AB angulo , qui ad C, est
aequalis ; ergo,& angulus ad C, angulo Α EB aequalis erit. In data igitur recta linea ΑΒ, portio circuli descripta est AEB, suscipiens angulum AEB , dato angulo,qui ad C, aequalem. sit deinde angulus, qui ad , rectus, 3e oporteat rursus in recta linea AB , describere circuli portionem , quae suscipiat angulum aequalem recto angulo , qui est ad C i constituatur enim rursus angulo recto, qui ad C, aequalis angulus BAD, ut in secunda figura , seceturque AB, bifariam in F, Se centro F , intervallo autem alterutra . ipsarum AF,FB, circulus describatur AEB; ergo AD, recta linea et rculum ABE contingit , 89 proptere, quod rectus est, qui ad A angulus, dc angulus BAD. squalis angulo,qui est in portione AEB: rectu S enim. ocisse est,in semicirculo consistens; sed BAD,aequa.
149쪽
rao EueIidis Elem. Iis est et,qui ad C. Ergo,& quod in portione AE 3 ei, qui ad C , est aequalis ; descripta igitur est rursus in AB recta linea , portio circuli AEB , suscipiens angulum angulo recto, qui ad C , aequalem . Denique sit angulus ad C , obtusus , &ad rectam lineam AB , di ad punctum A, constituatur ipsi aequalis angulus BAD, ut habe tur in tertia figura , di ipsi AD, rectae lineae ad rectos angulos ducatur AE: seceturque rursus AB , bifariam in F ι ipsi vero AB, ducatur ad rectos angulos FG,& GB iungatur. Et quoniam AF, est aequalis FBi communis autem FG; duae AF, FG,duabus BF, FG, aequales sunt , & angulus A FG, angulo BFG, aequalis; basis igitur AG , est aequalis basi GB. 99 Quare centro G, intervallo autem A G, circulus descriptus etiam per B , transibit; transeat , ut AE B. Et quoniam diametro AE , ab extremitate ad rectos angulos ducta est AD, ipsa AD, circulum AEB, con
tinget: ro & a contactu , qtii ad A, ducta est AB;
quare angulus BAD ei, qui in alterna circuli portione ΑΗΒ, constituitur est aequalis. Sed BAD anguIus aequalis est angillo, qui ad C; angulus igitur , qui in portione AIIB angulo , qui ad C , aequalis erit. Ergo in data recta linea AB,descripta est AH B, circuli portio, susci eiens antulum aequalem ei, qui est ad C; quod facere oportebat.
150쪽
Liber Tertius. Problema 6. Propositio 3 q. dato circulo portionem abscindare, qua j scipiat angulum dato angalo re efιtineo
C It datus circuIus ABC, D datus autem angulus rectiliaeus qui ad D ;
oportet a circulo ABC, portionem abscindere, quae suscipiat angulum angulo, qui ad D, aequalem . Ducatur recta linea EF , circulum ABC,
in puncto B, eontingens: S recta in lineam BF,& ad punctum in ea B,constituatur angulus FBC angulo , qui est ad D, aequalis. Quoniam igitur circulum ABC,contingit quaedam recta linea EF, in B puncto , & a contactu B , ducta est BC , erit anguinius FBC, aequalis ei, qui in alterna circuli portione constituitur. Sed FBC angulus , angulo, qui ad D , est aequalis ; ergo, & angulus, qui in portione BAC, angulo , qui ad D, aequalis erit. A dato igitur circulo ABC abscissa est portio quaedam BAC , suscipiens angulum dato angulo rectilineo, qui est ad aequalem. d facere olortebat.