장음표시 사용
121쪽
roa Euclidis Elem. est, cadat ut FGDH. Et AF. AG, jungantur . Itaque quoniam AG,GF, majores sunt, quam FA, r hoc est quam FH , communis auferatur EG, reliqua igitur AG major est,quam reliqua GH .sed AG est squalis G D. Ergo GD ipsa GH, est major. , minor maiore quod fieri non potest. Non igitur a puncto F, ad G,
ducta recta linea extra contactum A eadet , quar in ipsum cadat necesse est. Si igitur duo cireuli se se intus contingant ; recta linea ipsorum centra conis jungens, si producatur in contactum circulorum cadet, quod oportebat demonstrare,
ao. primi. ALITER. Q Sd eadat, ut GFC, de D producatur in dire inctum CFG,ad punctum Η : iunganturque AG AF. Quonia igitur AG , GF, maiores sunt,quam
communis auferatur FG, reliqua igitur AG, reliqua GH est major:hoe est DG maior ipsa GH, minor maiore, quod fieri non pόtest. Similiter,& si extra eit- eulum paruum sit centrum majoris circuli, iden sequi absurdum ostendemus. r .
122쪽
Liber Tereἱur. Iot Theorema II. Propositio I a. Si diis eircul; sese extra contingant, recta linea ipsorum centra coniungens percontactum transibit.
Duo enim circuli ABC, ADE, se se extra continis gant in puncto A ; di sumatur circuli quidem
ABC centrum,quod sit F: circuli vero ADE centrum G. Dico rei iam lineam,quae a puncto F, ad G, ducitur, per contactum A, transire. Non enim: sed si fieri poti st, cadat, ut FCDG: & FA, AG, iungantnr. Quo niam igitur F, centru est circuli ABC, erit AF aequalis FC. Rursus quoniam G, centrum est ADE circuli. erit AG , ipsi GD aequalis, ostensa est autem , di AF aequalis FC . sunt igitur FA , AG , ipsis FC, DG. aequales. Ergo tota FG, maior est, qua mFA, AG. Sed di minor, i quod fieri non potest . Non igitur 1 puncto F, ad G, ducta recta linea percontactum Α, non transibit. quare per ipsum transeat necesse est. Si igitur duo et rculi se se extra eontingant, recta linea ipsorum centia conjungens per contactum transibit, quod os ortebat demonstrare. G Theo-
123쪽
Theorema I 2. Propositio I 3. cireulus cireulum non conis
tingit in pluribui punctis, quam uno , sue intus sive
Μ C I enim fieri potest , circultas
AB DC cireulum EBFD c tingat primum imus in pluribus punctis, quam uno, videli cet in B, D: & sumatur circuli quidem ΑΒ DC cetrum G; cir- D euli vetb EBFD centru H,ergo recta linea, quq a puncto G. ad Η, ducitur, in pucia BD cadet. ea dat, ut BGH D , de quoniam G, centrum est circuli ABDE, erit AG ipsi GD aequalis , major igitur est BG , quam H D: & ΒΗ, qu m ΗD, multo maior. Rarsus quoniaeentrum est EBFD circuli,ςqualis est ΒΗ ipsi H D, atqui ostensa est ipsa multo major , quod fieri non potest, non igitur circulus circulum intus contingit in pluribus pune is, quam uno. Dico etiam neque extra contingere. Si enim fieri potest, circulus ACRcirculum ABDC extra cotingat in pluribus punctis, quam uno, videlicet in A,C, & AC, jungatur. Itaq;
quoniam in circumfereνtia utrorumque circulorum
ABDC, ACK, sumpta sunt duo quaevis puncta Α, C; recta linea , quae ipsa coniungit intra utrumque ipsorum cadet. sed intra circulum qu ide ABDC cadit, extra cuculum vero ΛCX, quod est absurdum , non
124쪽
Liber Ter Iuy. tosar circulus circulum extra contingit in pluribus his, quam unor ostensum autem est neque intus tingere , circulus igitur circulum non contingit luribus punctis; qu in utis,si vh intus, sivheatra ingat, quod oportebat demonstrare. rema I 3. Propositio I . In circulo aquailes recta lineor ualiter a centro distant f ct quae aqualiter ἀ centro stant, inter se sunt aquales.
aequales rect et lineae AB, CD. dico eas a centro squaliter distare . Sumatur enim circuli ABDC centrum,quod sit E, Mab ipso ad An, CD, perpendiculares ducantur EF , EG , de ΑΕ, EC, iungantur. Quoniam igitur recta linea quaedam per centrum ducta EF, rectam lia quandam AB, non duilam per centrum ad re- angulos secat, & bifariam ipsam secabit. r γ e AF, est aequalis FB , ideoque AB, ipsius AF, a. eadem ratione, di CD, dupla est CG, atque B ipsi CD aequalis, aequalis igitur,de AF ipsi C ioniam AE, est aequalis EC, erit quadratum E, quadrato ex EC aequale sed quadrato quidea, aequalia sunt ex AF, FE, quadrata fa rectusi angulus est ad F: quadrato autem ex EC ae lita Ita
125쪽
xos, Euelidis Elens. Ita sunt quadrata ex EG, GC, cum angulias ad G ,sitri Iectus Quadrata igitur ex AF, FE,aequalia sunt quadratis ex
U CG, GE, quorum quadratum fi E, AF quadrato ex CG esti aequale,etenim squa lis est AFE ipsi CG,reliquum igitur,quod
I I fit ex FE , quadratum, aequale est reliquo, quod ex EG; ac propterea FE ipsi EG est qualis: in circulo autem aequaliter distare a eentro rectae lineae dicuturiquando a centro ad ipsas perpendiculares ductae aequales sunt , ergo
AB , CD , centro aequaliter distant; sed AB , CD . ualiter distenta centro, hoe est aequalis si FE ipsi EG, dico AB , ipsi CD, aequalem esse. Iisdem enim
constructis, similiter ostendemus AB, duplam ipsius AF , & CD . duplam ipsius CG. Et quoniam aequalis est ΑΕ, ipsi EC, erit, ex AE, quadratum quadrato ex EC , aequale. Sed quadrato quidem ex AE,aequalia sunt quadrata e EF, FA: quadrato auteex EC, aequaIta quadrata ex EG, GC , quadrata igitur ex EF , FA, quadratis ex EG , GC, aequalia sunt, quorum quadratum ea EG , aequale est quadrato exEFi, est enim EG, ipsi EF aequalis, reliquum igitur ex AF quadratum aequale est reliquo ex CG , ergo AF ipsi CG est aequalis, atque est AB, ipsius AF dupla .dcCD,dupla ipsius CG.In circulo igitur aequales rectae Iineae aequaliter a centro distant, & quae aequaliter a centro distant,inter se sunt aequales. Uod oportebat
126쪽
Theorema I . Propositio Is. In eireulo maxkna quidem es diameter; alaarum verosemper propinquior ei, quἀper centrum transit, remotiore maior est.
meter AD , centrum E , dc propinquior quide diametro AD , sit BC , remotior vero FG . dico AD maximam esse . de BC maiorem, quὶm FG.D cantur enim a centro ad BC .FG, perpendiculares EH, dc quoniam BC propinquior' est et , quae per centru transit, remotior autem FG; erit Ex is
quam ΕΗ maior.ponatur ipsi EΗ,aequalis si L. Ee pex L, ipsi ΕΚ. ad rectos angulos ducta LM in N,producatur, & iungantur EM, EN, EF, EG . -niam igitur EH, est aequalis EL, erit,& BC ipsi MN, aequalis, iὶ rursus,quoniam aequalis est ΑΕ, ipsi ΕΜ, de DE. ipfi EN, erit,de ADApsis ΜΞ, EN, aequalis. sed ΜΕ. OEN, maiores sunt, quam MN, ergo, dc AD,major est, quam MN,& ΜN, est aequalis BC, est igitur AD,qu BC, major.Q d cum duae EM, EN, duabus FE,EG. aequales sint, angulusque MEN, major angulo FEG,
de basis ΜΗ, basi FG maior erit, a j ostensa autem est MN,aequalis BC, ergo,& BC,quam FG, est major.
127쪽
xo8 Euelidis Elem. Maxima igitur est AD diameter, & BC maior,quam
FG. Mare in circulo maxima est diameter, aliarum ero semper propinquior ei, qus per centrum trunsit remotiore est major. Quod demostrare oportebat.
Theorema I s. propositιο I6. diametro ei reuli ad rectos angulos ab extremitate ducitur adit extra circulum'. edi in locum,qui inter rectam lineam, O circum serentiam interlicitur,altera recta linea non cadet: drsemicireuli angulus omni angulo acuto rectilineo ma- σι relιquuι antem msnar.
trum D, & diametrum AB, dico rectam lineam , quae hpuncto A. ipsi AB, ad rectos an .gulos ducitur extra circuIume adere. Non enim, sed, si fieri potest , cadat intus, ut AC, de
DC jungatur. Itaque quonia aqualis est DA,ips DC,erit,& angulus DAC angulo ACD aequalis, si rectus autem est D AC, ergo, de AC D est rectus ; ac propterea anguli DAC, AC Dduobus rectis aequa Ies sum, quod fieri no potest, a non igitur a pucto A ipsi BA ad rectos angulos ducta
128쪽
Luὸν Tertἰus. lineam AE,& eircumferentiam CHAInteriicitur,al. tera n rectam lineam no cadere. si enim fieri potest, . cadat, ut FA, & ὶ puncto D, ad FA, perpendicularis dii catur DG; & quoniam rectiis est angulus AGD , minor autem recto DAG, erit DA, quam DG maior,
39 aequalis autem est DA, ipsi DII, major igitur est D H ipla Da , minor majore , quod fieri non potest. Non igitur in locum , qui inter rectam line aemcircumferentiam interjicitur, altera recta linea cadet. Dico praetereὶ angulum semicirculi, qui recta linea BA, & circumferentia CHA continetur, omni. angulo acuto rectilineo maiorem esse; reliquum vero contentum circumferentia CHA, & recta line AE, omni angulo acuto rectilineo esse minorem . si enim est aliquis angulus rectilineus maior qui dem contento recta linea BA,& CHA circumferentia, minor autem contento CHA circumferentia , Sc recta
linea AE, in locum , qui inter circumferentia CHA,& rectam lineam AE interjicitur, cadet aliqua recta linea, quae faciet an 'ulum maiore quidem contento recta linea BA , dc CHA circumferentia, qui scita cotrectis lineis continetur , minorem - vero contento. circumferentia CHA , & AE recta lineae non cadit tautem, non igitur erit angulus acutus, qui rectis lineis continetur, maior angulo coci tento recta linea BA, dc CHA, circumferentia, neque min6r conte ut
129쪽
IIo Eueiadis Elem. 1 COROLLARIUM. Ex hoc manifestum est rectam lineam , quae ab extremitate diametri circuli ad rectos angulos ducitur, cirςulum contingere, di rectam lineam contingere circulum in uno tantum Puncio, quoniam quae occurrit in duobus punctis intra ipsum cadit,ut ostensum est.
Problema a. Propositio II. dato puncto rectam lineam
datus autem circulus BCD, oportet a piincto A , rectam Iineam ducere,quae circuluBCD contingat. Sumatur enim cenistrum circuli E ; Ac iuncta AE . . centro quidem E, intervallo autem EA, cireulus A FG, describatur di 8e a puncto D, ipsi EA , ad rectos angu Ios du-eatur DF r iunganturque EBF, AB. Dico a puncto A, ductam esse AB, quae circulum BCD, contingit. Quoniam enim E , centrum est circulorum BCD , Α FG, erit EA, aequar s EF, & ED, ipsi EB. Duae igitur ΑΕ, ΕΒ, duabus FE, ED, aequales sunt, & angulum communem continent, qui est ad E , ergo basis DF, bali AB, est aequalis ; triangulumqueOEF, aequale triangulo EBA, & reliqui anguli, reliquis angulis, i qualis igitur est anguius EBA,angulo EDF,& EDF, aectus est, quare,& rectus ΕΒΑ: atque est ΕΒ, ex cen
130쪽
Liber Tertius. TII tro, quae autem diametro circuli ab extremitate ad rectos angulos ducitur, circulu contingit, et ergo ΑΒ, conti 'git circulum. A dato igitur puncto Λ, duincta est .a linea AB, quae circulum BCD contingit, quod facere Oportebat.
Theorema I6. Propositio I 8. Si circulum continrat quadam recta linea, ὰ centro autem in contactum rem Irnea ducatur, ea ad cotingentem perpendicularir erit.
Ircillum enim ABC , conia tingat quaedam recta linea DE , in punisho. C r & cireuli ABC, centrum sumatur F, a quo ad C, ducatur FC. Dico EC ad ipsam DE, perpendicu larem esse. Si enim non ita sit, ducatur a puncto F , ad DE, perpendicularis FG. Qimniam igitur angulus FGC, rectus est, erit GCF acutus, si ac propterea FG C, angulus major angulo FCG , majorem autem angulum majus latus subtendit, set maior igitur est FC , quam FG , aequalis autem FC. ipsi FB, ergo FB, ipsa FG ,est maior , minor maiore, quod fieri non potest, non igitur FG, est perpcndicii laris ad DE. Similiter ostendemus neq; aliam quampiam