장음표시 사용
81쪽
Eueli ἐιι Elam. Theorema 3. Propositio 3. si racta tinea utcumque secta, fuerit; rectangulum tota, ct una eius parre conten Nin squala est di rectangulo ,quod partibus cont/netur , era prad dia partest,quadrato.
cta fit utcunque in puncto C. Dico ABC Iectangu juaequale esse rectangulo ACBuna cum quadrato, quod sit ex BC. describatur .ri ex BC
ἀueaturque ED In F; & per A alter inri ipsarum CD, BE paraue Iadueatur A, a aequale utique erit rectangulum AE ipsis AD , CE: Sccst AE quidem re-oxngua a contentum AB, BC; etenim AB , SE contine s. quarum' est a qualis BC: rectangulur Hro Q est quod contine tur AC, CE , eum DC ipsi BC fit di qua is : de DB est quadratum, quod fit ex BCogores angulum ASC est aequale tectangulo AC Dei. cum quadrato, quod ex AC. Si igitur recta linea vicarnaqaae secta sierit, rectangulunt tota, dc una a ius pote oomen Nim .aequale est rectangulo, quod Paeti viscoridisetua, Sei. quod atraedicta parie fiemada ..
82쪽
sit utcumque in C. dico quadratum , quod fit ex Avaequale esse, & quadratis ea AC, CB, de ei rechagulo, quod
bis AC, CB continetur. describatur . n. ex AB quadratum
ADEB, iungaturque BD, l di per C quidem alterutri iPD F E sarum AD, BE parallela duca tur CGF a ) per G vero alterum i platum AD , DE
ducatur palalleia HK Et quonia iiDCF eii parallela ipsi AD, dc in ipsas incidit BD: erit exterior auguluῖBGC interiori, ἐν opposito ADB aequatis: hangu aus autem ADBeit aequalis angulo ABD. qiiod, ac latus B A aequale emateri AD-quare CGB anguloaogulo GBC est aequalis: ae propterea latus BCIateri
83쪽
recti erunt. 83 rectangulum igitur est Cc Sed ostenissum fuit,& aequilaterum esse. quadratum igitur est CGKB, quod quidem fit ex BC. eadem ratione , & ΗF est quadratum , quod fit ex HG. hoe lest ex AC. ergo H F, CK ex ipsis AC , CB quadrata sunt, de
D V n quoniam tectangulum AG est aequale rectangulo GE atque est AG , quod AC,
CB continetur, est . n. GC ipsi CB aequalis: erit GEaequale ei. quod continetur AC,CB, quare rectangula AG . GL aequalia sunt ei, quod bis AC , CB conti netur. Sunt autem, & ΗF, CK quadrata ex AC, CB. quatuor igitur H F, CE , AG , GE , & quadratis ex AC, CB, dc eloquod bis AC , CB eontinetur rectangulo sent aequatia, sed H F,CK , AG, GE sunt totum ADEB quadratum , qu ssi ex ΑΒ, quadratum igitur ex AB aequale est, & quadratis ex AC, CB , & ei, quod bis AC , CB cotinetur rectangulo; quare si re-
ita linea utcumque secta fuerit, quadrarum , quod si a tota aequale erit , & quadratis , quae a partibus lsiunt, dc ei tectangulo , quod bis partibus continetur, atque illud est, quod demonstrare oport ebat AM TER . Dico quadratum ex AB aequale esse i
84쪽
ει quadratis ex AC, CB , & ei rectangulo , quod bis
AC, CB. continetur: quoniam . n. in eadem figura
aequalis est BA ipsi AD;& angulus ABD angulo ADB aequalis erit: ro) dc cum omnis trianguli tres an guli duobusrectis sint aequales; si I) erunt trianguli ABD tres anguli ABD , ADB . B AD arqu . Ies duobus rectis. rectus a atem est angulus B AD , ergo reliqui ABD, ADB sunt uni recto aequales, & sunt aequales inter se te. uterque igitur ipsorum ABD, ADB est recti dimidius. Sed rectus est BCG, aequalis namque
est angulo opposito , qui ad A. ia. in reliquus igitur
CGB dimidius est rectit ae propterea CGB angulus angulo CBGest aequalis, &latiis BC aequale lateri CG. Sed CB est aequalis G Κ,&CG ipsi BΚ. i atqui laterum igitur est CK, di eum habeat re Aum angulum CBΚ, etiam est quadratun . quod quidem fit ex CB. eadem ratione, di EF quadratum est, di aequale quadrato, quod ex AC. quadrata igitur ssit CK, ΗF, di quadratis ex AC , CB aequalia. Rursus quoniam rectangulum AG est aequale ipsi GL is γatque est AG id quod AC , CB continetur, est enim CG ipsi CB aequa lis: erit & GE aequale eontento AC, CB. quare AG, G Ε aequalia sunt ei, quod bis AC, CB, continetur. Sunt autem, dc CK,ΗF aequalia quadratis ex AC, CB, ergo CK, H F, AG , GE aequalia sunt, di quadratis ex AC, CB, dc ei quod bis AC , CB continetur. sed CK, ΗF,& RG GE sunt totum AE,quod i fit ex AB quadratum . quadratum igitur ex AB aequa-
85쪽
Euelidis Elem. te et . quadratisque ex AC , CF , & ei quod bis AC, CB continetur rectangu Io: Qvd Ottedere oportebat. C o R o L L A R I U Μ. Euhoe perskicue cos stat in quadratis spatiis parallelograma, quae sunt circa diametrum, quadrata esse. eorema s. Propositios . Si recta tinea secta Derit in
partes aquales , edi in parier in aquater, re tranguluminaqaalibtis iis ιus partibus contentam una cum qua . drato linea , qua sutir sectione' ιnterjicιtur , aqua
Ie sari quod a dimidia sit quadrato. eontentum AP, DB una cum q i ad raro, quod fit ex CD aequale esse ei, quod ex quadrat O. m. scribatur .n. ex BC quadratum C EFD: 1 iunga'ur' que BE; εc per D quidem altera iri ipsa tum CE, BFf parallela ducatur D HG; a per Hyero ducatur parallela alterutri ipsarum CB, EF r riuius per Aducatur alterutri CL, Bo parasses a ΑΚ. & quoniani CH sapplementum aequale est supplea. cnto Hr , AI
86쪽
esmmune apponarur DO;tottim igitur Co toti DF est aequale, sed Co est aequale AL; qii emam & AC ipsi CB. ergo de AL aequale est DF. commune apponatur CH. totum igitur ΑΗ ipsis FD, DL aequalectit. sed AH qtii de est quod AD DB cotinetur. etenim D H ipsi DB est aequa Iis; FD, DL vero est gnomo MNX. gnomon igitur BINX aequalis est ei, quod AD, DBContinetur, commune apponatur LG, aequale se Ii-σct quadrato, quod ex CD . ergo ΜNX gnomon, ML G aequalia sunt rectangillo, quod eontinetur AD DB, dc ei, quod fit ex CD quadrato. sed MN X gno- mon, & LG sunt totum quadratum C EF B, quod quidem fit ex CB, ergo rectangulum ADB una cum quadrato , quod ex CD aequale est ei, quod ex cB quadrato . Si igitur recta linea secta fuerit in partes aequales, & in partes inaequales, reei angulum inaequalibus totius partibus eontentum unS cum quadrato lineae, citiae inter sectiones interjicitur, aequale esse ei, quod a dimidia fit quadrato quod demonstrare oportebat.
atque ipsi in rectam adjiciatur quadam recta linea; ressan rulum tera eum adjecta, ετ adtecta coni n-rum, una cum quadrato dimidia , aqκ,le est quadra ρ', quod ab ea, quς ex dimidia. ct Hiecta censtat 1 ab una lιnea describitur.
87쪽
Euelidi i Elam. Dico rectangulum ADB una cum quadrato ex BC aeqtiale esse ei, quod fit ex CD quadrato. Describa
di iungatuc DE; perque B alterutri ipsa runi CE , DF parallela ducatur B HGe dc per H ducatur ΚLΜ paralle Iaa alterutri ip irum AD, E F; bc adhue per A alterutri CL, DΜ parallela ΑΚ. Itaque quoniam AC est aequalis CB; erit , & rectangultian AL re hangulo CH aequale. 39 Sed CH aequale est HE. 'Ergo, &AL ipsi H F aequale erit. Commune apponatur C M. totum igitur ΑΜ gnomoni NXo est aequa Ie r atque est ΑΜ , quod AD, D Scont nctur. etenim DΜ est aequalis DB Ergo,& gnomon NXO aequalis est rectangulo ADB. Rursus comis mune apponatur LG, aequale scilicet quadrato, quod ex CB. rectangulum igitur ADB una cum quadrato, quod ex BC aequale est gnomoni mo Fc ipsi LG. Sed gnomon NXΟ, & LG totum sunt C EFD quadratum; quod quidem fit ex CD. Ergo rectanguluai ADB una cum quadrato ex BC aequale est ei, quod fit ex CD quadrato. Si igitur recta linea secetur bitariamo, adjiciaturque ipsi in rectum quaedam recta linea; re
88쪽
'Liber Secundus. 6stctangulum tota eum adiecta , & adlecta eontentum una cum quadrato dimidiae aequale est quadrato, quod ab ea, quae ex dimidia, di adiecta constat, ta in inquam ab una linea descat bitur . quod oportebat de- . monstrare. Theorema I. Propositio T. Si recta linea utcumque secta fuerit, qua a rora, ἐπ Mna parte Funt utraque quadrura aqualia sunt, ct rectaragulo, cynod bis tota, ac dire aparte continetur, edi ei, quca a reliqua parte sit qua
dam AB secta sit ut-F sumque in puncto C. Dico quadrata ex AB,BC aequalia esse , & rectangulo , quod bis AB, BC continetur , dc ei quod fit ex AC quadrato . Describatur enim ex AB quadratum
ADEB x Ide figura eonstruatur: Itaque quoniam AG rectangulum aequale est rectangulo GE. a comune apponatur CF , quare totum AF toti CE est aequale;rectangula igitur AF, CE dupla sunt rectanguli AF. sed AF, CE sunt ΚLΜ guomon, & quadratum CF, ergo ΚLM gnomon, & quadratum CF duis Pla erunt rectanguli AF. est autem id quod bis As ,
89쪽
το Euelidis Elam . BC eontinetur duplum ipsius AF ; etenim BF est aequalis BC. gnomon igitur KLΜ, & quadraturo CFB aequalia sunt, ei quod bis
mune apponatur DG, quod ς est ex AC quadratum . Ergo gnomon ΚLM, Ecquadrata BG, GD aequalia sunt ei, quod bis AB , BC eontl-T netur , εc quadrato ex Amat gnomo ΚLH,& quadra OBG, GD totum sunt ADEB, ct CF; quae sunt en AB, BC qaadrata. quadrata igitur ex AB, BC aequalia sunt rectangulo quod his AB, BC continetur una caeo, quod fit ex AC qne drato. Ergo si recta linea utcumquesect i fuerit ; quae a to a , & una parte fiunt utraque quadrata aequalia sunt rectanguloque, quod his tota, aedicta parte continetur, & ei, quod a I Iiqua parte fit, quadratos quod ostendere oporto
bat is Theorema g. Propositio 8. si recta linea uteumqaefecta fuerit; quod quater tota , istina parte eontinetur rectangulum una cum quadrato reliqua parti quot os quadrato quod ex tota, ct dicta parte tamquam extina linea descrinitur.
REcta enim linea AB secta si utcumque in C.
Dico rect angulum quater AB, BC contentum,
. in cum quaciato, quod ea ΛC, aequale esse quadra
90쪽
seeundus. Iteo. qumi ex AB, BC. tamquam ex una linea deseribitur. PIOducatur n. recla linea AB in D; & ipsi CBPonatur aequatis BD; describaturque ex AD quadramo tum AEFD i, & dupla figura construatur. Q 39-niam igitur CB est aequalis BD atque est C Bipsi GK aequalis; BD vel o ipsi ΚΝ: erit , dc GK aequa-
aequalis, & quoniam CB est aequalis BD,& CK ip-F si ΚN; erit rectangulum quid i m. Κ rectangulom rectangulum vero GR ipsi RN ae 'nale . Sed CK est aequale RN, hippi menta . n.' lunt para I lelogramini Co. Ergo & ΚDa qua e est GR, &qua tuor tectangula DK, KC GR RN inter se aequalia et ideoque quadrupla sunt rectanguli CF . Rurius quo niam CB elt aequalis BD, & BD quidem ipsi BK , hoc . est ipsi CG aequalis ; CB vero ipsi GK, hoc est GPrerit & CG aequalis GP. es aut e & PR ipsi RO aequalis . rectangillum igitur AG rei hangulo M P, & reet1-gulum P L ipsi RF aequale erit. Sed Μ P est aequale P L; supplement a enim sunt ML parallelogram mi. Q Lare, & AG i . si RF eli: aequale . quaruor igitur E 4 AG, λ .