장음표시 사용
131쪽
rra ruendis Elem. piam esse praeter ipsam FC, ergo Fri ad DE, est pN pendicularis. Si igitur cireulum contingat quaedam recta linea, a. eentro autem in contaistum re cta linea ducatur , ea ad contingentem perpendicularis erit, quod oportebat demonstrare.
Theorema i . Propositio 19. si eireulum contingae, dam recta linea , ὰ eontactu autem ad rectos angulo .contincenso recta linea ducatur: in ea eirculi centrum erit.
A eat quaedam recta linea', DE, in C . & a puncto C , ipsi
Bl , t euli centrum esse. Non enim: sed,si fieri potest, sit F, centrus & iungatur CF. Qvatam igi-
.-. tur circulum ABC , contingit C E quaedam recti a Iinea DE, di centro ad contactum, ducta est FC;erit FC ad ipsam DE, perpendicularis; rectus igitur angulus est FCE; est aute, & ACE rectus, ergo FCε,angulus est aequalis angulo ACE,minor majori,quod fieri non potest. Non igitur F, centrum est ABC circuli. SimiIiter osteridemus neque aliud aliquod esse, praeterquam in ipsa AC. Quare si circulum contingat, quaedam recta linea, a contactu autem ad rectos angulos contingeoti recta linea ducatur ; in ea circuli erit centium ι quod demoustrare oportebat.
132쪽
rinr Tertiu3. III Neorema I s. propositio Io. In Hreuis angulur, qui ad centrum, duplus est eius, qui ad cireumferentiam, κῆ do circumferentiam eandem pro basi habeant.
trum quidem angulus sit BEC,ad circumferentiam verbBAC , & eandem circumferentiam BC, pro basi habeant; dl- eo BEC angulum, anguli BACduplum esse. Iungatur enim AE, & ad F, producatur. Itaq; quoniam EA , est aequalis EB. erit, de angulus EAB angulo
EBA aequalis; r anstuli igitur EAB, EBA, dupli sui ipsius anguli EAB, sed angulus BEF est aequalis angulis EAB, EBA; a ergo BEF angulus,anguli E AB
est duplus. Eadem ratione, & angulus FBC duplus est ipsius E AC; totus igitur BEC,totius B AC, dupluserit. Rursus inflectatur, & sit alter angulus BDC, iunctaque DE, ad G producatur . similiter ostendemus angulum GEC, anguli EDC, duplum esse;quorum GEB duplus est ipsius EDB. ergo reliquus BEC, reliqui DC est duplua. In eireulo igitur angulus squi ad centrum duplus est eius,qui ad circumferentiam, quando circumferentiam eandem pro basi habeant, quod oportebat demonstrare.
133쪽
ri4 Euelidis Elem. Theorema I9. prodisti, a I. In circulo , qui in eaden portione sunt angulu, inter se aequale frint. circulus ABCDE,& in ea
sint BAD, BED. Dico eos inter se aequales esse. Sumatui enim circuli ABCDE centrum, quod sit F: iunganturque DF, FD; &quoniam angi ilus quidem BF D, est ad centrum, angulus vero BAD ad circumferentia , C & eircumferentiam eandem pro basi habent BCD; erit BFD angulus, anguli BAD duplus. Eadem ratione angulus BFD, duplus est etiaanguli BED. Ergo angulus BAD, angulo LED, aequa lis erit. In circulo igitur, qui in eadem portione sunt anguli, inter se aequales sunt. quod opOItebat demonstrare Theorema a O. Proposito ra. Etuadrilaterorum , qua imcirculis describῶtur, anguli oppositi duobus rectit squa lea sunt.
quadrilaterum ABCD. Dico angulos ipsius opposios duobus. rectis aequales esse . Iungatur AQBD. Q niam igitur omnis i trianguli tres anguli
duobus rectis sunt aequales, i
134쪽
Liber Tertius. Irserunt trianguli ABC , tres anguli CAB, AEC , BCA, aequales duobus rectis. Sed angulus C AB, est aequalis angulo BDC , in eadem enim sunt portione BADC;& angulus ACB, aequalis ipsi ADB,quod sint in eadeADCB portione; totus igitur angulus ADC, angulis BAC, ACB, est aequalis; communis apponatur ABC, angulus duobus angit lis, qui sunt ad A, & C,& seo sum uni angulo,qui est ad D;eriit anguli ABC, BAC, ACB, angulis ABC, ADC, aequales. Sed ABC,BAC,
ACB, sut ςquales duobus rectis; ergo,& anguli ABC, . ADC, duobus rectis aequales erunt. Similiter ostendemus angulos quoque BAD , DC B, duobus rectis esse aequales. QEadrilaterortim igitur, quae in cire 1is descributur, angu Ii oppositi duobus rectis aequa les sunt. Quod oportebat demonstrare.
Theorema a I. Propositio a 3. In eadem recta linea duae; culorum portiones smiles, ct in aquales ex eadem parte non constituentur.
SI enim fieri potest, in eadem
recta linea AB , duae circulor a portiones similes. &inaequales costituantur ex eadem
parte ACB, ADB; ducaturque A CD, & CB , BD iungantur. Itaque quoniam portio ACB , simIIis est portioni ADB, similes autem et rcuIorum Fortiones sunt, quae angulos suscipiunt aequales; UII a erit
135쪽
xis Euelidis Elem. erit ACB angulus aequalis angulo ADB, exterior interiori, quod fieri non potest. Non igitur in eadem, recta linea, duae circulorum portiones similes , inaequales ex eadem parte constituentur. QMd demon,
strare oportebat. Theorema, Propositis 24: In aqualibus reaia lineis s. miles eirculorum portiones inter mequaler funt.
Sint enim in aequalibus rectis lineis AB,CD, sim listes circulorum portiones AEB, CFD. Dico portionem AEB, portioni CFD aequalem esse; congrue. te enim AEB portione, portioni Cm, de posito puncto quidem A, in C, recta vero linea AB, in C D;e5gruet, & F, punctum puncto D, propterea quod ΑΒ, apsi CD, sit aequalis; congruente autem recta linea AB rectet CD; congruet,& ΑΕΒ portio,portioni CFD. si enim ΑΒ congruet ipsi CD , portio autem ΑΕΒ , portioni CFD, non congruet, sed permutabitur, ut CGD, circulus circulum in pluribus , quam duobus punctis secabit; etenim cirevius CGD , circulum CFD seeat in pluribus punctis, quam duobus, vid
Iieet in punctis C,G,D, quod rursus fieri non potest.
136쪽
Liber Tertius. ,ret Non igitur congruente recta linea AB, re istae CD,n5 congruet, & ACB portio, portioni CFDi quare congruet,& ipsi aeqvalis erit. In aequalibus igitur rectis lineis similes cireulorum portiones inter se aequaIessunt. Mod oportebat demonstrare. Problema 3. Propositis a s. circuli portione data describere circulam, cuius ea portio est.
itaquei oportet portionis ABC , describere circulum cuius est portio. secetur AC , bifariam in D: dc a puncto D, ipsi AC , ad rectos angulos ducatur DB,&AB iungaturo' vel igitur angulus ABD , maior est angulo BAD , vel minor, vel ipsi aequalis . sit primum maior,de ad rectam lineam BA, atque ad datum in ea punctum Α , constituatur angulus BAE, aqualis angulo ABD; r di BD, ad Ε, producatur , iungaturque EC. Quon Iam igitur an gulus ABE, est aequalis angulo BAE, erit, de BE recta linea ipsi se aequalis 3 cψεe quonia A D. est aequalis DC, communis autem DE, duae AD, DE, duabus CD,DE, squales sunt, altera alteris & angulus ADE, aequalis angulo CDE, rectus enim uterque
est; ergo,& basis AE, basi EC, est aqualis. Sed ostes est ΑΕ, atqualis EB; quare, de BE, ipsi EC, est aequa tis , ac propterea tres rectae linea: ΛE , EB, ER
137쪽
xis Eueli is Elem. . inter se aequales sunt ; eentro igitur Ε,intervallo atratem una ipsarum AE , EB, EC, eirculus descriptus etiam per reliqua transibit puncta, & circulus deis scriptus erit. inare circuli portione data deseriptus est eirculus; cuius ea portio est. Sed,& illud constat, Fortionem ABC , semicireulo minorem esse; propterea quod centrum ipsius
extra cadit. similiter,& si an-.B gulus ABD,sit aequalis angulo BAD,facta AD, aequali utrique ipsarum BD , DC , erunt tres rectae lines AD, DB, DC, inter
. se aequales, atque erit Dieiris
tio ABC, semicirculus. Si vero angulus ABD, minor sit a gulo BAD , eonstituatur ad rectam lineam BA , re ad punctum in ea datum A, an-. gulo ABD , aequalis anguIus BAE, intra portionem ABC; erit centru in ipsa DB,atque erit ABC , portio semici reuinto maior. Circuli igitur portione data deseriptus est cirςulul ν cuig. portio est; qeod sacere oportebat.
138쪽
, . - D Clat aequales Deirculi ABC, 'EF, de in
ipsis aequa Iesanguli ad cε-tra quidem
vero BAC , T DF. Dico BKC cireumferentiam , circumferentiae ΕLF, aequalem esse.Iungantur enim BC, EF. Et quoniam aequales sunt ABC, DEF cireuli, erunt & qiue ex centris aequales; duae igitur BG , GC, duabus ΕΗ, Η F, aequales sunt: & angulus ad G, aequali anis r ulo ad H; ergo,dc basis BC, basi EF, est aequalis. i Rursus quoniam aequalis est angulus ad A, angulo ad D, portio BAC , similis erit portioni EDF. a 3 6e sunt in aequalibus rectis lineis BC , EF. inae autem in aequalibus rectis lineis similes fiant circulorum portiones, inter se aequales sunt; portio igitur BAC, portioni EDF , est aequalis. sed, & totus ABC, circulus aequalis est toti DEF ; ergo , εe reliqua c- .cumferentia BKC, reliqua ELF , aequalis erit. In aequalibus igitur circulis aequales anguli aequalibus insistuat circumferentiis , si vh ad centra,sive ad cise H 4 eum
139쪽
xeto Euelidis Elem. eumferentias insistant;quod oportebat demonstrare.
Theorema a . Propositis. 17. In aqualibus eirealis anguialtiqui aqualibus insistunt cireumferetiit,inter se squa- ιιι funx ve ad centrasv. ad circusserentias in ant.
tra quideBGC, ΕΗF, ad circuisserentias verδ BAC , EM. Dico angulum BGC, angulo EΗF. εe angulum BAC, angulo EDF, aequalem esse. si quidem igitur angulus BGC,aequalis sit angulo EΗF ; manifestum est angulum quoque BAC. a gulo EDF , esse aequalem. sin minus , unus ipsorum est major , sit maior BGC ,& constituatur ad rectam Iineam BG , & ad punctum in ipsa G , angulo ΚΗF, aequalis angulus BGK; I aequales autem angu*ι aequalibus insistunt circu inferentiis, quando ad ce tra fuerint. a Ergo circumferentia BK, aequalis est circumferentiae EF. sed circa ferentia EF, aequalis est ipsi BC; ergo, di ΒΚ, ipsi BC . est aequalis, minor maiori , quod fieri non potest. Non igitur inae qualis est angulus BGC,angulo EIIF; ergo est aequa iis u
140쪽
Iis. Atque est anguli quidem BGC dimidius angulus qui ad A ; anguli vero EHF, dimidius qui adnue a gulus igitur qui ad A, angulo qui ad D , est aequalis In aequalibus igitur circulis anguli , qui aequalibus insistunt circumferent ijs inter se aequales sunt , sive ad eentra , sivh ad circumferentias insistant ; quod
oportebat demonstrare. Theorema as. Propositio 1 8. In aqualibus eireulis aquain
tis recta tinea es reumferentias aqualet auferunt, mainiorem quidem maiori, minorem vero minori.
Sint aequales circuli ABC, DER, & in ipsis aequa.
les rectae lineae BC, EF,quet circumferentias,qui-aem BAC, EDF, maiores auferant, circumseremias BAC maiorem, majori circumferentiae E DF , oc mi in norem circumferentiam BGC, minori EHF aequale esse.sumatur enim centra circulorum Κ, L, r iunganturque ΒΚ, XC,EL,LF.Et quoniam circuli aequa