Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

91쪽

et Euel ι H EIem. AG, ΜP, P L, RE inter se aequalia sint. ac propterea ipsius AG quadrupla. Ostensu in autem est , & quatuor CK , KD . GR, RN, quadrupla esse CK . 'Qu a re octo contineritia gnomonem STΥ ipsius AK ire quadruppla sunt . Et quo. niam AK est quod AB,

BC continetur ἔ etenim

ΒΚ est aequalis BC ; et itcstentum quater AB , BC, ipsi us ΑΚ quadruplum . At demonstratus est gnomon STΥ quadruplus AS. Quod igitur quater AB, BC continetur aequale est et nomoni STY Commune apponatur AH , quod quidem quadrato ex AC est aequale Ergo quod qua- . ter AB , BC continetur una cum quadrato ex AC equale est ipsi sTΥ gnomoni, & quadrato XH . Sed STΥ g ncmon, & XH totum sunt AEFD quadratum . quod describitur ex AD. Rectangulum igitur quater AB, BC contentum una cum quadraro ex AC aequale est ei, quod ex AD, hoc est ex AB, BC tamquam ex una linea describ tur, quadrato. Ergo si recta linea ute umque secta fuerit; quod quater tota , & una Farte continetur rectangulum , una cum quadrato reliquae partis aequale est quadrato, quod ex tota, ocdicta parte tamquam ex una linea describitur. Quod oste adendum fuerar.

92쪽

Theorema 9. Propastio Si recta linea in partes aqua. e , Θιn partes inae':iales secta fuerit, quadrant qua ab in aqualibus totiuό partibus describuntur , dupla sunt, is quail ari dι Mia,ct quadrati linea ejus, qua inter sectιonet interii tur.

Rξcta . n. I in ea quaedam A B secta sit in

paries aequales ad C, dein partes inaequales ad D. Dico quadrata ex AD, DB,quadratorum ex AC, CD dupla esse . Ducatur. n. a puncto C ipsi AB ad rectos angulos CE, a P&iitrique ipsarum AC , CB aequalis ponatur , jun- p. Inturque EA, EB. ac per D quidem ipsi CE parallela ducatur DF; a ) per F vero ipsi AB parallela . . FG, & AF iungatur. itaque quoniam AC est aeqvstis CE; erit, & angulus E AC angulo AEC aeqvalis . Et cum rectus sit angulus ad C , reliqui AEC, EA Cuni recto aeqia ales erunt. di sunt aequales inter se se, uterque igitur ipsorum AEC, EAC rem est dimidius. eadem ratione, & recti dimidius est uterque ipsorum C EB, EBC. ergo totus angulus AEB rectus est. dc quoniam angulus GEF dimidius est recti, roctus

93쪽

τε EueIidis Elem. ctus autem EGF;,qualis .n. est interiori,& opposto Ecb, s erit,&ieliquus EFG recti dimidius:aequa 'lis igitur est GEF angulus ipsi EFG . quare, relatus FG Iateri GE est squale. 6 Rursus quoni1 angulus ad B dimidius

est recti , rectus autem

FDB, quod sit aequalis interiori , & opposito ECB: reliquus BFD rectietit dimidius. angulus Igitur ad B aequalis ei, angu- Io DFR: ideoque latus DF DB aequale , di quoniam AC est aequalis CE, erit, &cx AC qtiadratum aequale quadrato ex CE quadrata igitur ex AC, CEdupla sum quadrati ex AC quadratis autem EX AC, CE aequale est quadratum ex EA , si quidem rectus est angulus ACE ergo quadratum c.X EA qua

drati ex AC est duplum. rursus quoniam EG aequa iis est GF quadratum ex EG quadrato ex GF est aequale quadrara igitur exEG, GF iupla sur quadratio GF. at quadratis ex EG , GF aequale est quod ex EF quadratum. Ergo quadratum ex EF quadrati ex GF duplum erit. aequalis autem est GF ipsi CD. quadratum ieitur ex EF duplum est quadrati ex CD. Sed dc quadratum ex AE quadroti ex AC est duplum. ergo quadrata ex ΑΕ, EF dupla sunt quadratotum e RAC, CD, quadraris vero ex AE, EF aequale est ex AE

94쪽

Liber Seeuodny. quadratum, quontam angulus AEF rectus est. quain dratum igitur ex AF quadratorum ea AC , CD est duplii in . Sed quadrato ex AF Hualia lunt ex AD , DF quadrata. rectus enim est angulus qui ad D. ergo ex AD, DF quadrata dupla sunt quadratorum ex AC, CD,est autem DF ipsi DB aequalis quadrata igitur ex AD, DB quadratorum ex AC, CD dupla erunt. Eare si recta linea in partes aequales , dc in partes inaeis quales secta fuerit, quae ab inaequalibus totius partibus deseribuntur quadrata duplastini, & quadrati dimidiae, de quadrati lineae eius, quae inter sectiones Interlicitur. quod ostendere oportebat,

Theorem ro. Propositis Io, Si recta linea seretur bil .riam , ct ipsi in rectum quadam recta linea adj,elatura qua . tua eum adiecta, di adiecta sunt utraque qua drata dupla fune, O quadrati dimidia, er quadrati,suod ab ea qua ex dimidra , 9 adiecta consae, eam quam ab una linea describitur.

linea AB se- .cetur bifariam

rectum adiiciatur quaedani re cta linea BD. di eo quadrata ex AD , DB quadra-

eorum ex AC. CD dupla esse . ducatur enim a puncto

95쪽

'6 Euelidis Elem.

C ipsi AB ad rectos angulos CE, i & utrique ipsarum AC, CB aequalis ponatur i iunganturq; AE, EB, di per E quidem ipsi AD parallela ducatur

. vero ducatur DF

parallela i psi CE. &, quoniam in parallelas EC , FD recta quaedaninea EF incidit, anguli CEF, EFD aequales sunt duobus rectis 3 anguli igitur FEu, ET D duobus Tectis sunt minores, quae autem a minoribus , qua' sint duo recti in infinitum producuntur , conveni ut inter sese . Ergo EB, FD productae ad partes BD convenient; producantur, & conveniant in puncto G, & AG jungatur. itaque quoniam AC est aequalis CE, di angulus AEC angulo EAC aequalis erit: cs atque est rectus qui ad C. uterque i tur ipsorum EAC, AEC est recti dimidius. eadem ratione, dcrecti dimidius est uterque CEB, EBC. ergo AEB est rectus , & quoniam EBC est dimidius recti; erit, directi dimidius DBG; 69 cum sit ad verticem , sed .R BDG rectus est; etenim est aequalis ipsi DCE alteris reliquus igitur DG B dimidius est recti . de ob

96쪽

ob id ipsi DBG aequalis. ergo & Iatus BD aequale Iateri DG 8 rursus quoniam EGF est dimidius recti,

rectus autem, qui ad F . est enim angulo opposito qui ad C aequalis ; erit,dc reliquus FE G rect dimiridius, & aequalis ipsi EGF- quare & latus GF lateri EF est aequale. de cum EC sit aequalis CA; dc quadra .

tum ex EC aequale est ei, quod ex CA, quadrato. eringo quadrata ex EC, CA dupla iunt quadrati ex CA. quadratis autem ex EC, CA aequale est quadratum ex EA. quadratum igitur ex EA quadrati ex AC est -duplum. rursus quonia GF est aequalis FE, aequale estta ex GF quadratum quadrato ex FE . quadrata igi, tur ex GF, FE quadrati ex EF sunt clupta. at quadratis ex GF, FE, aequa Ie em quod ex EG quadratum,er- go quadratum ex EG duplum est quadrati ex EF aequalis aurem est EF ipsi CD quadratum igitur ex EG quadrati ex CD duplum erit. Sed ostentum est. quadratum ex E R duplum quadrati ex AC. ergo ex AE, EG quadrata quadratorum ex AC, CD sunt da . Pla. quadratis vero ex AE, EG aequale est qaod ex

AG quadratum . quadratum igitur ex AG. duplum est quadratorum ex AC, CD. at quadrato ex AG aequalia sunt ex AD, DG quadrata. ergo quadIata eκ AD, DG sunt dupla quadratorum ex AC, CD. Sed DG est . aequalis DB. quadrata igitur ex AD,UB quadrator trinex AC, CD sunt dupla . Ergo si recta linea initariam secetur, dc ipsi in rectum quaedam recta 'inea adiiciaturi quae a tota cum adjecta.& adjecta nut utraq:

97쪽

's . Euelidis Elem. quadrata dupla sunt, & quadrati dimidiae, Ze quadrati, quod ab ea , quae e X dimidia, ec adiecta constat tamquam ab una linea describitur . quod ostencere

oportebat. Problema I. Propositio II. Datam rectam lineam secare, ita ut, quod tota, altera parte continetur rectangu .

tam aqualest ei, quod a reliqua parte sit, quadrato. SIt data recta linea AB. oportet ipsam AB ita se ea re, ut quod tota, dc altera parte continetur rectanguIum aequale

sit ei, quod a reliqua parte fit,

quadrato Describatur . n. ex

A B quadratum ABDC: secetur-quc AC bifariam in E , & BR ungatur: deinde producta CAin F , ponatur ipsi AE aequalis EFr deteribatur ille ex AF quadratum FGH A r de GH ad κproducatur . Dico AB sectam esse in H, ita ut ABHxectangu Iu in aquale fit quadrato ex AH . Doniam . n. recta linea AC bifaeriam secatur in E ; adiiciturqὲ ipsi in rectit in AF. rectangulum CFA una cum 'qua drato ex AE aequale erit qnadrato ex ΕF. sed EF est aequalis En rectangulum igitur CFA una cum quadrato ex AE aequale est ei, quod fit ex EB , qu

98쪽

Liber Seeundus. τ' drato. quadrato autem ex EB aequalia sunt quadrata ex BA, AE a , etcnim angulus ad Arectus est. ergo rectansulum CFA una cum quadrato ex AE aequale est q:: ad ratis en BA, AE. commune auferatur , quod ex AE quadratum. reliquum igitur rectangulum CFA aequale est quadrato, eΚAB: est autem CFA quidem rectangulum FN. si quidem AF eis aequalis FGHquadratum autem ex AB est ipsum A D. rectangulum igitur FK aequale est qua/rato A D. commune aufexatur ΑΚ, ergo reliquum FH reliquo H D est aequale. atque eli H D rectangulum ABH, cum AB sit aequalis BD, dc FH est quadratum ex AH. rectangulum agi lux ABH quadrato ex AH aequale erit. cire data recta linea AB secta est in hi, ita ut ABH rectangulum quadrato ex ΑΗ sit aequale. Q diacere oportebat.

Theorema r I. Propositio II. Drobtusa regulis erraingultis, . quia a latere obtusum amrulum fiastendente sit dratum , malui est, quam quadrata, quae sunt a lateribus obtusum an ii tum eonis mutibus, rectanguis constento bis tint' laterum , qvia sunt circa obtnsam augur sum, in quodθι lacer protractum perpend. cularisca ista, ct linea assumpta exterius a perpendiculari ad angusti m obtus ινι.SIi obtusantulum triangulum ADC. obtusam a gu, um habens BAC r & ducatur a puncto B ad C A protractam pet pendicularis BD. ca, Dico qua

dra.

99쪽

Euctitiis Elem. dratum ex BC maius esse, qu*m quadrata ex BA, AC, rectangulo ,quod bis CA, AD continetur . Qvniam enim recta linea CD secta est utcumque in puncto A, erit quadratum ex CD aequale, di quadratis ex CA, AD,&ei quod bis C A, AD continetur rectangulo. a PCommune apponatur eNDB quadratum. Quadrata igitur ex CD, DB aequalia sunt, εe quadratis ex CA, AD , DB, dc rectangulo. quod bis CA, AD eontinetur. Sed quadratis ex CD,

DB aequale est quadratum ex CB Rectus enim

est angulus ad D, eum sit BD perpendicularis . Qua- dratis vero ex AD, DB aequale est quadrarum ex AB., Madratum igitur ex CB aequale est, dc quadratis ex CA, AB, di rectangulo bis CA, AD contento . Ergo quadratum ex CB ma ius est, quam quadrata ex CAAB, rectangulo quod bis CA, AD continetur. In obtusangulis igitur triangulis, quadratum, quod latere obtusim angulum subtendente fit, maius est quam quadrata; quae fiunt, lateribus obtusum angulum continentibus, rectangulo contento bis uno laterum . quaesiint circa obtusum angulum , ad quod protractum perpendicularis cadit, di linea a Tumpta exterius a perpendiculari ad pangulum obtusum. Quod demonstrare oportebat.

100쪽

, . Liber Secundus. 8x Theorema I 2. Propositio II. In acutangulis triamru Iis , a latere aer: tum angulum subtendente sit quadratum , minus est,risam quadrata, qua fiunt ὰ ateribus

acutum angultim continenlnus , rectangulo contento diis uno laterum , quae sunt circo acutum angulum, rn quod

perpendi ularis cadit , D Lnea a perpendiculari intus ase sumpta ad angulam acatum.

Syt acutangulum tria.

gulum ABC acutum habens angu Ium ad Bet ,

& ducatur a puncto R, ad BC perpendicularis A D. γ Dico quadra

tum , quod fit ex AC minus esse, quam qua drata , quae ex CS, BA, rectangulo, quod bis CB , BD continetur. Quoniam enim recta linea CB secta est utcumque in D, erunt quadrata ex CB, BD aequalia Sc recta noulo, quod bis CB, BD continetur , dcq uadrato ex DC. a ) com mune apponatur, quod ex AD quadratum . Q ad sata igitur ex CB, BD, DA aequalia sunt, & ree angulo bis CD, BD contento, de quadratis ex AD, DC. Sed qua dratis ex SD, DA aequale est quod ex ΛΒ quadratum; 3 roeliis enim an iuriis est qui ad D. quadraria ro ex AD, DC aequale est quadratum ex AC. quadra, F ta