장음표시 사용
151쪽
Theorema 29. Propositis Si in eireulo dua recta tiaraa sese mutita secent, rectangulum portionibus unius Gn .i rentum .quiae es ei, quod estertur portionibus conti.
nim ABCD, duae rectae lisneae AC, BD, se se mutuo in puncto E ,
iacent. Dico rectangulum Contentu AE , EC, aequale esse ei, quod DE, EB, eontinetur. Si igitur AC, BD, per centrum transeant, ita ut E, sit cen- rrum ABCD circuli; manifestum est aequalibus existentibus AE, EC, DE , EB, & rectangulum contentum AE, EC, aequale esse ei, quod DE, EB, contineo tur. itaque AC , DB , non transeant per centrum : oclamatur centrum circuli ABCD , quod si F: & ad F. ad rectas lineas ΑC , DB , perpendiculares ducantur FG, FH: iunganturque FB FC , FE, Quoniam igitur recta quaedam linea GF per centrum ducta , Iectam lineam quandam AC non ductam per centrum ad
rectos angulos secat,& bifariam ipsam secabit; ci quare AG, ipsi GC, est aequalis. Et quoniam recta linea AC, secta est in partes aequales in puncto G, dcin
152쪽
in partes inaequales in E, erit rectangulum AE, EC, comentum, una eum ipsius EG quadrato , aequale
quadrato ex G. a eommune addatur ex GF quadratum ; ergo rectangulum AEC , una eum iis quae ex EG,GF quadratis, squale est quadratis ex CG, GF. Sed quadratis quidem ex EG , GF, aequale est quin dratum ex FE; 3 quadratis vero ex CG,GF, aequao Ie , quod eκ FC, quadratum; rectangulum igitur
REC, una cum quadrato ex FE, aequale est quadrato ex FCi est autem CF, aequalis FB; ergo rectangulum AEC, una cum quadrato ex EF , aequale est ei, quod ex FB, quadrato . Eadem ratione & rectangulun DE B, una cum quadrato ex FE, aequale est quadrato ex FB;ostensum autem est,& rectangulum AECinna cum quadrato ex FE, aequale ei, quod ex FB, quadrato, ergo rectagulum AEC,una cum quadrato ex FE, aequale est rectangulo DE B, una cu quadrato ex FE; commune auferatur, quod ex FE , quadratum; reliquum igitur rectangulum AEC , reliquo DEB reei, gulo οquale erit. Quare si in circulo duae rectae linesse se mutuo secent , Iectangulum portionibus unius contentum aequale est ei, quod alterius portionibus continetur, id quod demonstrare oportebat.
Theorema 3O. Propositio 36. Si extra eireulum aliquod pnnctum sumatur ab eo in eireulum eadant duae reincta tinea,quarum altera quidem eirculum secet, altera vero contingat; rectangulum, quod tora feeante, θε tertur assumpta inter punctum, di curvam circum
153쪽
1t Euclidis Elem. . . ferentiam contineturi, aquale erit et , quod a contio- gentest, quadrato.
dem circulum ABC, secet; DB vero contingat. Dico rectangulum ADC, quadrato, quod fit ex DB, aequale esse. Vel igitur DCA, per centrum transit,vel no. transeat primum per centrum circuli ABC , quod sit F,& FB jungatur erit angulus FBD , rectiisi i Itaque quoniam recta linea AC, bifariam secta est in F, ει ipsi adit iur CD , rectangu Ium ADC , una cum quadrato, quod ex FC , aequale erit et , quod fit ex FD, quadrato. 2 aequalis autem est CF, ipsi FB, ergo rectangillum ADC,una cum quadrato. quod ex FB, aequale est quadrato ex ED . sed quadratum ex
154쪽
FD . est aequale quadratis i psarum FB , BD , rectus
enim angulus est FBD; recta gulum igitur ADC, una cum quadrato ex FB , aequale est iplarum FB, BD . quadratis. Commune auferatur quadratiana, quod ex .FB; ergo reliquu ADC rectangulum, quadrato,quod fit a contingente DB, aequale erit. Sed DCA, non transeat per centrum AB circuli: sumatu rque centrum Ε, & ab ipso E, ad AC, perpendjcularis agatur EF, & jungantur EB, EC, E D, rectus igitur est EFD,
angulus. Et quoniam recta linea quaedam EF , pereentrum ducta, rectam lineam quandam AC, non ductam per centrum ad rectos angulos secat, & bifariam ipsam secabit ι s 3 quare AF, ipsi FC, est
aequalis . Rursus quoniam recta linea AC , bifariam secta est in F, atque ipsi adiicitur CD, erit rectangulum ADC, una cum quadrato ex FC, aequale quadrato, quod ex FD; commune apponatur , quod eX FE quadratum; rectangulum igitur ADC , una Cum quadratis ex CF,FE, est aequale quadratis ex DF, FE; sed quadratis quidem ex DF , FE, aequale est , quod ex DE, quadratum; etenim rectus est angulus EF D: quadratis vero ex CF, FE , aequale est quadratum ex CE; ergo rectangulum ADC, una cum quadrato,
quod ex CE, est aequale quadrato ex ., squalis auteest CE, ipsi EB; rectangulum igitur ADC, una climquadrato ex E B, aequale est ei, ouod ex ED quadrato; sed quadrato ex ED , aequalia 1 unt quadrata ex EB , BD: si quidem rectus est angulus EBD I ergo rectan I 4 gu
155쪽
EueII ἐs Elam. igulum ADC,una eum quadrato ex EB equale est eis, quae ex EB,3D, quadrat is; commune auferatur quadratum ex EB; reliquum igitur ADC rectangulum , quadrato, quod fit ex DB, aequale erit. Si igitur ex-tia circulum aliquod punctum fumatur , de quae deinceps sunt ό quod oportebat demonstrare.
Theorema Propositis si extra eireulum fumatur aliquod purietum , atque ab eo in circulum cadant 'dua recta lιnea , quarum altera gusdem circulum secet , altera vera in eidae , sit autem quod tota secante , eroxterius assumpta inter punctum , ct curvam circum- serentiam eontinetur, rectangulum aquale ei, quod abi ηcidente sit quadrato : ineidens linea circulum ea n tiηIer.
sumatur aliquod punctum D , atque ab ipso in circulam eadant duae rectae lineae D 'A, DB; DCA, quidem circulum secet, DB vero incidat, fitque rectangulum ADC aequale aquadrato, quod fit ex DB. Di-'co ipsam DB, circulum ABC ,
contingere. Ducatur enim recta linea DE , contingens chre eulum ABC,& sumatur circuli ABC centrum , quod sit F, unganturque FE, FB, FD; ergo assulus FED, rectus est .
156쪽
. Liber TertIur. .i3P i Et quoniam DE, circulum ABC eontingit , serat autem DCA, rectangultim ADC aequale erit quacuato quod ex DE, sed rectangulu ADC,ponitur aequa- Ie quadrato , quod ex DB; quadratum igitur , quod ex DE , quadrato ea DB, aequale erit, ac propterea linea DE, ipsi DB aequalisi est autem, & FE, aequalix FB; duae igitur DE,EF,duabus DB, BF, aequales sunt*Be basis ipsarum communis FD; angulus igitur DEF.
est aequalis angulo DBF a relius autem DEF ;
ergo, di DBF est rectus ; atque est FB, producta dia-imeter ι quae vero ab extremitate diametri circuli ad rectos angulos ducitur circulum contingit; ergo DB cireulum ABC eontingat necesse est. Similiter demonst tabitur,di s centrum sit in ipsa AC. Si igitur extra circulum sumatur aliquod pulium, ocreliquas quod demonstrare oportebat.
157쪽
Ex traditione Federici Commandini. DIFFINITIONES.
,. 1 gura rect i linea in figura remi inea deseribi
dicitu uando unusquisque figurae deseriptae angulus unumquodque latus eius, in qua de- scribitur, contingit. u. Figura similiter circa figuram describi dicitur quando unumquodque latus descriptae utiuquemque angulum ejus.circa quam describitur, con
3. Figura rectilinea in eirculo describi dieitur, quando unusquisque descripis figurs angulus cirriculi circumferentiam contingit. . Figura rectilinea circa cireulum describi dieitur, quando unumquodque latus descripti cireuli circumferentiam contingit.
s. cireulus similiter in figura rectilinea deseribi
158쪽
Liber martur. I die laur, quando circuli circumferetia linumquoi , que latus eius, in qua describitur contingit. 6. irculus circa figuram rectilineam describi di. eitur, quando circuli circumferentia unum quem-- que angulum ejus, circa quam describitur, contingit. . Recta linea in circulo aptari dicitur, quandseius extrema ad circuli circumferentiam se appli
Problema I. Propositio I. In dato eirenti data recta linea, qua diametro ejur major non sit, aqualem rectam ii
ABC, data autem recta linea non maior circuli diametro D; oportet in circulo ABC, rectae lineae aequalem rectam li
tur circuli ABC, diameter BC. Si quidem igitur BC sit aequalis ipsi D , factum iam erit, quod proponebatur; etenim in circulo ABC, aptata est AC, rectae lineae D, aequalis. staminus , major est BC . quam D , ponaturque ipsi D , aequalis CE r & centro quidem C, intervallo autem CE, circulus describatur AEF: &CA iungatur. Itaq; quoniam punctum C, centrum est AEF eirculi; erit
CA, ipsi CE, aequalis . Sed D est aequalis CE, ergo, de ν D, ipsi
159쪽
t o Euelidis Elem. D, ipsi AC. aequalis erit. In dato igitur circulo ABC, datae rectae lineae D , non maiori circuli diametro, aequalis aptata est AC; quod facere oportebat.
Problema I. Propositis a. Iu cireulo dato , dato triangulo quianguIAm triangulum describere.
ABC , datum autem tria gulum DEF; oportet in ABC circulo de-iar: bere triangulutriangulo DEF , quiangulum .Dueatur recta line
GAH , eontingens eireulnm ABC , in puncto' Ar i di ad rectam lineam ΑΗ, de ad punctum in ea A, augulo DEF, aequalis angulus constituatur HAC ; di rursus ad rectam lineam AG; εe ad punctum in ipsa A, angulo DEE, aequalis eonstituatur angulus GAB;RBC iungatur. oniam igitur circulum ABC, contingit qusdam recta HAG; a contami autem in circulum duba est AC rerit HAC, angulus aequalis ei, qui in alterna circuli portione consistit, 3 vide- Iicet ipsi ABC. sed I AC angulus aequalis est angulo DEF, ergo,& angulus ABC,angulo DEF,est aequalis. Eadem ratione, di angulus ACB , est aequans anguio
160쪽
Liber suartus. i I .lo DFE; reliquus igitur BAC angulus reliquo ΕDFaequalis erit; ergo triangulum AEC, triangulo DΕΚ est aequiangulum; & descriptum est in circulo ABC. In dato igitur circulo dato triangulo aequiangulum triangulum delcriptum est; quod facere oportebat.
Problema 3. Propositio 3. circa datum eiretulum,trianguisio dato agurangulum triangulum describere.
ABC: datum autGtriangulum DEF ; oportet circa eirculii ABC , describere triagulum, triangulo DEF , aequiangu- Iuni ; protrahatur ex utraque parte EF,adpmacta H,G, & sumatur circuli ABC, centrum Κ : dc recta linea KB utcumque ducatur et constituaturque ad rectam lineam ΚΒ,& ad punctum in ea X,angulo quidem DEG i aequalis angulus ΒΚΑ, angulo aut e DFlI,aequalis angulus BXC, di per A, B,C. Puncta ducantur rectae lineae L ΑΜ, ΜΒΝ, NCL , circulum ABC, contingentes. Quoniam igitur circulum ABC, cotingunt L M,ΜN,NL, in punctis A, B,C, a cetro autem Κ,ad A, B.C, plancta ducuntur ΚΑ, ΚΒ,