장음표시 사용
161쪽
et et Euelidis Elam. niam quadrilateri AMBR anguli quatuor , quatuor rectis aeqi ΛΤ es sunt, etenim in.duo triangula diuiditur ; quo una anguli ΚAM , ΚΒM , furit recti; erunt reliqui ΑΚΗ, AMB, duobus
rectis aequales. S lata me, dc DLG, DEF, aequales duobus rectis; anguli igitur ΑΚΒ, ΑΜΒ , angu I saySG, DEF, aequales sunt , quorum AKB , ipsi DEG, xst aequalis; ergo reliquus AMB, reliquo D EF, aqualis erit. Similiter demonstrabitur angulus LN B , ipsi a FE , aequalis; ergo , 8c reliquus ΜLN , eli aequalis Teliquo ED F; aequi angulum igitur est LΜN , trianis gulum triangulo DEF, & descriptama est circa circu- Ium ABC . Qigare circa datum circulum triangu Io dato aequi angulum triangulum descriptum est;quod
facere oportebat. Problema A. Proposito 4. In dato triangulo circulum d cribere.
A C It datum triangulum ABC, Oporin D tet in triangulo ABC , circulum describere. Secentur anguli ABC, i BCA, bifariam rectis lineis BD,CD, i 2 quae conveniant inter se in D,
162쪽
perpendiculares ducantur DE, DF, DG. sa Et quoniam angulus ABD,est aequalis angulo CBD,est autede rectus BED, recto BED, aequalis rerunt duo triangula EBD, DBF, duos angulos duobus angulis aequa-las habentia, &unum latus uni lateri aequale, de utrique commune BD, quod scilicet uni aequaliun angulorum subtenditur; ergo , de reliqua latera reliquis lateribus aequalia habebunt, 3 atque erit DE. aequalis DFι de eadem ratione DG , aequalis DF; eringo, dc DE, ipsi DG , est aequalis ; tres igitur rectae lineae DB, DF, DG, inter se aequales sunt ; quare centro D , intervallo autem una ipsarum DE. DF , D G, eire ulus descriptus etiam per reliqua transibit puncta; de rectas lineas AB, BC, CA, continget; propterea,qubd recti sunt ad EFG, anguli. Si enim ipsas secet , quae ab extremitate diametri circuli ad rectos angulos ducitur, intra circulum cadet; quod est absurdum; non igitur centro D, intervallo autem una ipsarum DE, DF, DG. ei reulus descriptus secabit rectas lineas AB, BC, CA, quare ipsas continget. atque erit circulus descriptus in triangulo ABC . Iadato igitur triangulo ABC, cuculus EFG, descriptus est; quod facere oportebat.
163쪽
gula ABC, circulum describere; centur AB, AC, bifa- Iiam in D, E puchis: si &ὶ puctis D, E, ipsis AB, AC, ad rectos angulos ducatur DF, E F; sa quae quide vel intra tria gulum ABC, convenient, vel in recta linea BC, ves extra ipsam. Conveniat primum ira tra tria gulum in puncto F:& BF,FC,FA, Ω-gatur. Quonia igitur AD est aequalis DB, comunis aute,
di ad rectos angulos DF; erithasis AF, basi FB , aequalis. 3 similiter ostendetur,&CF,aeqnalis FA; ergo, dc BF, est aequalis FC;tres igitur FA , FB, FC , inter seia aequales sunt; quare centro F, interva Ilo autem una ipsarum FA, FB, FC, circulus descriptus etia per reliqua
164쪽
puncta transbite atque erit circulus deseri'us circa triangulum ABC; & describatur , ut ABC. Sed DF , EF, conveniant in recta linea BC, in puncto F,ut habetur in seculia figura,& AF iungatur. simili er demonstrabimus punctum F, centrum esse circuli circa triangulum ABC , descripti. Postremo DF, EF, eon
veniant extra trian pulum ABC rursis in F puncto,
ut in tertia figura: di iungantur AF, FB, FC. Et quoniam rursus AD, est aequalis DB , communis autem, ad rectos angulos DF , basis AF , basi FB , aequalis erit. Similiter demonstrabimus,& CF, ipsi FA,aeqiialem esses quare BF, est aequalis FC. Rursus igitur
centro F, intervallo autem una ipsarum FA, FB, PC, circulus descripeus, per reliqua transibit puncta; atque erit circa triangulum ABC descriptus ; de describatur, ut ABC. Circa datum igitur triangulum circulus descriptus est; quod facere oportebar. Et mani fistumetet, quandoeentrum circuli intra triangulum cadit, angulum BAC,existentem in portione 1 emicirculo majore minorem esse recto, quan do autem e entrum circuli cadit in recta linea BC , angulum B AC, quod sit in semicirculo, rectum esse,& quando extra BC , quod iit in portione minore. semicirculo, recto esse maiorem. Quare , & quando datus angulus minor sit recto, DF , EF , intra tria sulum convenient: quando autem rectus in ipsa BC,
dc quando major recto, extra BC ι quod ostendere
165쪽
oportet in ABCD circulo quadratum describere. Ducatur circuli ABCD diametri ad rectos angulos inter se AC , BD i de AB, BC, CD, DA , iungamur. incinia in igitur BE, est aequalis ED , eteni in centrum est E, communis autem , 5c ad rectos angulos EA i erit basis BA aequalis basi AD. Et eadem ratione utraque ipsarum BC, CD, utrique BA, AD , aequalis ; aequilate. . rum igitur est ABCD quadrilaterum. Dico, dc rectangulum esse. Q oniam enim recta linea BD , diameter est ABCD circuli, erit HAD semicirculus; quar angulus B AD , rectus est. si Et eadem ratione unusquisque ipsorum ABC, BCD, CDA , est rectus ;rectanguium igitur est ABCD quadrilaterum; osten sum autem est , 8c aequilaterum esse ; ergo quadratuneeessario erit, & descriptum est in circulo AhCD. In dato igitur ABCD circulo quadratum ABCD , de scriptum est; quod facere oportebat.
Probisma I. Propositis . cirea datum eireuIum quadrarum deseribere.
SIt datus circulus ABCD,oportet ei rea ABCD ci φulum quadratum describere, ducamur circuli' .- ABCD,
166쪽
Liber martus. 347 ABCD, duae diametri AC, BD, ad rectos inter se an-givlos, dc per pucta A, B, C, D, dii atur circulu ABCD, G F contingentes FG, GH, ΗΚ, KF. i quoniam igitur FG, conis
tingit circulum ABCD , a centro autem Ε, ad contactum.qui D est ad A, ducitur EA;erun an
ratione , dc anguli ad puncta B, C, D, recti sunt. Et quoniam
re C antulus AEB rectus est . est autem & iectus EFG ι erit GH, ipsi AC , parallelata. 3 Eadem ratione,& AC, parallela est FK. similiter demonstrabimus , & utramque ipsarum GF, ΗΚ, ipsi BED, parallelam esse; quare,& GF, est parallela Η Κ; parallelogranam a igitur sunt GK, GC, ΑΚ, FB, ΒΚ , ac propterea GF quidem est aequ*lis ΗΚ , G Η, vero ipsi FK. Et quoniam AC , aequalis est BD rSed AC quidem utrique ipsariam GH, FK, est aequalis ; I D vero aequalis utrique GF, ΗΚ , & utraque
GH, F Κ, utrique GF, ΗΚ , aequalis erit. AEqui lateruigitur est FG ΗΚ quadri laterum . Dico, & rectangulum esse, quoniam enim parallelogramum est GBEA, atque est rectus AEB angulus ,& ipse AGB aectus erit. Similiter demonstrabimus angulos etiam , qui ad puncta Η, Κ,F, rectos esse; rectangulum igitur est quadrilaterum FGΗΚ: demonstratum autem est X a . aequi-
167쪽
i s Euclidis Elem. . aequi laterum; ergo quadratum sit necesse est; δι d sci iptum est circa circulum ABCD. Circa datum igitur circulum quadratum descriptum est; quod facere oportebat. Problema 8. Propositio 8. In dato auadrato ei cultim describere
oportet in quadrato ABCD, circulum describere. Secetur utraque ipsarum AB , AD, bi
per E quidem alterutri ipsara AB, CD, parallela ducatur EΗ; a per F vero ducatur FK, B H C parallela alterutri AD, BC; parallelogramum igitur est tinuis quodque ipsorum AK , ΚΒ , AH , ΗD, AG, GC, BG, GD: & latera ipsorum, quae ex opposito sunt, equalia. 3) Et quoniam D A est aequalis AB i, dc iplius quidem AD, dimidia est ΑΕ ; ipsius vero AB , dimidiata AF; erit AE , ipsi AF aequaIis; quare , di opposta latera aequalia sunt; ergo FG, est aequalis G E. Similiter 'demonstrabimus, bc utramque ipsarum GH, GK,utrique FG, GS, aequalem esse ; quatuor igitur GE, GF, GH, UX, inter se sunt aequales. Itaque centro quide G, intervallo autem una ipsarum GE, GH GH, GK, cdiculus descriptus et iam per reliqua transibit pun cta, dc rectas lineas AB, BC, CD, DA, continger H
168쪽
Liber harpus. 1 9pterea,quod anguli ad E, F, Η, Κ,recti sunt. Si enim circulus secabit rectas lineas AB, BC, CD, DA , quat: ab extremitate diametri circuli ad rectos angulos ducitur , intra circulum cadet; quod est absurdum; c - non igitur centro quidem G, intervallo autem una ipsarum GE , GF, G Η , GK, circulus deseriptus rectas lineas AB , BC, CD, DA, secabit; quare ipsas necessario contingete atque erit descriptus in quadrato ABCI . In dato igitur quadrato circulus descriptus est; quod facere oportebat. 49 i6. tertij. Problema 9. Propositi. 9. cipea datam quadratum circu
oportet ei rea ABCD , quadratum circulum describere. iungamur enim AC,BD , quae se invicem in puncto E , secent. Et quonia DA est aequalis AB, communis autem AC duae DA, AC, duabus BA, AC,
aequales sunt, & basis DC , aequalis basi CB; erit angulus DAC , angulo 'AC ,
aequalis; angulus igitur DAB bifariam sectus est tecta linea AC.Similiter demonstrabimus unumquemque angulorum ABC, BCD, CDA, rectis lineis AC,
DB , bifariam sectum esse. Ω niam igitur angulus DAB. angulo ABC est aequalisit atque est anguli quis
169쪽
rso Euclidis Elem. dem DAB,dimidius angulus E AB, anguli vero ABC, dimidius EBA; & EAB, angulus angulo EBA, aequalis erit; quare, dc latus EA, lateri EB , est aequale . Si mi iter demonstrabimiis, dc utramque rectarum linea rum EC , ED , utrique EA, EB, aequalem esse; ergo quatuor rectae lineae EA, EB, EC, ED, inter se sui aequa Ies; centro igitur E, intervallo. . Ruxem una ipsarum EA , EB, EC, ED , circulus descriptus e viam per reliqua puri cta tran libiti atque erit descriptus circa ABCD qua dratum I deici ibatu I , ut ABCD ; circa datum igitur quadratum ci Iculu . descriptus est; quod facere
. basim, duplum reliquή. y μEXponatur recta quaedam linea AB, & secetur in C, puncto, ita ut rectangulum contentum AB, BC, aequale sit et , quod ex CA. describit ut quadrato: i di centro quideΑ , intervallo autem AB, eir eulus describat BDE ; apte.
170쪽
Liber hareur. . Isrturque in BDE circulo recta linea BD , aequalis apsi AC, quae non sit maior diametro circuli BDE: a & timctiso A, DC , circa ADC triangulum circulus ACD deseribatur. Itaque quoniam rectangulum 'ABC aequale est quadrato , quo fit ex AC ; aequalis autem est AC ipsi BD; erit ABC rectangulum quadrato, quod ex BD, aequale. Et quoniam extra cireusa ACD , sumptum est aliquod punctum B , & a puncto B, in circulum ACD , eadunt duae rectae lineae BCΑ , BD, quarum altera quidem secat, altera vero incidit. atque est rectangulum ABC aequale quadrato , quod ex BD, recta linea BD, circulum A CD, continger. HQuoniam igitur BD contingit. & a coni actu , qui ad D , ducta est DC ; erit BDC angulus aequalis ei, qui in alterna circuli portione constituitur, μ) videliceta ulo DAC. Rus,d eum angulus BDC aequalis sit ipsi DAC , eommunis apponatur CDA ; totus igitur BDA , est aequalis duobus angulis CDA , DAC . sed ipsis CDA, DAC, exterior angulus BCD, est aequalis ἔ. s ergo, de B DA aequalis est ipsi BCD . Sed BDAangu Ius est aequalis angulo CBD , quoniam de latus lateri AB est aequale; ergo , & DBA , ipsi BCD , aequalis erit . Tres igitur angui i BDA , DBA , BCD, inter se aequales sunt. Et quoniam angulus DBC aequalis est angulo sCD, de latus BD , lateri DC , est aequale. Sed BD, ponitur aequalis ipsi CA, ergo, dc AC,est aequalis CDι quare,de angulus CDΑ,aequa