Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

171쪽

rsa Euelidis Llem. 1is est angulo DAC; anguli igitur CDA, DAC, ipsi uianguli DAC dupli sunt; est autem & BCD, angulust angulis CDA,DAC aequalis, ergo,&BCD, duplus ipsius DAC. Sed BCD, est aequalis utrique i plorum BDA, DBAs quare, M uterque BDA, DBA, ipsius DAB , est duplus I aequierure igitur triangulana μα- stitutum est ADB , habens utrumque eorum angulo- . - rum, qui sunt ad basina, duplum reliqui; quod facere

oportebat. Problema II. Prstpositio II. In dato circulo penta tonum aquilaterum, ct aqui angulum describere. -

I in ABCDE circulo I pentagonuin aequila ierum , & aequi anga

ρος, tum describere . Exponatur iri angulum aequi crure FGH , habens utrumque eoru ,

qui sunt ad G, H, angulorum duplum anguli , qui est ad F: i oc describatur in circulo ABCDE , triangulo FGH, aequiangulum triangulum A CD, et ita ut angulo quidem , qui est ad F , aequalis sit angulus CAD: utrique verbipsoru ni, qui ad G, H, se aequalis uterque A CD, CDA , & uterque igitur ACD, CDA, anguli OAD , est duplus; secetur uterque ipsoru π ACD, CDA . bifariam rectis lineis CE , DB s ABI

172쪽

Lἰber Marius. IsrAB. BC , CD, DE, EA , iungantur. Qu iam igitur uterque ipsorum ACD, CDA, duplus est ipsius CAD, M secti sunt bifariam rectis lineis CE, DB , quinque' anguli DAC, ACE, ECD, CDB, BDA , inter se sunt

aequales ; aequales autem anguli in aequalibus ei eumferentiis insistunt ι 4st quinque igitur circui serentiae AB, BC, CD, DE, EA, aequales sunt inter se. Sed aequales circumferentias aequales rectae lineae

subtendunt ; s ) ergo , dc quinque rectae lineae ΑΒ ,

IIC, CD,DE, EA, inter se aequales sunt ; aequi laterum igitur est ABCDE, pentagonum. Dico,& aequiangulum esse. moniam enim circumferentia AB, aequalis est cireumferentiae DE,comunis apponatur BCD; tota igitur ABCD, circ ferentia toti circumserenistiae ED CB, est aequalis,&.in circumferentia quidem 'ABCD, insistit angulus AED, in circumferentia vero EDCB, insistit BAE. Ergo,& BAE, angulus est aequalis angulo AED . Eadem ratione, & unusquisque angulorum ABC , BCD, CDE , aenicuique ipsorum BAE, AED, est aequalis ψε aequi angulum igitur est ' ABCDE, pentagonum: ostensum autem est, dc aequi, Iaterum esse. 4are in dato circulo pentagonum aequilaterum, & aequi angulum descriptum est quod

facere oportebat.

Problema II. Propositio I a. circa datum cireulum pen evonum aquilaterum, ετ aquiangulum describere. .

Sit datus cireulus ABCDE;oportet circa circulum CDE, pentagonum aquilaterim , di aequian μ

173쪽

tiber auartuti hirsplus igitur est angulus BF C, anguli angulus

duplus ipsius FKC. Eadem ratione,& angulus CFD , anguli CFI. , est duplus t angulus vero CLD . duplus anguli CLF; bc quoniam circumferentia BC. eircumferentra: CD, est aequalis,&angulus BFGangulo CFD , aequalis erit; atque est angulus quia dem BFC , anguli QC duplus: angulus vero DF C, duplus ipsius LFC, aequalis laitur est angulus Q C,

angulo CFL. Itaque duo triangula sunt FKC , FLC, duos angulos duobus angulis aequales habentia , al. rerum alteri, & unum latus uni lateri aequale, quod 'ipsis comune est FC. Ergo , & reliqua latera resiquis . lateribus aequalia habebunt. & reliquum angulum reliquo angulo aequalem 6 recta thitur linea KC. est aequalis re 'ae CL, & angulus angulo FLC.

Et quoniam W , aequalis CL, erit L, ipsius AN, dupla. Eadem ratione, & Η , ipsius B c, dupla oste- detur. Rursus quoniam BK , ostensa est aequalis ipsi C, atque est v,quidem dupla ΚC, vero ipti Bit, duplar erit ipsi.,aequalis. Similiter,& una- . quaeque ipsarum GH, GΜ, Μ L , ostendetur aequalia utrique Via. IEquitaterum igitur est GH LM .Penta sonum. Dico etiam aequi angulum esse .Quoniaenim angulus Fi C, est aequalis angulo FLC: &ostensus est ipsius quidem Fi vi, duplus angulus Η LL,ipsus vero FLC , duplus i Μ : erit, &-angulua angulo MLΜ, aequalis. Simili ratione ostendetur, de

174쪽

Nis,MLΜ, qualis.Quinque igitur anguli1JM,LΜG,MGH,inter se quales iniit; ergo aequia-sulnm pentagonum; ostensum autem est etiam aequilaterum esse et & descriptum est circlia ABCDE, circulum; quod facere oportebat. Problemar; . Prepositio 13. In dato pentagono,quod ἀρει- laperum, ct aquiangulum sit, circulum de scribere. It datum pentagonum aequi-

D laterum, & aequiangulum ABCDE ; oporter in A BCDE , X-pentagono circulum deseri be-

, secetur uterque anguloru

F , in quo eonveniunt inter se C κ D CF, DF, ducantur rectae lineae FB, FA, FE. Quoniam igitur BC, est aequalis CD,c5munis autem CF,duae BC,CF, duabus DC,CF,aequales sunt, & angulus BCF, est aequalis angulo DCF;hasis igitur BF, bas FD, est aequalis,& BFC triangu-gulum aequale triangulo DCF, & reliqui anguli reliquis angulis aequales, quibus aequalia latera subtenduntur; a ) angulus igitur CBF,angulo CDF,ςqualis erit. Et quoniam ahgulus CDΕ anguli CDF est duplus, Ac angulus quidem CDE , angui ABC, an Rulus vero CDF, angulo CBF aequalis ; erit & CBA, .ingulus duplus anguli CBE; ac propterea angu , lus

175쪽

Liber Atuartus. Ius ABF, angulo FBC aequalis , angvius igitur ABC, bifariam selius est recta linea . similiter demon- strabiti1r, & unumquemque angulorum BAE, AED.

reetis lineis AF, FE , bifariam sectum esse. Itaque . puncto F, ad rectas lineas AB, BC, CD, DE, EA, da- cantur perpendi eulares FG, FH, Fh FL,FΜ. Et quonia in angulus I CF.est aequalis angulo CF;est aute,

di rectus FΗC , recto Fi C aequalis r erunt duo triangula FHC, F ς,duos angulos, duobus angulis aequales habentia, Sc unum latus uni lateri aequale, commune scilieet utrisque FC, quod uni aequalium angulorum subtenditur; ergo, & reliqua latera reliquis Iateribus aequalia habebunt,s 3 atque erit perpendicularis FH , perpendiculari Fit, aequalis . similiter ostendetur, & unaquaeque ipsaru FL, FΜ, FG,aequa. vlis utrique FH . Fit , quinque igitur rectae lineae FG ,

FH, FL FL, FH, inter se aequales sunt; quare centro F. intervallo autem una ipsarum FG, FH,FL, FL, FH, circulus descriptus, etiam per reliqua transibit puncta, di rectas lineas AB, BC, CD, DE, EA continget, propterea quod anguli ad G, H, Κ,L,Μ, recti sunt. Si enim non continget,sed ipsas secabit, quae ab extremita Ie diametri circuli ad rectos angulos ducitur in ra circulum cadet, quod absurdum esse ostensum non igitur centro F, & intervallo uno ipsoru punctoru G, H, Κ, L,Μ, circulus descriptus rectas ilineas AB, BC, CD, DE, EA secabit; quare ipsas co . tingat necesse est, describatur, ut GHi M. In dato

176쪽

xss Euelidis Elem. igitur pentagono, quod est aequi laterum, aequi an guiu, circulus descriptus est. Mod facere oportebat.

Pνoblema I 6. Proportio I . Circa datum pentagonumras' quod aquilaterum,'aquiangulum sit , circulum des rabere.

laterima, & aequi angulum ABCDE ; opo et circa penta. gonum ABCDE, circulum deis scribere: secetur literque ipso. rum BCD, CDE , angulorum bini iam rectis lineis CF , FD: puncto F, in quo ton Veniunt rectae lineae , ad piin et 2AE, ducantur FB, FA, FE . Similiter, ut in antecedenti, demons abitur unumquemque angulorum

CBA, BAE, ALD, rectis lineis BF , FA, FE, bifariam lsectum esse. Et quonia angulus BCD, angulo CD Ε, est aequalis; atque est anguli quidem BCD dimidius angulus FCD, anguli vero CDE, dimidius CD F; erit. ει FCD, angulus aequalis angulo F DC, quare , & laetus CF lateri FD , est aequale. Similiter demonstra- lbitur, & unaquaeque ipsaru FR,FA, FE, aequalis uni - curque FC, FD ; quinque igitur rectae lineae FA, FB, FC, FD, FE, inter se a quales sunt; ergo centro F,&intervallo una ipsarum FA, FB, FC, FD, FE, circulus. descriptus etiam per reliqua transabit puncta r atque erit, descriptus circa pentagonum ABCDE , quod

est , de aquiangulum ι deseribatur, de . sit

177쪽

Liber auartur. . Myy fit ABCDE; eirca datum igitur pentagonum lateriai i. & aequi angulum circulus descriptus est. QEPd tacere oportebat.

Probiama I s. Pro νο stio Is. In dato cireulo hexagonum aquila rerum , , aequianrulum descrihe, e .

. Cydatus circulus ABCDEF. D oportet in circulo AB ID EF,

- hexagonum aequi laterum, &C aequi angulum Hescribore ; du-eatur circuli ABCDEF, dia De inter AD , sumaturque centri in

eirculi Gi & centro quidem V,

intervallo autem D G, circulus

describatur EG CH ; juctae EG, CG , ed punista B, F prodire an tuti δc iungantur AB, BC, CD, DE, EF, FA ; dico hexagonum ABCDEF , aequi laterum , dc aequi angulum esse. Quoniam enim G pu hctum , cε-t tum est ABCDEF circuli, erit GE, ipsi GD, aequalis. Rursus quoniam D , centrum est circuli EGCH , erit DE, aequalis DG, sed G Ε, ipsi GD, aequalis ostensa ergo GE, ipsi ED, est aequalis ; aequi laterumtur est EG D triangulum , ideoque tres ipsius anguli E GD, GDE , DEG , inter se aequales sunt, quoniam aequic rurium triangulorum anguli ad basim inter se sunt squales: oc sunt trianguli tres anguli aequa. Ies

178쪽

ε . . Euclidis Etem. 9s duobus rectis; a P angulus igitur E GD, duorum

tectorum tertia pars est . Similiter of endetur , de Din duorum reistoruna tertia; di quoniam recta linea CG λ- per rectam EB insistens angulos, qui deinceps sunt EGC, CGB , duobus rectis aequales emcit ; 3 erit, dc rel.quus CGB, tertia duorum rectorum;

anguli igitur EGO , D GC , CGB ; inter se sunt requales 3 ergo, dc qui ipsis ad verticem sunt anguli BGA , AGF, FGE, aequales sunt angulis E GD , D GC , CGB ; quare sex anguli ΕGD, D GC, CGB, BGA, AGF, FGE , inter se aequales sunt; sed aequales anguli aequalibus eircumferentiis insistunt. 4 sex igitur circumferent ae AB, BC, CD, DE, EF, FA, inter se sunt aequales; aequales autecircumferentias aequales rectae lineae subtendunt; s ergo rectae lineae inter se aequales sint necesse est, ac propterea aequilaterum est ABCDLF, hexagonum. Dico , di aequiangulum esse. Quoniam enim circumferentia AF , circumferentiae ED, est aequalis, eo munis apponarur circumferentia ABCD:

tota igitur F ABCD , circumferentia aequalis est toti circumferentiae EDCBΑ , dc circumferentiae quidem FABCD,

179쪽

Liber 'artus. I 6 IFABCD, anguIus FED insistit , cireumferentiae vero ED CBA , insistit angulus AFE ; angulus igitur AFE, angulo P EF , est aequalis Similiter ostendentur , dereliqui anguli hexagoni ABCDEF sigillatim squales utrique ipsoruna AFS, FED . ergo aequi angulurn est ABCD F hexagonum; ostensum aurem est, & aequis laterum esse: di descriptum est in circulo ABCDEF. In dato igitur circulo hex, gonum aequi laterum . de aequiangulu descriptum est. Quod facere oportebat. C o R O L L A R I u M. Ex hoc manifestum est hexagoni Iatus, o,quae est excetro circuli,squale esse. Et si per pucta A,B, C, D, E,Fcontingentes circulum ducamus,circa circulum de scribetur hexagon m aequilaterum, oc qquiangulum eosequenter iis,quae in pentagono dicta sunt,& pi ἴ- ierea fimiliter iii dato heκagono circulum describemus, di circumscribemusi quod facere oportebat. Problema I s. Propositio I 6. In data circulo quindeceto. num asuriaterum, er aquiani ultim deserabere.

Six da ius circulus

ABCD; oportet in ABCD circulo quindico ronum squilaterum,dc aequi angulum deseribere. De r ba- tutila circulo ABCD, trianguli quide qui- lateri in ipso dei cripti latus AC , penta-

180쪽

Euelidix Eiam. goni vero aequi lateri latus Q. Riarum igitur pa tium est ABCD circulus quin iecina, eatum circum- ferentia quiaia ABCD

tertia existens circuisti, erit quinque ἱ circumferetia vero quae quin ra est et rcuisli,erit trium; ergo Ie .

Iiqua BC est onarum 'secetur BC bifariam in puncto E ; quor e vitraque ipsarum ΒΕ, EC eircumfereti aru , quintadeeima pars est ABCD circuli. Si igitur jum gentes ΗΕ , EC , aequales ipsis in continuum rectas lineas, in eirculo ABCD aptabimus, in ipso quinde-eagonum aequi laterum,ot aequiangulum descriptum erit; quod Deere oportebat. Similiter autem iis, quae dicta sunt in pentagono, . fi per eireu Ii divisiones eontingentes circulum duis eamus , circa ipsum describetur quin dee agonum aequi laterum,& squiangulum Et insuper dato quindecagono aequilatero, di aestui angulo circulum

selibemus , , circumscribemus,