Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

181쪽

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

Ex traditione Federici

Conmiandini. DIFFINITIONES.

s. Tri Ars est magnitudo magnitudini minor ma-X quando minor majorem metitur. a. Μultiplex est major minoris, quando majorem minor metitur. , 3. Proportio est duarni magnitudinum eiusdem generis,qua tenus ad quantitatem pertinet,mutua

quaedam habitudo. l. Proportionem habere thlee se magnitudines di, sunt , quae multiplieatae se invicem superare possunt. . In eadem proportione magnitudines esse die tur prima ad secundam, , tertia ad varia,quando primae, de tertiae aeque multiplices, secundae,&quartae aeque multiplices iuxta quamuis multipli-εδii cm utraque utramque, via uiastyerant, L a vel

182쪽

16 rueIidis Elam. vel una aequales sunt, vel unὶ deficIunt inter

comparatae.

6. Μagrtitudines , quae eandem proportionem habent, proportionales vocentur. 7. Quando autem aeque multiplicium multiplex quidem primae superaverit multiplicem secundet, multiplex verb tertiae non inperaverit multiplice quartae , tunc prima ad secundam majorem proportionem habere dicitur, quam tertia ad quarta. g. Analogia est proportionum similitudo. v. Analogia vero in tribus minimis terminis eonis sistit. ro. Quando tres magnitudines proportionales sunt, prima ad tertiam duplam proportionem habere dicetur ejus, quam habet ad secundam. 11. Mndo .autem quatuor magnitudines sunt prooportionales , prima ad quartam triplam habereta proportionem dicetur ejus, quam habet ad secundam , & semper deinceps una plus , quoad analogia proce gerit. ia. Homologae , vel similis rationis magnitudines

dicuntur antecedentes quidem antecedentibus , consequentes vero consequentibus. 13. Permutata ratio est sumptio antecedentis ad antecedentem, dc consequentis ad consequentem. ι . Conversa ratio est sumptio consequentis,ut an tecede s ad antecedentem, ut ad consequente. s. Compositio rationis est sumptio antecedentis , una cum consequente tamquam unius ad ipsa naia

Unsequentem . . -

183쪽

16. Divisio rationis est sumptio excessus, quo anteis cedens superat consequentem , ad ipsam coas

17. Conversio rationis est sumptio antecedentis, ex cssum, quo antecedens ipsam consequente V superat. IS. 22.qua ratio, ex aequali est , eum plures magnitudines extiterint, εc aliae ipsis numero aequa- les, quae binae sumantur,dc in eadem proportione, fueritque, ut in primis magnitudinibus prima ad ultimam, ita in secundis magnitudinibus primata ad ultimam e vel aliter, est sumptio extremarum per subtramonem mediarum. ordinata ana Iogia est qirando fuerit, ut antee dens ad consequentem , ita anteeedens ad consequentem I ut autem consequens ad aliam quampiam, ita eonsequens ad aliam quampiam. ao. Perturbata veris analogia est, quando tribus existentibus magnitudinibus, & alia ipsis numero aequalibus, fuerit, ut in primis magnitudinibus antecedens ad consequentem, ita in Leundis magnitudinibus antecedens ad consequentem ut au tem in primis magnitudinibus consequens ad alia . . quampiam: ita in se eundis alia quaepiam ad am

cedentem. Theorema I. Propositis I. Si fuerint quaecumqκε tuaei es quotcumque maenitudinώ aqualium numero, singuis singularum ρque multiplices, quotuplex est una Mognitudo unius, totaptiees erηnt, ιθ omneι gmni m.

184쪽

Sint quoteaque magnitudii es AB, A c

se. oc Α CD, ipsarum E,F.Qu'niam enim AB, aeque multiplex est ipsius Ε, & CD, ipsius F . quot magnittis nessui in Aliaequales ipsi E,tot eruta B E DF& in CD , aequales ipsi F dividatur AS , quidem in partes ipsi B aequales , quς sint AG , . GSe CD vero diuidatur in partes squales ipsi F , videlicet CH, HD ; erit igitur multitudo partium CH. H D aequalis muli tudini ipsarum AG,GB;6c quoniam AGAEst aequalis E,& CH, qualis Fierunt,ila AG,CH, aequales ipsi E , F i eadem ratione quoniam G B est aequaI s E.& HD,ipsi F,erunt,& GB,HD squales ipsis E F; quot igitur suiu in AB aequales ipsi E, tot sunt , de in AB, CD , aequales ipsis EF ue ergo qiintuplex est AB. ipsius E , tot uplices erunt , & AB, CD, ipsarum EF ι s igitur saerint quotcuque magnitudines quo

cumque magnitudinum aequalium numero singulae singularum sque multiplices. quotuplex est una magnitudo unius, totuplices erunt, oc omnes omnivin.

quod demonstrare oportebat. Thesroma a. Propositio a. Si prima fecunda multiplex fuerit. ac tortia quarta , fuerit autem quinta secunda aque multiplex, ac sexta quarta; erit erra m

185쪽

aeqtie multiplex sit, ae te tia DE,quartae F; si aut ε,δο quinta BG, secundae C , aeque multiplex, ac sexta Ere, quartae F. Dico j & eompositam primam , di B: quintam AS , secundae Cae qui 'ninstipIicem esse, ac teri iam, Msextam DH, quartae F. QEoniam enim AB, aeque multiplex est C, ac DΕ,ipsius F. quot magnitudines sunt in ΑΒ , aequales C , toterunt, de in DE, aequales F; eaderatione, & quorsut in BG, aequa- G C H FIes C . rot & in E H , erunt aequales F; quot igitur sint in tota AG aequales C, tot erunt, Sc in tota DH, aequales F; ergo quotuplex est AG,ipsius C, tot uplex

est , dc DH , i psius F; & composita igitur prima , di

quinta AG, secundae C aeque multipIex erit, ac te tia, o sexta DH , quartae F : quare' prima seeundaeaeque multiplex fuerit, ac tertia quartae: fueris au tri& quinta secundae aeque multiplex, ac se ata quartia erit composita quoque prima,& quinta aeque muIti- Plex secundae, ae tertia, dc sexta quartae; quod opor tebat demonstrare. e. rema 3. Propositio 3. Si pr masen da aqua mula

plex fuerit, ae tertia quarta; sumantur autem multiplices prima , O eertia, eris, ct ex aquali sum. ptarsi utraque ueriusque aque multilax, attera quivvim secunda, altera vero quarta.

186쪽

x63 Euelivis Elem. P Rima enim A, se dae Baeque Fmultiplex sit, ac tertia C, quatiae D: & sumantur ipsarum A,C,ςquem utriplices EF, G H. Di.co EF, aeque multipi cem esse ipsius B, ae GH ipsius D. Quoniam Fenim EF , atque muli ipIex est ipsius A, ae GH, ipsius C; quot magnitudines sui in EF , squales A,

tot erunt in GH, gquales C. Di- E A B G C Dvidatur EF , qui de in m gnitudines ipsi A, aequales ΕΚ, Κ F, GH vero dividatur in m gnitudines aequales C, videlicet GL, L H; erit igit . ipsaru ΕΚ, KF multitudo aequalis multitudin ipsaruGL,LΗ;5c quoniam aeqtie multiplex est A, ipsus B, ae C, ipsius D, aequalis auteER,ipsi A,ει GL, ipsi C; erit ΕΚ aeque multiplex ipsius B, ac GL, ipsius D; eade ratione aeque multiplex erit KF, ipsius B, & LΗ, ipsius B;quonia igitur prima EΚ, secudae B aeque multi pinxest , ac tertia GL, ouarta D; est autem, de quinta EF, secundae B aeque multiplex , ac sexta L H , quartae D serit,& composita prima,& quinta EF,secudae B aeque

multiplex , ac tertia , di sexta GH , quartae D. i si

igitur prima seeundae aeque fuerit multiplex, ac tertia quartae, sumantur autem primae, & tertiae aeque multiplices: erit, &ex aequali sumptarum utraque utriusque aeque multiplex , altera quidem secundae, altera vero quartae; quod ostendisse oportuit.

187쪽

Theorema Propositis q.Si prima adseeundam eandem habUt proportionem, quam tertia ad quarta, ct aqua multiplicet prima , o tertia ad aque multiplicas. eunda , di quarta, iuxta quam vir multiplicationem, eandem proportionem habebunt intermomparata.

P Rima enim A , ad secundam f

B eandem proportionem Uibeat, quam tertia C , ad quartam D: & uimantur ipsarum, quidem A,C aliae utcumque aeque multiplices E, F ipsarum vero B, D alis utcuque aeque multiplices G, H, dico E ad G ita esse . ut F, ad Η; fumantur enim rursus ipsarum E, F, aeqtie multiplices Κ,L,& ip saru G, H,sque muItiplices M,N. Quoniam igitur E , aeque multiplex est ipsius A, atque F , ipsius C; siimuntur autem ipsarum E, F,

sque multipIices Κ,L: erit Κ sque multiplex ipsHis Α , atque u ipsius C; I eadem ratione Maeque multiplex erit ipsius B, at que N, ipsius Due & quoniam est ut A, ad B ; ita C , ad D; suniptae autem sunt ipsalu MC,aehue inulaipnees Κ, L; Fc ipsarum B, D aliae utcumque aeque multiplices

X superat M , superabit di L ipsam N ; & si aequalis

Ex antecedente,

188쪽

i o Eiulidis El/m. qualis: si minor minor. t a 2 suntque X, L, quidem ipsarum E, F aeque multiplices; Μ,N vero ipsarum G, Haliae utcumque aequd multiplices ; ut

quare si primi, id secundam eandem habeat proportionem, qtiani tertia ad quaitam,& aeque multiplices primae. , ac tertiae adaeque multiplie essecand1 , ae quartae iuxt, quamvis ni ultiplicistionem eandem proportionem habebunt inter se comparatae; quod demonstrare oportebat. niam i itur demonstratiim est: oK-Μ. & L ipsam N superare , & u aequalis, aequalem esse , & si minor, minorem: constat est ana si Μ

Ex hoe manifestum est si quatuor magnitudines Proportiquales, de contra proportionales esse.

189쪽

reliqua aque multiplex erit, atque tota totiuri

MAEgo itudo enim AB magnitudinis ACD aeque multiplex sit, atque ablata AE, ablatae CR dieo, & reliquam EB reliquae FD aeque multiplicem esse , atque totam AB totius CD; quotuplex genim est AE ipsius CF , tolup ex fiat, δι Ea lius CG;3c qtinniam ΑΕ aeque multiplex est CF, atque ΕΒ ipsius CG is erit AE aeque multipleου CF,& AB ipsius GF, 3 ponitur autem aeque multiplex AE Bipsius CF, & AB ipfius CD ; atque multiplex igitur est AB, utriusque GF, CD; ac propterea GF ipsi CP est aequaIis; eommunis auferatur CF, reliqua igitur GC aequalis est reliquae DF. et I Itaque quonia AE aeque multiplex est CF,& EB ipsus CG. estque CG aequalis DF ; erit AE aeque multiplex CF.& EB ipsius FD; aeque multiplex autem ponitur AE ipsius CF, de AB ipsius CD; ergo EB est aeque multis plex FD,de AB ipsius CD;3e teliqua igitur EB reliqueFD aeque multiplex est, atq; tota AB lotius CD; qua re si magnitudo magnitudinis aeque multiplex sit, atq; ablata ablatae,de reliqua reliquae aeaue erit mul. tiplex,atq; tota hori ..d oportebat aemonstrare.

Theorema 6. Propositi. 6. si dua magnitudines duarum

190쪽

rra EueIidis Elem. dam sint earumde atque multipliees . erunt θ reliqua vel ejusdem aquales, vel ipsarum aque multiplιcei.

Duae enim magnitudines ΑΒ, Λ

CD, duarum magnitudinum a

E, F aeque multipliees sint,&abla- lAG, CH earu de sint aeque mul- Itiplices; dico,& reliquas G B, H D, vel ipsis EF et quales esse,vel ipsa- cIu qque multiplices; sit enim pri .mum G B, aequalis E; dico,& ΗΟ, ipsi F esse aequale; ponatur ipsi F, aequalis C Κ;& quoniam AG aeque multiplex est E , & CH, ipsus F; estq; CB, qui de aequalis E; cx v

I Oaequalis F: erit AB aeque multi

aut e multiplex ponitur AB, ipsius E, & CD, ipsius F; ergo ΚΗ aeque multiplex est F, & CD, ipsius F ;quoniam igitur utraque ipsarum ΚΗ, CD est aeque multiplex F,erit TH aequalis CD; communis aufertitur CH;ergo reliquax C reliqua

H D est aequalis a j Sed ΚCest aequalis F ; di H D. igitur Ipsi F est

qualisi ideolque G B, ipsi E,& ΗD ipsi F aequalis erit. Similiter demonstrabimus si GBmultiplex fuerit ipfius E , & ΗD ipsus F aeque mul