Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

191쪽

splieem esse. si igitur duae magnitudines duarum. magnitudinii aeque multiplices sint , & ablatae quaedam sint earumdem aeque multiplices erunt, & reliquet vel eisdem aequales, vel ipsarum atque multiplices. Quod demonstrare oportebat. Theorema I. Propositio T. qualet ad eandem, eandem habent proportionem, di eadem ad aquales. Sin raequales magnitudines A, B, alia autem quaevis magnitudo C. Dico utramque ipsarum A, B , ad C, eandem proportionem habere:& C, ad utramque A, B, similiter eandem habere proportione. sumantur enim Dipsarum A, B. aeque multiplices D, E, dc ipsius C,alia utcumque multiplex

F. Q itynia igitur aeque multiplex est D, i pilus A, & Ε, ipsius B, estque A , ipsi B aequalis , erit & D aequalis E . a) alia autem utcumque est F;ergis I' si D superat F, dc E ipsa F superabit, D C& si aequalis, aequalis, Ac si minor, minor; dc sunt UE, qui de ipsarum A, B aeque muItiplices: F vero alia utcumque multiplex ipsius C ; erit igitur, ut A ad C, ita B ad C. et Dico in v per C ad utramque ipsarum A, B eandem habere proportione; iisdem enim cohstructis similiter ostendemus D ipsi E aequalem esse , aliam vero quandam F; si igitur F- superat D, ipsam quoque E superabit; dc si aequalis;

192쪽

Euclidis Elem. aequalis & si mἰnor , minor; atque est F, quidem l lx-sus C multiplex ; DE velo aliae utcuque aeque multiplices ipsarum AB; esto,ut C ad Abia erit C ad B;s 3 aequales igitur ad eandem, ea m habent prO- Portioncm, & eadem ad aequal es. Mod ostendere oportebat.

vhoorema 8. Propositio R. Inaequalitum magoirudinum . maior ad eandem maiorem habet , quam minor res eadem ad minorem majorem prepori nem habest , 'isam ad ma jorem.

Sim inaequales magni iudines AB,Cet& sit AB maiore alia vero utcumqῆD; dico AB ad D maiorem habere pro- Portione , quod C ad D: dc D ad C majorem habere , quam ad AS , quoniam anim AB maior ea , quam C , ponatur ipsi C aequalis BE. Itaque minor ipsaruAE,Es, multiplicata major aliquando erit , quod D. et sit primum AE minor, quam EB,& multiplicetur ΑE,quoad fiat maior . quam D, sique ipsius multipIex FG, quae ipsa D sit maior rquotuplex autem est FG, ipsius AE,to- tufex fiat,de GH ipsius EB, ατ ipsius C; sumaturque ipsius D dupla,quidem L, tripla vero Μ, & deinceps una plus, quo

193쪽

Liber quo ad ea, quae sumitur ,. multaplex fiat ipsus D, de primo maior,qv1 Κ sumatur, fitque N ipsus D quadrupla , dc primo maior quam Κ; quoniam igitur Κprimo minor est, quam N , non erit Κ minor , quam

Μ ι & eum aeque muItiplex sit FG ipsius AE , & GH ipsius EB,erit,& FG aeque multiplex AE R FH ipsus AB; aeque ante multiplex est FG ipsi AE,& K ipsus C 3 ergo FH aeque multiplex est AB , di Κ ipsus

C, ae proptare a F Η, Κ ipsarum AB,C aeque multipli-ces eruntis rursus quoniam GH aeque multiplex est

En, dc K ipsius C , estque EB aequalis C erit, de GH ipsi X aequalis. sed Κ non est minor , quam Μ ὁ

non igitur GH minor est , quam Μ, maior autem FaG, quam D ; ergo tota FH utrisque D Μ maior erit.

sed utraeque D,Μ sunt aequales N , est enim Μ tripla ipsius utraeque ΜD ipsius D quadruplae,est aut, di N quadrupla D; utraeque igitur MD ipsi N squales sunt, sed FH major est quam ΜD. Quare ΕΗ superat N , Κ vero ipsam N non superat, & sunt FH,X aeque multiplices ipsarum ABG, dem ipsius D, alia uici que multiplex; ergo AB, ad 6 majorem proportion habet, quam C, ad D. Dieooraeteret, .di Dad Cmajorem habere proportionem, quam D ad AB iisdε enim constructis similiter octandemus N iaporare K, ipiam vero FH non ιuperare , atque est N multipleκapsus D,dc FΗ, Κ, aliae ureumq;ipsarum AB, C lque multiplites; ergo D ad C maiorem proportionem ha

het, quam D ad AB. Sed sit AE major, quam EB ; erit

194쪽

x EueIidἐι Elem. minor EB multiplicata aliquando maior, qua m Damultiplieetur , dc sit GH multiplex quidem ipsius EB, major vero,quam D; & quotuplea sest GH, ipsius EB,totuplex fiat,& FG, ipsius ΑΕ,& X ipsitis C; simili ratione

ostendemus FH , Κ ipsaru AB,C atque multiplices esse ; sumatur deinde Nmultiplex D, primo aute maior,quam FG; ergo rursus FG non est minor,quam:maior autem FG,quam Dιtota igiturFH su verat DΜ,hoc est N;& ΚJhsam N no superat:quoniam EG maior existens, quam GH, hoc est quam Κ ,rio superat Ni&similiter, ut in iis,quq superius dicta sunt, demonstrationem absolvemus. Inaequaliu igitur magnitudinum maior ad eandem maiorem I lhabet proportionem, quam minor , &eadem ad minorem mzjorem propor 'α--tione habet,quam ad majorem. 4od .stendere oportebat.

Theorema s. Pr asitio s. ma ad eandem , eandem pro porrronem habent, inter se aquaias sunt , ct ad quas σadem, eandem habet proportionem, ipsa inter se sunt aquales.

HAbeat enim utraque ipsarum A, B ad C eadem

proportionem. Dico A, ipsi B , aequalem esse , n4m si non esset aequalis,non haberet iuraque ipsarii A, B

195쪽

Lἐbeν z77A , B ad eandem proportionem. I habet autem p aequalis igitur est A ipsi B. Habeat rursus C ad utramque ipsarum A, B eadem 'proportionem. Dico A aequalem esse ipsi B; Doisi enim ita sit , no habebit C ad utramque VA,B eandem proportionem; habet autε; aergo A ipsi B necessario est aequalis; quae

igitur ad eandem , eandem proportionem habent,aequales inter se sunt:& ad quas eadem ea dem habetetroportionem , ipsae inter se sunt aeuuales; quod demonstrare oportebat.

i Ex antecedente. ta Ex antecedente.

Theorema Io. Propositio IO. .Ad eandem oportionem habentium qua maiorem proportionem habet , maior est 3 ad quam vero eadem majorem habet proportionem, illa minor est.

H Abeat enim A ad C maiorem propo

tionem , quam B ad C. Dico A , qB maiorem esse; si enim non est maior aequalis est, vel minor; aequaliS aάtem n is a

est A ipsi B, utraque eniin ipsarum A, B ad Ceandem haberet proportionem; i ) atqui ieandem non habet; non igitur A ipsi. B est IRaequalis. sed neque minor est A quam B; ha- 'beret enim A ad C minore proportionem,qua B; Μ atqui

196쪽

a s Euclidiι Elem. atqui non habet minorem , non igitur A minor', quam B; ostensum autem est neque esse aequalem sergo A quam B maior erit. Habeat rursus Cad B maiorem proportionem, quam C ad A. Dico B minorem en e . quam A ; si eni in non est minor,vel aequalis est, vel maior; aequalis utique non est B ipsi- ; etenim C ad utramque ipsarum A, B eandem proportionem haberet, 3 non habet autem fi ergo A ipsi Bnon est aequalis. Sed neque maior est B,quam A; haberet enim C ad A minorem promrtionem,qua ad At atqui non habet; non igitur B quam A est major . Ostensum autem est neque aequalem esse pergo B minor erit, quam A. Ad eandem igitur pro--rtionem habentium quae majorem prisportionem habet, illa maior est: εc ad quam eadem masorem habet proportionem, illa minor est ι quod oportebat

Hemonstrare.

Theorema II. Propositio M. Bua eidemi portlane1, di anter se eadem f-nt.

S/t olim, ut A ad B, ita C ad Drdui autem C ad D, ira E ad F. Dico, ut A ad B, ita esse B ad F; sumantur enim ipsaru,quidem A,C,E aeque multiplices G, H, Κ, i psarum vera B, D,F aliae urcsique aeque multiplices L,M,N. Quonia igitur est , ut A ad B,ira

C ad D A sumptae sunt ipsarunt A,C aeque multipli .

197쪽

. Libeνees-rp rum B, D aliae utcumque aeque multiplices L,Μ, si G superai L,dcri ipsa Μ superabit, di si aequalis, aequa- Iis;& si minor, nor; a) Rursus quoniaest , ut C ad D, ita E ad F, ela sumptae sunt ipsaru C, E qque multiplices H,Κ, ipsarum vero D, F aliae utcumque aque lmultiplices M. N,6 Hluperat Μ,&Κ Gipsam N superabit; & si aequalis, aequaqIis; & si minor, minor; sed si H superat G superabit L; de si aequalis,aequalis; & si minor minor; quare si G iupe rat L,& Κ ipsam N superabit;& si aqua Iis, aequalis εc si minor, minor; di sunt G,K quidem ipsarum A .E aque multiplices; L,N vero ipsaru B,F aliae urc -- Η C DHque aeque multiplices; ergo, ut A ad B, ita erit E ad F, quae igitur eidem eaedem sunt proportiones , de trirer eaedem sunt, quod ostendisse oportuit.

Theorema Ia ra. s. qaraeeunque magnitudi ner proportionales fuerint , ut una ante edentium ad unam consequentium , ευ arant anteeedentes omnes ad omnea consequentela

Sint quoteuque magnitudines proportionalesA, B. C, D,λFide ut A ad B,ita sit C ad D, si E ad F. Pi

198쪽

fuerint quotcuque magnitudines quotcumque magnitudinum aequalium numero, singulae singularum aeque multi- Ηplices; quot uplex est una magnitudo unius , tot uplices erunt, & omnes omnium; a P ea de ratione, dc L, & L, M, Nipsarum B, & B, D, F sut aeque multipli- , ees; est igitur, ut A ad B, ita A, C. E ad B, D, F ; 3 quare si quotcuque magnitudines proportionales fuerint, ut una vantecedentium ad unam consequentiu , ita erunt antecedentes omnes ad omnes consequentes , quod demonstrare opor- Κtebat.

199쪽

V. Liber aeuintus, Theorema I 3 . Propositio 1 3. Si pria

ma ad secundam eandem hMeat proportionem, quam tertra ad quartam; tertia autem ad quaseram maiorem proportionem habeat , quam quinta ad sextam eter prima ad secundam majorem habebit proportionem, qua quin ea ad sextam.

Rima enim A ad seeundam B eandem proportionem habeat, quam tertia C ad quartam D, tertia autem C ad quartam Disaiorem habeat proportionem, quam quinta E ad sextam F. Di eo,& primam A ad secundam B, maiorem proportionem habere , quam quintam E ad sextam F. Quoniam enim C ad D maiorem proportionem habet, quam E ad lRsunt quaedam ipsaru C,E aequeamultiplices, & ipsarum D,F aliae utcumque aeque multipli ces: &multiplex quidε C superat mul tiplicem D; multiplerit vero E n5 superat multiplicem F. fusu'. matur, de sint ipsarum C,E sque nitatiellaes S,H.de ipsarum D,F

200쪽

xta EMIidis Elem. . aliae ut eamque aeque multiplices Κ,L,ita ut G,qui Misuperet I :Η vero ipsam L non superet:& quotuplex est G ipsius C, totuplex sit, & M ipsius A; quotuplex autem x ipsius D, totuplex sit, & N ipsius B; bc quω-niam est, ut A ad B, ita C ad D,& sumptae sunt ipsarum A,C aeque multiplices Μ,G , de ipsaru B, D aliae utcumque aeque multiplices N,Κ: si Μ superat N . 8e G ipsam K superabit; & si aequalis, aequalis; oe si minor, minor. sed G superat R; ergo , de Μ ipsam N superabit,Η vero non superat L, sinitque Μ, Η ipsarum ΔΕ aeque multiplices,& N, L ipsaru B,F alimuleumque aeque multiplices; ergo A ad B maiorem proportionem habebit , qu m E ad F; 3 s igitur prima ad serundam eandem habeat proportionem , quὲm tertia ad quartam Flertia verb ad quartam maiorem proportionem habeat, quam quinta ad sexta, de prima ad secundam maiorem babebit proportionem, quam quinta ad sextam: quod ostendere No

'tebat.

P Rima enim A ad seriindam B eandem propoditioncm habeat . Ruam tertia C aa quartam D e