Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

201쪽

maior autem sit A quam C. Dico B quam D majorem esse. Quoniam o enim A major est quam C, oc aIta ut- Cumque magnitudo B,habebit A ad Bmaiorem proportionem, quam C ad B. a Sed, ut A ad B, ita C ad D; ergo , bc C ad D majorem habebit pro

Portionem, quam C ad B; a ad qua luero eadem maiorem prop0rtionem 6 2 L Rhabet, illa minor est. 3 7 Sare D estac. propterea B quam D ma rerit. Similiter demonstrabimus-si A aequalis sit ipsi Cinu ipsi Desse aequalem, &s A sit minor, quam C, de B qu mD'minorem esse. Si igitur prima ad secundam eandem habeat proportionem, quam tertia ad quartam. prima autem major sit, quam tertia se di seeunda . quam quarta maiorerit, at si aequalis, aequalis , dc si minor, minor, quod demonstrare oportebat.

Dico, ut C ad F. ita esse AB ad DE muniat enim aeque multiplex est AB ipsius C , di DE ipsius Fι quot magniredines sunt in AB aequaIes ipsi C,t iidem erunt , di isti aequales F ; dividatur AS ii H 4nam

202쪽

r 84 Melidis Elam. magnitudines ipsi C aequales, quae Asnt AG, GH, ΗΒ, dc DE dividatur in , magnitudines aequales F , videlicet lin DK. KL, LE ; erit igitur ipsarum GAG, GH, HB multitudo aequalis multitudini DK, KL , LE ; di quoniam aequales sunt AG, GH, ΗΒ , suntque HDK, KL, LE inter se aequales ; ut AG

LE ; aqueem, ut unum anteceden- B C E Flium ad unum consequentium , ita omnia antecedentia ad omnia consequentia , 6 est

igitur, ut AG ad DK , ita AB ad DE . Sed AG ipsi Cest aequalia, & DK ipsi F; ergo, ut C ad F, ita erit AB ad DE ; partes igitur eodem modo multiplicium inter se comparatae eandem habent proportione, quod ostendendum fuit,

Theorema I6. Propositio I 6. Si quatuor magnItudines proportἰonales Darior, di permutata proportionalea

erunt.

τι C Iniquatuor magnitudines proportionales A , B, I C, D, sitque, ut A ad B, ita C ad D. Dico,& pe

Putatas proportionales esse , videlicet, ut A ad Cita esse B ad D. Sumatur enim ipsarum, quidem AIsque multipliees EJ,ipsarum vero C,D alis utcum

203쪽

Liberylex est E ipsius A, dc F ipsius B , par- tes autem eodem modo multiplicium linter se comparatae eandem habent proportionem: sa) erit, ut A ad B,ita E ad F , ut autem A ad B, ita C ad D serto , & ut C ad D, ita E ad F, rursus quoniam G,Η sunt ipsarum C,D sque multiplices , partes autem eodem modo multiplicium eandem proportionε habent inter se comparatae, ca Perit, ut C ad D, ita G ad H, sed, ut C ad D, ita E ad R. ergo, & ut E ad F; ita G adH. d si quatuor magnitudines proportionales sint , prima sutem major sit, quam tertia; di secunda qua quarta maior erit, & si aequalis, aequalis,&si minor,minor. si igitur E superat G,& F iνa H superabitide si squalis, aequalis, di si minor, minor: suntque E, F ipsaru A, B aeque multiplices, & C,Η ipsaxum C,D, aliae utcumque aeque multiplices, ergo,ut A ad C,ita erit B ad D. Si igitur quatuor magnitudines proportionales fuerint ,& permutatae pro portionaler erunt. Mod ostendere oξortebat.

204쪽

Euclidis Elem.

Theorema II propositio IT. Si composita magnitudinis sntproportunatii, ct divisa proportionales erun,.

Int eopositae magnitudines pro- xque, ut AB ad ΒΕ ita CD ad DF; dico etia divisas ptoportionales esse, videlicet, ut AE ad EB, ita esse CF κ uad FD;sumatur enim ipsarum, qui- indem AE,FB, CF, FD, aeque mulri- H π .plices GH, ΗΚ, LΜ, ΜN,ipsarum... Evero EB, FD . aliae utcumque aeque lylmultiplices Κx, ;& quonia aeque G A CL

multi plex est GH ipsius AE , dc ΗΚ ipsius EB ι erit GH ipsius A E aeque muItiplex, & GΚ ipsius AB; si aeque autem multiplex est GH ipsius AE , dc LM ipsi iis CF; a ergo GK aeque multiplex est AB, & LM ipsius CF; rursus quoniam aeque multiplex est LMi, sius CF, de ΜN ipsius FD;erit LM aeque multiplex CF, εο LN ipsius Cn. 3 3 sed aeque multiplex erat LΜ ipsius CF , de GK ipsius Aas aeque igitur multiplex est GK ipsius AB , de LN ipsus CD. quare

GK, L N, ipsarum AB, CD aeque multipliees erunt. R u rius quonia aeque multiplex est ΗΚIpsius EB,de ipsus FD,est autem,& xx ipsius EB aeque mul

tiplex , ocNP ipsius FD-composita ra ipsius Ea aeque

205쪽

Lἐδεν aeque multiplex est,& Μ p ipsius FD; cs quod eum siti sit AB ad ΣΕ, ita Co ad DF, dc sumptae sint ipsa axum, quidem AB, CD , aeque multiplices GΚ , LN, ipsarum vero EB, FD aliae utcumque aeque multiplices HX, Μ', si GK inperat HX,de LN superabit ΜP. di si aequalis, aequalis, de si minor, minor 6 superet igitur GK ipsam HX, communique ablata GH lysam XX luperabit 3 sed si GK superae ΗX, de LN superat ΜP; itaque superet LN,ipsam Μp,com-nιunique ΜΝ ablata , & LΜ superabit NPι quare si GH superat XX, de LΜ ipsam Ne superabit. Simili-'r demonstrabimus, & si GH sit aequalis xx, & LM ipsi NP esse aequalem , & si minor , minorem ; sunt autem GH, LM ipsarum AE. CF aeque multiplices, di ipsarWm EB , FD aliae uteumque aeque multiplices XX, NP; ergo, u t AE ad EB , ita erit CF ad FD. si igitur compostae magnitudines sint proportionales ,& diuisae proportionales erum.QUd demonstra.

re oportebat.

SInt di isae magnitudines proportionales AE, EB.

CF, FD i de ut AE ad EB, ita CF ad FD. Diectetiam compositas proportionales esse . videlieet ut AB ad BE , ita esse CD ad DF . Si enim non est , ut

Aa ad Alli ita CD ad DF; erit ut A1 ad 2E , ita CD

206쪽

t fg Euelidis Elem. vel ad minorem, quam DF , vel ad ma- Αiorem. Sit primum ad minorem , nempe ad DG; εe quoniam est , ut AB ad BE, ita CD ad DG compositae magnitudines sui proportionales; ergo , εc divisae proportionales erunt; r est igitur, ut AE ad EEB, ita CG ad GD; ponitur autem , & vi AE ad EB, ita CF ad FD; quare,& ut CG ad GD, ita CF ad FD; a I at CG prima maior est, quam tertia CF; ergo,& seca- B Dda DG, quam quarta DF maior erilsoysed, & minor,quod fieri non potest; non igitur est , ut A B ad BE , ita CD ad DG; similiter ostendemus neque esse ad maiorem , quam DF; ad ipsam igitur DF sit necesse est. quare si divisae magnitudinos fini proportionales,&composita: Prvortionales Munt..d oportebat demostrare.

Theoremas I9. Propositio I9. Si fuerit , ut rata ad totam, ita ablata ad ablatam, di reliqua ad reliquam eratiust

tota ad Deam.

C It enim, ut tota AB ad totam CD , ita ablata AED ad ablatam CFi, dico, & reliquam EB ad reliqua FD ita esse, ut tota AB ad totam CDι quoniam enis est , ut tota AB ad totam CD, ita AE ad CF, di permutando erit,ut ΒΑ ad AE, ita DC ad Cri, cr) quoniam a

207쪽

LUὲν GIntus. rgo tuam comporitae magnitudines surit a Proportionales, & divisae proportio- onales erunt, a ut igitur BE ad EA, ita DF ad FC, rursusque permutando

ut BE ad DF, ita ΕΑ ad FC. Sed, ut IAE ad CF, ita posita est AB ad CDide direliqua igitur EB erit ad reliquauia. μFD , ut tota AB ad totam CD;

quare si fuerit, ut tota ad totam, ita ablata ad ablatam; dc reliqua ad reliquam erit, ut tota ad totam. Quod demonstrare oportebat. Et quoniam ostensum est, ut AB ad CD, ita esse EB ad FD, erit permuta . do, ut AB ad BE, ita CD ad DF ι ergo compositae magnitudines proportio- snales sunt ἱ ostensum autem est, ut

ΒΑ ad ΑΕ, ita DC ad CP , quod est per conversione

rationis.

hoe igitur perspicuum est si eo sta magnitudia a sint proportionales , ct per conversionem rationis propον- Factae autem sunt proportiones, Sc in aeque multipIicibus , & in analogiis; nam si prima secundaeaque multiplex sit, atque tertia quartae , erit, εc ut

prima ad secundam , ita tertia ad quartam; sed non iten.

208쪽

'' xso Euelidis Elam. Rem ex contrario convertitur. si enim sit, ut prima

ad secundam,ita tertia ad quartam, non omnino erit prima,quidem secundae aeque multiplex,tertia vero,

quartae , velut in sesquialteris , vel in sesquitertiis proportionibus, vel aliis ejusmodi . Quod demonstrare oportebat. Theorema aedi. Propositis Io. Sisnt ere1 maInitudines,di

Synt tres magnitudines A,B,C,& aliae gipsis numero aequales ME, F binae su- P ae, & isi eadem proportione , sitque ut A, ad B, ita D ad E dc ut B ad C, ita E adia F,ex aequali aut e maior si A,quod C Dico, dc D quam F maiorem esse,& si aequa - 1is. aequalem,& si minor, minorem. 49-niam enim A maior est, quam C, alia vexo utcumque Β, & mapae ad eandem ma- AB Giorem habet proportionem,quam minori r ) habebit A ad B maiorem proportio- nem, quam C ad B. sed, ut A ad F, ita Dad S, & converte do. ut C ad B; ita F ad E; ergo,& D ad E maiorem habet propor- ionφm , quam F ad Ε . Ad eandem vero ProPortionem habentium quae maiorem

328.huius. D

209쪽

Liber inintus. 91 habet proponionem , illa major est; a maior igi- ' , tur est D quam F. similiter ostendemus, & si A sit aequalis C, ot D ipsi F aequalem esie, de si minor, minorem. Si igitur tres magnitudines fuerint , sc aliae ipsis numero aequales , quae binae sumantur, ec in eadem propoItione , ex aequali autem prima maior fit, quam tetria, dc quarta quam sexta maior erit, εe . si aequalis, aequalia, di si minor , minor. sed ostendere oportebat. s ao. jus,

Theorema as. 4 positio a I. si sint tres magnitudines , ipsis numero aquatit, sua bina fumantur,ct in sadem proportisne Ist autem perrMrbara earum analogia s

is ex aquali prama maior sit quam tertia; is quaraa qua sexta maior erit,disi arua ir, aqualitiosi minis, minor. . SInt tres magnitudines proportionales A, B, C, dc aliae ipsi numero aequales D,E,F,binae supis de in ea de proportione. sit aut Vrturbataearu analogia,videlicet, ut A quidem ad ita E ad F; ut vero B ad C, ita D ad E ; dc ex aequali A major sit, quam C. Dico,dc D quam F maiorem esse; ει si aequalis,squalem,& si minos,mino . Quoniam enim major est A , quam C,alia

210쪽

- EuAἐdis Hem. tionem quam C ad B. rὰ sed ,ut A ad ',ita E ad R& eonvertendo,ut C ad B,ita E ad D. Quare, & E ad F majorem habebit proportionem , quam E ad D. Ad quam vero eadem maiorem proportionε habet ι illa minor est; a minor igitur est F , quam D ι aepropterea D quam F major erit. similiter ostendemus, & si A sit aequalis C, & D ipsi F esse aequalem;& si minor , minorem. Si igitur sint tres magnitudines, & aliae ipsis aequales numero, quae binae suma tur , & in eadem proportione; sit autem perturbata earum analogia, & ex aequali prima major sit quam tertia: & quarta, quam sexta maior erit; & si aequa, lis, aequalis si minor , minor; quod demonstrare

oportebat.

Theorema a I. Propositio quoteumque ma ηDtudines , ct alia ipsis numero aquales , qua binasu. mantur in eadem prinrtione s ct ex aquali in eadem proportione erunt.

sis numero aequales D,E,F binae sumptae in eadε proportione, sitque , ut A quidem ad B, ita D ad Ε , lut autem B ad C, ita E ad F. Dico, dc ex aequali in eadem proportione esse ut A ad C , ita D ad F, su- imantur enim ipsarum quidem A, D etque multiplices G,H; ipsarum vero B,Ealiae utcumque aeque multiplices X,L, de ipsarum C,F aliae utcumque aequ