Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

211쪽

Li ν xuintus. 233 multipliees Μ,N. Qeonia igi- tur est,ut A ad B, ita D ad E,desumptae sunt ipsarum A , D , aeque multiplices G,Η,iu ipsaxum; E,aliae uteumque sque multiplices Κ,Lι erit, ut G ad X,ita Η ad L. D) Eadem quoque ratione erit, ut K ad M, ita L ad N. Et eu sint tres magnitudines G, Κ, Μ , de aliae ipsis numero aequales Η,L,N, binae sumptae , & in eadem proportione, ex aequali si G superat

Μ, & H ipsam N superabit; des aequalis, qualis;& s minor, minor a suntque G,Η, ipsa

rum A, D aeque naultiplices,& Μ, N ipsarum C,F alis uteumque aeque multiplices. ut igitur A ad C,ita erit D ad F. Quire si sint quotaque ma gnitudines , dc aliae ipsis numero aequales, quae binae sumantur , in eadem proportio ne,oc ex aequali in eadem prΟ-

212쪽

Theorema 23. Propositio 23. Si sint tres magnitridine s. er assia ιp sis naemero aquales, qua bina fκmantur eadem proportiorae, sit autem perturbata earum a &gia , ct ex aquati in eadem iros ortiove erunta

Sint tres magnitudines A, B,

C , de aliae ip1:3 numero aequales binae sumptae in eadeproportione D, E, F; fit aute opisturbata earum analogia ., dc sit, ut A ad B , ita E ad F , bc ut B ad C, ita D ad L. Dico, ut A ad C, ita esse D ad F; sumantur ipsarum quidem A,B, D, aeque multipliees G, H, L, ipsa rurria vero G E, F , aliae utcumque aeque multiplices Κ, Μ, N ; &quoniam G , H aeque multiplices sant ipsarum Α , B , parissa utem eodem modo multiplicium eandem habent propor- itonoem; I erit, ut A ad B; ita G ad H ; si nili ratio ae, ut Ead F, ita Μ ad N; atque est, ut

A ad B, ita E ad F ; ut igitur Gad H , ita Μ ad N ; a ) rursus

quoniam est , ut B ad C , ita Dad

213쪽

GDrstu intur. 19Srid E , Ac sumptae sunt ipsa iam B, D , aeque multa ulices H, L , ipsa ruin vero C , E aliae utcumque aeque multiplices Κ, Μr erit , ut H ad K , ita L ad Μ; ca 3-ollem um autem est,& ut G ad H , ita esse Μ ad N. Q niam igitur ires magnitudines ps oportionales sunt G, H, Κ, oc aliae ipsis numero aequales L, M,N binae sumptae in eadem proport: orae, estque ipsarum terturbata analogia; ex ae Quali si G superat Κ , & Lipsana Nisperabat; Sc si equalis, aequalis, dc si minor. iiiiiiόr. sun autem G, Κ ipsarum A,C ς que multiplices, & L, N aeque multiplices ipsarum D, F , ut

igitur A ad C , ita eria D ad F ; s j quare si fuerint

tres magnitu uines,& aliae ipsa numero ς quales, qu b me sumantur in eadem φῶOportione,ct autem perturbata earum analogia; S e X aequali in eadem proportione erunt: quod demonstrare oportebat.

Theorema 24. Propositio 24. Si prima ad fecundam eandem habeat proportionem , quam tertia ad quartam 9 habeat autem . ct quinta ad secundam proportioneminandem quam sexta ad egnariam is compossita prima, ct quinta ad fecundam eandem proportionem habebit, quam te ria , ct sexta ad quartam.

P Rima enim AB,ad secundam C eandem habeat

propQrtione ui , quam tertia DE ad quartam F. habeat autem,& quinta BG ad secundam C proportionem eandem, quana sexta EII ad quartam F. dico,

214쪽

Euelidis Elim.& eompositam primam, & quintam AG ad secundam C eandem pro portionem habere, quam tertiam,&sextam DΗ ad quartam F: quoniam enim est, ut BG ad C , ita EH ad F rerit convertendo, ut C ad EG , ita Fad EΗ : εe quoniam, ut AB ad C, ita est DE ad P, ut autem C ad BG, ita F ad ΕΗt erit ex aequali, ut AB ad BG, ita DE ad EΗ : si quod eum divisae magnitudines sint proportionales brae compositae proportionales erunt: ut igitur AG ad G B , ita est DH ad ΗΕ: sed , & ut GF ad C, ita ΕΗ ad F r ergo ex aequali, ut AG ad C , ita erit DH ad F : s igitur prima ad seeundani

eandem habeat proportionem, quam tertia ad quartam : habeat autem , & quinta ad secundam proportionem eandem, quam sexta ad quartam:& cemp sita prima ,εe quinta ad seeundam eandem propo tionem habebit, quam tertia, dc sexta ad quartam. od ostendere oportebata

Theorema as. Propositio 2 s. Si quatuor magnitudines fueriς proportionales, maxima lorum , Ominima

duabus reliquis maiores erunt.

SInt quatuor magnitudines proportionales AMCD, EE : de fit ut AB ad CD, ita E ad F: sit

215쪽

autem maxima ipsarunt ΑΗ,&F minimar dico AB, F ipsis CD, E majores esse. Ponatur os enim ipsi quidem E aequalis AG , ipsi vero F aequalis CH. Qvniam igitur est, ut AB ad CD , ita E ad F estque AG aequalis E, de CH aequalis F rerit , ut AB ad DC, ita AG ad CH, dc quoniam ut tota AB ad totam CD, ita ablata AG ad ablatam CH r εe reliqua GBad reliquam HD erit , ut tot AB ad CD totam. maior autem est AB, quam CD r ergo, & GB, quam Homajor: quod eum AG sit aequalis ipsi E , de CH ipsi F r erunt Α- F ipsius CΗ, Ε aequales et si autem inaequalibus aequalia addantur,tota inaequalia erunt: go GB, H D inaequalibus existentibus, quipp. eun GF sit maior, si ipsi quidem GB addantur AG , F, ipsi vero BD addantur CH PE, fient AB, F ipsis Co , F neeessario maiores si igitur quatuor magni

tudines. fuerint proportionales, maxima ipsarum,&minima duabus reliquis maiores erunt. Quod de monstrare oportebat.

216쪽

x98 Euellaeis Elem. tionem habebit , crurais quarta ad ternarari

rem proportione, quam DE ad EF . Die o CB ad BAminorem proportionem habere , quam FE ad ED ; ut enim AB ad BC, ita sit DE ad aliam aliquam , ut ad G ; ergo DE ad G maiorem habebit proportionem , quam DE ad EF , et ae proptere G minor erit, quam EF; ponatur ipsi G aequalis EH. Moniam igitur est . ut AB ad BC , ita DE , ad SH erit convertendo, ut CB ad BA , ita ΗΕ ad ED . Sed HE ad ED minorem proportionem habet , qu a FE ad ED, ergo, & CB ad BA minorem habebit Proportionem, quam FE ad ED,quod demonstra I 3

oportebat.

similiter autem , di si AB ad n C.

strabimus convertendo CB ad sBA majorem habere proportionem,quam FE ad ED ' sed, ut AB ad BC , ita ut DB ad aliam , ut ad EG quae maior erit, quam EF; quare eonvertendo, ut CB ad BA, ita GE ad ED, at GE ad ED majorenuo habet proportionem , quam FE ad ED ; ergo CB ad BA maiorem proportione habebit ,quam FE ad Em

ntia

217쪽

Zἐθεν nem habeat, quam DE ad EF , & FE ad ED mai rem habere proportionem, quam CB ad BA Et si AB ad BC minorem habeat proportionem , quam DE au EF , & FE ad ED minorem proportionem habere, quam CB ad BA.

Theorema Proposito a T. Si prima adferundam ins-jorem proportionem babeat, quam tertia ad quartam, se permutando prima ad tertiam maIoram habebit proportionem, quam secunda ad quartam.

H Abe x AB ad BC maio- - rem proportione , quam A U HDE ad EF ; dico AB ad DE G D E F

majorem proportionem habe-- - -

re , quam BC ad EF ; ut et AB ad BC , ita alia quaedam GE sit ad ΕF; manis stum est eam maiorem esse , quam DE ; II quaret permutando, ut AB ad GE, ita est BC ad EFf ha- Det autem AB ad DE maiorem proportionem , quam

AB ad GE , hoe est quam BC ad EF; ergo AB ad DE majorem proportionem habebit, quam BC ad EF; quod oportebat demonstrare. Eadem ratione, & si AB ad . nBC minorem habeat propor μ

tionem, quam DE ad EF se- D Gquetur permutando AB ad DE minorem proportionem habere , quam BC ad EF erit enim , ut AB ad BC, ita alia quaedam GE ad N Φ EF,

218쪽

goo ,ueluis Elim. EF, quae minor sit, quὶm DE. sed All ad DE m1-Iem habet proportionem , quam AB ad GE , videli-eer quam BC ad EF: habemt igitur ΑΒ ad DE minorem proportionem, quam BC ad EF.

Theorema a 3. Propositio as Si prima ad seundam maiorem proportionem habeat, quam tertia ad quartam retiam componendo prima , ct fecunda, ad secundam majorem proportionem harebit, quam tertia, di quar-ra. ad quartam.

H Abeat AB ad BC majorem propor- 6 si

tionem,quam DE ad EF; dico AC ad CB maiore

habere proportionem , D ast Fquam DF ad FE,ut enim AB ad BC, ita sit alia quaedam GE ad EF ; erit GEm aior, qu m DE; a quoniam igitur est, ut AB ad BC, ita GE ad EF; erit componendo, ut AC ad CB, ita GF ad FE. a a sed GF ad FE maiorem proportionem habet , quam DF ad FE ergo, re AC ad CB maiorem habebit proportionem, quali DF ad FE ι quod demonstrate oportebat: ν si AB ad BC minorem proportionem habeat. quam DE ad EF ι habebit etiam componendo AC ad CB minorem proportione, quam DF ad FE;

219쪽

ι Mep aos rursus enim quoniam AB ad BC minorem propo habet, quam DE ad EF, si ut AB ad BC , ita sit alia quaedam ad PE, velut GB, erit ea minor

qu m DE , & ut AC ad CB, ita erit GF ad FE. Sed GF ad FE minorem habet proportionem , quam DF ad FE : ergo , & AC ad CB minorem proporti nem habebit, quam DF ad FE. 4 3.hujus. The rema 19. Propositio 29. si prima,ct secunda, ads

cundam majorem habeat proportionem, quom tertia ser quarta, ad quartam, er dividendo prιma adfecu dam malorem proporrimam hababit, suam tertia ad quartam.

jorem proportionem, H quam DF ad FK; dico AB ad T CAC, maiorem proportione , ε 3

habere , quam DE ad EF 3 ut enim DF ad FE, ua sit alia quaedam GC ad CB ι erit . utique GC minor,quiim AC : i a & dividendo Gaad BC, ut DE, ad EF, a at AB ad BC majorem propoptionem habet, quam sis ad BC; 3 ergo , NAB ad BC majorem habebit proportionem , quam DB ad EF. Ii veto AC ad CB minorem habeat proportionen aquam

220쪽

ad CB minorem proportionem habeat , quam DF ad FE ; habebit per con-Verfionem rationis CA ad ΑΒ maiorem proportiones quam FD ad DE; erit enim, ut AC ad CB , ita DF ad FG maiore, quὶmFEi reliqua vero manifesta erunt. Theorema 3 i. Propsitio 3 I. Si prima ad tertia' malo rem proportionem habeat, quam secunda ad quartam, etiam prima ad tertiam babebit masorem proportis. nem, quam prima,ct secunda ad tertiam, di quarta.

rem proportione , quam A. o CBC ad EF, dico , di AB ad O

habere, quam AC ad DF. Sit enim, ut AB ad DE, ita BC ad aliam ; erit igitur alminorem, quam EF, velut ad EG; tota igitur AC ad totam DG est , ut AB ad DE . f x sed AC ad - DG majorem proportionem habet, quam ad DP; a ergo AB ad DE maiorem habebit proportionem quam AC ad DF, & manifestum est totam AC ad totam DF minorem proportionem habere , quam AB ad DE, di si minor sit proportio partis, totius masor erit.