Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

221쪽

Melidis Elem.

Nisarama f. Propositio 3 a. si tota ad raram maiorem habear proportionem, quam ablata ad ablatam ro-liqua ad reliquam majorem proportionem habebit squam tota ad rotam.

HAbeat AC ad DF maiorern proportionem , quam AB A. 43 Cad DE . Dieo ,δc reliquam 3c d α E F

portionem habere, quam AC ad DF Sit enim , ut AC ad DF, ita AB ad DG, e go, εe reliqua EC ad reliquam GF est, ut AC ad DF . a sed BC ad EF maiorem proportione νhabet , quam ad FG i ergo, di BC ad EF maiorem h*bebit proportionem, quam AC ad DF. Si vero ACad DF minore proportionem habeat . quam AB ad DE , di reliq- EC ad reliquam EF minorem proportionem habebit , quam AC ad DF, quod eodem, qoo suprὶ, modo ostendetur.

Thoorema 33.Propositisi . msine tres magnἐtudines, alia ipsis numara aquales, habeatquo prima priorum ad seundam maiorem proportionem, quam primἀpo steriorum ad fecundam; sounda uero priorum ad temtiam majorem proportionem habeat, quam fecund/posteriorum ad fertiam et etiam ex agnata prima prio νum ad rarisam maiorem hia ebitproportunem, qu4 primo saturas m ac terriam. N

222쪽

HAbaal A ad B majorem propo

tionem, quam D ad Ε, de B ad Cmaiorem proportionem habeat, qua E ad F . Dico ex aequali A ad C m iorem habere proportionem, quam D ad F . Moniam enim A ad B maiorem proportionem habet , quam D ad E, habebit rirmutando A ad D majorem proportionem, quam B ad E, & eadem ratione B ad E majorem , quam C ad F ; ergo A ad Bmajorem habet proportionem,quam 'C ad F ι dc rursus permutando A ad C majorem habebit, quam D ad F. a Q -d oportebat demonstrare..d si prima priorum ad seeunis dam minorem habeat proportione, quam prima posteriorum ad secundam ; secunda vero priorum ad teditiam minorem proportione habeat, quam secunda posteriorum ad tertiam: similiter deis monstrabitur etiam ex aequali primam priorum ad tertiam minorem proportionem habere, quam Pris. mam posteriorum ad tertiam.

223쪽

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

UBER SEXTU S.

Ex traditione Federici

, Commandini

DIFFINITIONES.

a. C Imiles figurae rectilineae sunt, quae & singuIos

I angulos aequales habent, & circa aequales an. gulos latera proportionalia. a. Reciprocae figurae sunt, quando in uta aque figura antecedentes,& consequentes rationes fuerint. 3. Extrema, ac media ratione secari recta linea dicitur, quando sit, ut tota ad maJorem p tioneari ita major portio ad minorem. . Altitudo cuiusque figurae est linea perpendicu . Iaris, rae a vertice ad bas m ducitur. I. Proportio ex proportionibus componi dicitur. quando pFoportionum quantitates inter se murti.

224쪽

Theorema I. Propositio I. Triangula , ct parallelagraminma , Τι- eat dem habent altιtudinens , luter se sisnt , ut beses.

Synx trianguinta quidem ABC , AC D

parallelogramma vero EC , CF , quae ea n desti Ihabeat a Dii ruffinem , vi . delicet perpen

dicularem a puncto A ad Ε, D ductam. Dico, ut basis BC ad CD basim, ita esse triangulum ABC ad triangulum ACD , & parallelograminum EC ad CF parata elogrammum ; producatur enim BD eA utraq, parte ad puncta Η, L , di ipsi quidem BC basi aequales quotcumque ponantur BG, GH, ipsi vero hasi CD ponautur quotcumque aequales DK, KL, & AG, . AH , AK , AL jungantur. Quoniam igitur CB, BG. GH inter se aequales sunt, erunt, & triangula AHG, AGB , ABC inter se aequalia ; a ergo quot uplex est basis NC ipsius BC basis , totuplex est ΑΗC triangulum trianguli C. Eadem ratione quotu-

225쪽

& si minor, minus. Quatuor igitur magnitudinibus existentibus , videlicet duabus basibus BC , CD , di duobus triangulis ABC , Α CD , sumpta sunt aequo multiplieia, basis quidem BC , dc ABC trianguli , videlicet bass HC , & AHC triangulum: basis. vel ro CD trianguli ACD, alia uteumque aeque multiplicia, nempe CL basis, dc ALC triangulum , atque ostensum est si HC basis basim CL superat, &triangulum ΑΗC superare triangulum ALC ; & si aequalis, aequale; εc si minor, minus; a est igitur, ut BC basis ad basim CD, ita triangulum ABC ad AC D triangulum . Et quoniam trianguli ABC duplum est parallelogrammum EC , 3 & trianguli

ACD parallelogrammum FC duplum e partes au-- rem eodem modo multiplicium eandem inter se

proportionem habent, erit, uo ABC triangulum ad triangulum ACD , ita parallelogrammum EC ad CF parallelogrammum . Quoniam igitur ostensu

226쪽

Liber sextus ' IO'

est, ut basis BC ad CD basim a ita esse ABC trianguis Ium ad triangulum ACD ; ut autem ABC trianguluad triangulum ACD , ita parallelogrammum EC ad CF parallelogrammu erit, ut BC basis ad basim CD, ita parallelogrammum EC ad CF parallelogram mmc 3 inare triangula , dc parallelogramma , quae eandem habent altitudinem inter se sunt, ut bases; quod demonstrare oportebat. s) as. quinti.

Theorema a. Prapositio 2. Si uni laterum trianguli parallela quadam recta linea ducta fuerit , proportrona, liter sedabit ipsius telangiali latera; ct si mrianguis tera proportronalιtersecta fuerint , quas Τιο ner con iungit recta linea reliquo erranguli lateri parallela

erita

TR ianguli enim ABC uni laterum

BC parallela ducatur DE. Dico, ut BD ad DA . ita esse CE ad EA. Iun- l gantiir enim BE, CD ; triangulum iri. tur RDE triangulo CDE est aequale; in eadem enim sunt basi DE dc in ei saeui DL , BC parallesis; i 2 aliud autem triangulum est ADE r sed Equalia ad idem eandem habent proportione; sa)ergo,ut triangulum BD si ad triangulum ADE,ita est CD E triangulum ad triangulum ADE . ut autem

227쪽

aio Euclidis Elem. DMnam cu eandem altitudinem habeant, videlicet perpendiculare a pu-cto Ead AB ductam ,3nter se sunt, ut

bases; udi ob eandem causam , ut CDE tria guIum ad triansulum ADE, Di ita CE ad EA. Et ut igitur BD ad IDA , ita est CB ad E A . Sed trianguli ABC latera AB, AC proportionaliter secta sint , & ut BD ad DA, ita sit CEad EA: & iungantur DE. Dico DE ipsi BC parallela esse ι iisdem enim contauctis , quoniam est, ut BD ad DA , ita CE ad EA ; ut autem BD ad DA , ita est ADE triangulum ad triangulum ADE ; & ut C E ad EA, ita CDE triangulum ad triangulum ADE: erre, tu triangulum BDE ad triangulum ADE, ita C DE triangulum ad triangulum ADE. s od clinia, utrumque triangulorum BDE , CDE ad triangulum ADB eandem habeat proportionem; erit BDE triangulum triangulo CDE aequale; 6 dc sunt in ea. dem basi DE; aequalia autem triangula, dc in eadem basi eonstituta , etiam in ei id ςm sunt parallelisi, ergo D E ipsi BC parallela est . si igitur uni laterum. . trianguli parallela quaedam recta linea ducta fuerit. proportion liter secabit ipsius trianguli latera r de si trianguli latera proportionali ter secta fuerint, quae steticilies coniungit resta linca reliquo trianguli lariteri Parallela erit ἱ quod oportebat dimonstrare.

228쪽

Liber extus. III Theorema 3. Prol ostis 3.Sι trianguli angulus biseriam fecetur, secans autem angulum reἰta linea . secet et sabasim ; bases p irres eandem prsportionem habebunt squam reliqua triangula latera eqsi basis partes ean dem proportionem habeant, quam reliqua trianguli Intera, qua a vertice ad secta onem ducitur recta linea, trianguli angulum bifariam secabit.

Sit triangulum ABC,& secetur

angulus B ACbνfariam rectata . linea AD. si dico, ut BD ad DC. Da esse BA ad AC; ducatur enim

Prodii sta BA conveniat eum ipsa in E pucto. niam igitur in parallelas AD,EC incidit recta linea quaedam AC, erit ACE angulus angulo CAD aequalis. 39 Sed CAD angulus ponitur aequalis angulo BAD. Ergo, dc sΑD ipfi ACE angusto squalis erit. Rursus quoniam in parallelas AD, EC recla linea BAE incidit . exterior angulus B AD aequalis est interiori AEC; ostensus autem est, & angulus ACB angulo BAD aequalis; ergo, & ACE ipsi AEC aequalis erit: ae propterea latus AE aequale la.

teri AC. Et quonia uni laterum trianguli BCE, videlicet ipsi EC parallela ducta est AD; erit, ut BD ad DC,ita BA ad A Ei s s aequalis autem est AE ipii AC; est igitur, ut BD ad OC, ita ΒΑ ad Ac. 6 sed O a fit,

229쪽

etit Euelidi; Elam. sit, ut BD ad DC, ita ΒΑ ad AC, 6cADiungatur. Dico angulum BACbifariam sectum esse recta linea AD ; iisdem enim constructis quoniam est , ut BD ad DC , ita BA ad AC ; sed, dc ut BD ad DC , ita BAad AE , etenim uni laterum trianguli BCE , videlicet ipsi EC parallela ducta est AD, 7 erit,& ut BAad AC, ita ΒΑ ad AE ; ergo AC est aequalis AE, 8

ac propterea, & angulus Α EC angulo ECA aequatas. Sed angulus quidem AEC est aequalis angulo exteriori BAD; angulus vero ACB aequalis alterno CAP, 9 quare ,& BAD angulus ipsi CAD aequalis erit; angulus igitur BAC bifariam sectus est recta lines AD . Ergo si trianguli angulus bifariam secetur , secans autem angulum recta linea, etiam basim secet; . balis partes eandem proportionem habebunt, quam reliqua trianguli latera: & si basis partes eandem proportionem habeant, quam reliqua tri*nguli late ra , quae a vertice ad sectionem ducitur recta line trianguli angulum bifariam Reabit. d oporte at

monstrare.

Theorema 4. Propositio . Equiangulorum triangulor. latera, qua circum aquales angulos, proportionali sunt; ct homologa , si υε ε iusdem rationis sunt latera, aua actualibus angulis f. btenduntur.

sint etquiangula triangula ABc, DCE,quae angulum

230쪽

Liber Sextus . 2 3; uide AsC angulo DCE, . angulum vero ACB angu-- , lo DEC squalem habeaut, M praeterea angulum BACangulo CDE . Dico trian- , gulorum ABC , DC E pro- 1 portionalia esse latera,que sunt circa aequales angulos,& homologa ,su. eius. C Rile rationis latera esse, quae aequalibus angulis sub tenduntur . Ponatur enim BC in dilectum ipsi CE. Et quoniam anguli ABC , ACB duobus rectis minores sunt, s r aequalis autem est angulus ACB angu-IO DEC ; erunt ABC , DEC anguli duobus rectis minores; quare BA , ED productae inter se convenient; prodiseMitur, & con veniant in puncto F; & quoniam

angulus DCE est aequalis angulo ABC, erit FF ipsi DC parallela. a Rursus quoniam aequalis est angulus ACB angulo DEC, parallela erit AC ipsi FE a parallelogrammum igitur est FACD; ac proptere, FA quidem ipsi CD, AC vero ipsi FD est aequalis. Et quoniam uni laterum trianguli FBE,videlicet ipsi FE parallela ducta est Am erit, ut BA ad AF , it

BC ad CEι s aequalis autem est AF ipsi CD . ut igi ut BA ad CD;ita BC ad CE, s di permutando, ut AB ad BC, ita DC ad CE; rursus quoniam CD parallela est M, erit, it BC ad CE, ita FD ad DE. έ υ