장음표시 사용
121쪽
Sive Manuductio, qua ostenditur, quomodo beneficio paucorum illorum axiomatum quodlibet triangulum planum sotivi possit.
in triangulo quovis sex sunt: nempe tria latera dc tres a guli. Horum tribus quibuscunq; in triangulo plano datis, reliqua tria per praecedentia quatuor axiomata investigari pocsunt: ec quidem interdum variis modis: unico CasueXcepto: si nempe soli tres anguli dentur. Inde enim nullum latus investigari potest. tres anguis trianguti unius, tribus angulis Trianguli atierim aquales ese pessunt:
riiamsi latera omnino sint inaequalia. ει tres anguli Trianguloru- ABCo DBEsunt aquales: propter basis es DE, parasitain per 3Lρa.or tamen latera Trianguli ABC,multὸ μοι majora, quam lat ranianguli DBE. His igitur casus: seselin: a Trigonometria exeiapitur. In cateris omnibus, exquibusias Iribus datis quodlibet quartum invenire licet. χ'dper inductionem omnium casuum demonstrabia
122쪽
Triangulum planum est rectangulum, vel obliquangu- .
i. In Triangulo plano rectangulo: vel dantur omnes anguli Maro nimirum unicoacutorum P cum uno latere: & quarumtur reliqua duo latera. a. Vel dantur duoetatera cum unico angulo, nempe recto;& quaeruntur reliqui duo anguli; & latus tertium. Utrique casui satisfacit axioma primum In triangulo plano obsequangulo:
I. 0 Iies nimirum duo dantur. Nam terrius semper ea reliquorum duorum complementum ad duos rectos , per s. c. s. p. l. cum uno latere, dc quaeruntur reliqua duo latera. Σ. Vel dantur duo latera, cum angulo, uni datorum laterum opposito; & quaeritur angulus alteri datorum laterum oppositus; una cum latere tertio. 3. Vel dantur duo latera cum angulo ab ipsis comprehenso;& quaeruntur reliqui duo anguli, Cum tertiolatere. . Vel denique daptur omnia tria latexa, & quaeruntur a
guli. Prioribus duobus casibus plene satisfacit axioma secundu. In tertio casu duo anguli ignoti reperiuntur, per axioma tertium: & deinde latus tertium per axiomasecundum. In quarto casu primum fit distocatio trianguli plani o liquanguli, in duo rectangela: dimisso in latus maximum perpendiculo: per axioma quaris: m : deinde , in triangulis illis rectangulis quilibet anguli inveniuntur per oloma
primum.' sed'per solum primum axioma priores tres esse expediripstffunt si modo ab angulo aliquo igvoto in latus oppositum ignotum velim tra, Ni extra triangulum: in quo casulatuου ignotum anua satis pro- longandum in perpendiculum luaturior ita triangulumptinum O 3 obliquam
123쪽
extra si is intra triangulum. Pomo hac congitis: quod latin perpendicolam excipiens ignotam esse debeat, tantuin in exemplis secunt axiomatis locum habet, in exempla tertii axiemaris
VI r. Si detur talis proportis: Vt Bsinu retuli ad BC inum angulι BAC ta AB, latus ad BC, latus: per axioma secundum. i Eodem essectu dicere potes: per axioma primum: I. Vt i R. radim ad BD . num angulsi BAD: ita . latus, adFD laturi θ . II HBD radius,adB cantem anguli DBC, qui ea complemen. sum anguli BCD, ita BD,iatus ad BGAIus. a. Si detur talis proportio :n latus ad BC, latus, ita 8, in anguli CB, ad BC μῆ anguis BAC,perario-ma cundum. Eodem sectu dicere potu, per axioma primum. L. Vt BC, radius ad BD, sinu sanguli BCD, ita BC, Iatus ad
II. Vt BD, latus ad AB latus: ita BD radius, ad B stuantem an guti BD, cujus complementum HI angulus SAD. Ipse vero angulus ABD,compositus cum angulo DBC,fficit angulum ABC. 3. Si detur talis proportio: Visiumma lateram AB se AC, adde rentiam eorundem; ita tangens dimidi umma angulorum ABC ct ACB, ad
124쪽
L1 aER TERTIus. ACR ad tangentem di nentia insta, velFg amissium: per
Eodem effectu dicere potes, per axioma primum. L. Vt Adradius ad BD-um' anguli BA D , ita AB, latus ad BD laturi. II. HI ABradiari adAD, Huum anguli ABD, ita AB, tiri adAD,iaim: undes detrahas latus Azrsat latin DC. III. R DC iatus ad BD latus: ita DC, radetin ad BD, tangentem anguli DCB quo addito ad angulum BAC, orsumma detracta de duo--σrentis, relinquitur angulus ABC. ubia si aeterea velis μου B dices itidem per axioma primum: Vt radiuu DC, adstantem BC anguli DCB, ita Lim DC i adtitud BC.
125쪽
Pitisci Grunbergensis TRIGONO METRIAE
De dimensione Trianguorum Sphaericorum. Axiomata proportionum in Triangulis Sphaericis existentium praecipua,& ad omnem eorum solutionem abunde sufficientia sunt quatuor.
In viangulis Sphaericis rectangulisplurabiu, acutum ad bases eundem habentibine Sinus hypotenuarum N perpendiculorum omnes sunt inter sese proportionales. DECLARATIO. Sith=haeraproposita xMOD, ct smi in ea: horieon raro: polus horizentu D, circuli per polum horizoniis D transeuntes xDF or RDCsecanteshorizontem angulis ad OF o Cre Iisper sye.1.circulus horizonti obliquus t EA , ns verticalem KDF, angulis ad E, rectu: quippe qui per juu polos in se transeat: pers φ. 1.ac vici sim ab eo M' in duos quadrantes A1 Eer EA per sel. I. In istasthara,erin ista circuloru costitutionesint inter alia duo iisula Sphaerica rectangula AP θ.AEHorsint inutis,flotenus AE&AR
127쪽
Velirans sitis terminis intermeaeis,per at rin re, ad GB,ua Em ad Bo,dr vicissimn GB, adra, ita BO, ad m,o contra-Vt NE, ad OB, ita EL a BG. DEMONsTRA Tio. Meiamsinin GB or BO, Mne Z-κHUGO,utfiat inde Diangulum GBO, manifestam ea Triangula GBOctIEN, fore aquis gula. Primum enim, quia recta EN O BO, ρerpem diculariter cadunt insubjectu lanum FC , per hesio, or pers c.Iaδ.2.Ideo cum omnibus lineis in eo plano ductis constituunt angulos reritos : adeos anguli ENI er BOG,sunt recti. Deinde quia recta IE se sunt invicem parasti per 3Sp. r. quine ad eandem rectam IA,no malespers c. I. a. tuetum autemplanum AO, ubis eodem angulo ad planum traco,eu inel natum: ideo etiam parasiis in eo ductae IE GB,ad parullitis INO GO, in plano EA Uisubjectas eodem angm unt inclinata: ais adeo anguis Emor BGO ,sunt aquales. ειρσωU3uens in Triangulis IEN OrsBO, Iam duosvnt anguli duobus aquales. Ergo ratam tertius tertio in aqualis: per ηρ. p. I. ac proinde Triangula Im ct GBO .sunt aquiangula. χου untaequianguis, etiam titera habent circa aquales angulos proportionalia,ster σ.ρ. r. aisos Gnt: Vt IE ad EN, isa GR, ad Bo, ore. oddemonstram
dum erat. ILLusTRATIO per numer S.
Sint ergo datae hypotenus ae AE, ' o. gr.&AB, 42. gr. una cum perpendiculo EF,48.gr. 2I.m. Quaeratur autem perpe diculum BC. -
128쪽
LIBI R. QUARTus. II sSint vicissim datae utraeque hypotenuis una cum suis sinu Bus, iit ante. Sed ex perpendiculis sit jam datum perpendiculum BC,3o. gr. 2. m.una cum sinu suo BO, Foo Io38. Quaeratur autem perpendiculum EF. Dico At GRσυυσσ.ad BO,soosoyx ita IRIeoostoeoAdEMI stra. tqui sinui spra.in tabulis restondet arcsu My. H. m.
Ergo arcus EF, eis δ. P. as. m.
Iuniangulis Sphaericis Rectanguluptari , acutum ad bases eundem habenti r
Sinus basium & tangentes perpendiculorum omnes sunt inter sese proportionales. DECLARATIO. In priore diagrammate: o in se em Triangulis Eri er i BC, is quibus in basium or sunt Vor M. Tangentes vero perpendiculorum EF es BC, sunt LF o PC. Diso: M illis basium se tangentes serpendiculorum nempe sinus ν--, o tangentes LF es PC, omnes esse inter sise prsportionales : adeoque datis quibusiunque tribuου, elisi posse quartum. rim: Dico ess D IR ad M, ita HCad CP, or visis
129쪽
ILLu STRATIO per numeros: Sint ergo datae bases ARso. gr. AC, 3 o. gr. 3I'. 46'. una cum perpendiculo EF, 8. 2 s. Quaeratur autem perpendiculum BC- F, sto. gns'. ' uoeoooo V.
130쪽
118 TRIGON METRIAE qui ringentis Iraoa in tabulis resonistar ου Io. gr. a. m. Ergo ρerpendiculum FG eis ogr.a.m. Sint vicissim datae uir rq; bases una cum suis sinibus, ut ante. Sed ex perpendiculis sit jam datum perpendiculum BC, 3 o. gr. 2. una cum tangente sua CP, I 781262. Quaeratur autem perpendiculum EF. Dico: VINC, staρDδ. ad c P, Synaoa, ita IF, rooooooo. ad M.
Ergo perpendiculum EF,in δ gr. as.m. Sint contra data utraque perpendicula EF &BC.& eorum tangentes LF&PC , una cum basi majore AF& Qus si nulF. Quaeratur autem basis minor AC, sive potius ejus sinus I C.
ΑppENDix. Ex his duobus axiomatibus, o eorum declarationibus ae demonstrationibus intesilet ingeniosus L Gm curamibin basium ad usperpendiculorum,se contra,argumentari non liceat cum ramen a snibus Θpotenuserum ad usperpendirulorum,or contra. argumentari liceat: quia nimirum Q basium cst perpendiculorum in eadem Trianguia rectilinea non concurrunt. .inodetiam doctissimos alloqui mathematicos interdum non animadvertisse videas.
In Triangulis Sphaericis universis: Sinus laterum , sinibus oppositoru angulorum sunt directe proportionales. DECLARATIO. Primum esti Triangulum Sphaericum ABC, rectangulum ad C. Deinde continuatis latcribus AB AVO CB, usis