장음표시 사용
151쪽
. LIBER QPAR Tu S. 139Similiter si detur tibi solvendum Triangulum C ED, rem angulum ad D, obtusangulum ad Ε, & acu rangulum ad C, . pro eo iselvas Triangulum EDF , Triangulo ECD, ex angulo C, oppositum. Si vero solvendum tibi deturTriangulum sphaericum rectangulum, cum duobus acutis: aut cum lateribus omnibus sigillatim quadrante minoribus: in illo nihil quaeri poterit: quod non beneficio paucissimorum nostrorum axiomatum: ex tribus quibuscunque datis unica, vel multiplicatione, vel divisione: aut interdum, etiam sne omni,tam multiplicatione, quam divisione, per lam additionem, & subtractionem. reperias: modo hoc observes: ut si in ipso Triangulo proposito idonea ad solutionem proportio inter data α quaesita non appareat, mox singulatus latera, uulue ad quadrantes continues : & totam figuram quadrante claudas. Id enim si feceris, in complementis datorum &quaesitorum laterum & angulorum certissime reperies proportionem aliquam tuo imstituto inservientem.
Verbi gratia. Din Triangulo RG ex datu titere dranguluBAC, CB, ε eratur Atin C, quia nuta in his datis dr quaesitis proportioσπεπς, Ἀμμου mentio factast in axiomatibur proportionum : ideo titera sis in usique ad quadrantes continues, o totam figuram quadrante DF, Hudas hu
a continuation acta H. Triangulis BDEdr GDF, cpparetί sis proportio: de quali actam fuit axiomate semodo. Peri digitur axioma sectan dese
152쪽
roo TRIGONO METRIAE V lambasis DE, ad iangentem perpendiculi EB, ita in quadrantis DF sis radim ad tangentem re, euisu complementum est arcuaei C,quasitu
similiter,n in Triangulo i BC, darisias 'stmnes anguli: quaeratur autem perpendiculum BC, quia in his datu'quastisnusia apparet
proportis: secundum nostra quidem axis ista: ideo Triangulum i BC, continues hoc modo :
a factoreii in Triangulo DEB ut DBE ad DE , ita DEB ad DB,
per axioma tertium : quo DB Noto. . nosum in etiam se complemen,
Quod si primacontinuationon suffecerit.' etiam secun dam adhibeas licet: ut factum vides in hoc exempIo: ubi ad quaerendam ex datis tribus angulis hypotenusiam prima continuatio non suilecit. . Secundam igitur ascivimus: hoc est:
153쪽
LIBER QuARTus. I IContinuavimus euam Triangulum BDE, ut pridem comtinuaveramus Triangulum
esse, Vt HI ', tangens ad Id, radituita DE, tangens ad EB Fnum,per axiomaseeundum, cuius BE, arcus complementum eis potesse AR,
D sita. . DE O B L I MA N ε u L I S. Atq; haec de rectangulis. De obliquangulis ab initio idem fere monendus es,quod de rectangaeis: nempe, si solvendum tibi detur Triangulum obliquangulum, laterum sigillatim quadrantibus majorum: pro eo solvas Triangulum ipsi odi epolitum: quod laterum sit fgillatim quadiaminus ' Quam oppositionem didicisti lib.I. prop. 6 o. Nam axiom
ta proportionum nostra: etsi quodammodo generalia esse possint: praecipue tamen accommodata sunt ad ea Triangula, quorum latera singula, vel certe duo principalia quae nimirum angulum datum, aut quaesitumincludunt sigillatim sint quadrantibus minora.
Horum igitur quaedam absq; reductione ad re stangula solvi possunt: quaedam abs reductionead tectangula solvi non
Absque reductione ad rectangula soIvi possunt,quae tertio,. ves quarto proportionum axiomati conveniunt. Terrio proportionum axiomari conveniunt,in quibus, vel ex datis duos bus.
154쪽
x E TRIGON MET MAEbus lateribus cum angulo uni eorum opposito, angulus alteri eorum oppositus : vel contra ex datis duobus angulis, cum latere uni eorum opposito, latus alteri eorum oppositum inquiritur. Ut in istis : In quibin eis: ut Gm, ad GH, M MI ad M. G ut G ad-L, ira se, ad xLM. Quarto proportionum axiomati conveniunt , quaedam per se, quaedam per accidens. Quarto proportionum axiomati per se conveniunt: in quibus,vel ex datis duobus lateribus sigillatim quadrante minoribus, una cum angulo ab ipsis comprehenso, latus tertium : vel contra ex datis omnibus tribus lateribus, angulus
quispiam a duobus lateribus sigislatim quadrante minoribus, comprehensus, inquiritur. Ut in istis: In
155쪽
LI aER QUARTus. 143 In quorum posterioribus duobus: quae latus GH & KL, habent quadrante majus : si talis instituatur inquisitio, qu
156쪽
iet4 TRIGONO METR1AE Quia sic duo latera angulum datum, vel quaesitum incliI- . dentia non sunt utraque sigillatim quadrantibus minora i ut axioma quartum requirit. . Pro Triangulo GHI vel ΚLM, solvas Triangulum H NO vel LPQ,in quo utrovis,duo latera angulum datum, vel quaesitum includentia.juxta praeceptum '. quarti axiomatis, sigillatim sunt quadrantibus minora.
Quod si latus GH vel ΚL, sit quadrans: non necesse est, ut solvas Triangillum obliquangulum GHi vel LLM. Sed soLVere poteris rectangulum, quod tali obliquangulo semper .alacet: ut exsequentibus tribus schematibus apparet. In quibus si latus minus G I vel ΚM continues usq; ad quai drantem GR vel ΚS, in Triangulis GHR &ΚLS, anguli ad FI & R, item ad L&S, erunt recti, per 68. p. I. & latus HR, vel LS, erit mensura anguli ad G vel Κ, per s8. p. I. adeoque' existet inde rectangulum IHR,vel MLS,trium datorum; quo rectangulo soluto, etiam obliquangulum illi adjacens quippo quod complementa rectanguli contineat solutum erit.
157쪽
L1BER. QuAR Tu S. IAI His observatis quartum axioma sussiciet: neq; opus eriti ut ad singulos obliquangulorum casus singula axiomata fabrucemus et quod alioqui fieri poterat.
-&-tenendum est: Si data quidem ob-
' liquanguli propositi ad quartum axioma congruant: quaesitum vero non item: Ut in istis. In quorum primo quaeritur angulus ad B vel C, in altero, angulus ad G vel H, principio latus BC vel GH,quaerendum esse per axioma quartum: deinde ex illo invento, anguli quia cunq; reliqui per tertium. Atque haec de illis obliquangulis, quae quarto proportionum axiomati per se conveniunt.' Quarto proportionum axiomati per accidens conventiunt : in quibus, vel ex datis tribus angulis latus aliquod, vel ex datis duobus angulis cum latere ipsis interjacente tertius angulusjinquiritur, ut in istis.
158쪽
Quae propterea dico per accidens convenire quarto mi mali: quia non aliter ipsit Conveniunt: quam quatenus latera in angulos, & contra anguli in latera permutantur: quod qua conditione fieri possit, ostendimus lib. i. pro p. 6I. quam propositionem qui penitus intollexerit.& animo probe infixerit; nihil hic praeterea desiderabit. in tyronum tamen gratiam, qui praecipua praeceptionum momenta non semper observant, id hic repeto & inculcor in hac permutatione angui Ium & laterum, pro latere maximo & angulo ipsi opposito semper complementa ad semicirculum esse sumenda pro pter causas ad dictam prop. si . libri t. ostensas. Exempligratia. Si in Triangulo DEF, angulos in latera se contra permutaxeris, ni angulum inde tau existet, quale eo GHI. Vnde parer adcastutam assumendum esse non simum versumtiteris DE, dco lemanti adsimia ranulum: ruod complementum res 'ondet obtuso HIG. Caeterum,quod de illis obliquangulis monuimus, quae per se quarto axiomati conveniunt: nem pe, si data quidem axiomati quarto conveniant, quaesitum vero non item, id etiam
hic locum habet. perbi gratia. Si in obliquanguis BC, ex
datis an His ad B,una cum istere AB,im
quirenis i latus AC vel BC,principio qua soportet angulum ACB,per axioma quartum: seruo denis Lius AC velBC,per axioma tertia.
Restant illa obliquangula; quae neq; tertio, neq; quarto
159쪽
LIBER QuARTus. I Z proportionum aXiomati conveniunt. In quibus nempe,vel ex datis duobus lateribus m angulo uni eorum opposito, angulus neutri eorum oppositus, aut latus angulo ignoto opposi- tum: vel contra, ex datis duobus angulis. latere uni eorum opposito, latus neutri eorum oppositum, aut angulus lateri Lgnoto oppositus inquiritur. Haec solvi non possunt, nisi ad rectangula reducantur. Ad rectangula autem reducuntur, per dimissionem perpendiculi. Quod perpendiculum, vel extra, vel intra Triangulum cadit. Extra Ttiangulum cadit: si dimittatur ab angulo acuto. Intra Triangulum cadit, si dimittatur ab angulo obtuso. Utcunq; autem cadat: semperangu do noto opponitur:& peraxioma tertiu reperitur, hoc modo.
160쪽
entur: hoc modo. Qua continuatione ficta: Si ex
Sin ex iisdem datis quaeram angulum ABC,dico: per axioma secundum.