장음표시 사용
171쪽
Wrennus olim, Hugenius, & wallisius invenerunt simul, ut in
hae ipse lege Naturae exponenda Newtonus etiam memorat Principiorum Lib. I. Ostendam autem, quo pacto generales formularinde deducantur tam pro directis collisionibus corporum mollium, quam pro perfecte, vel pro imperfecte elasticorum. Corpora mollia dicuntur ea, quae reus uni mutationi figurae, seu compressioni, sed compressa nullam exercent vim ad figuram recuperandam, ut est cera, vel sebum. Corpora elastica, quae figuram amissam recuperare nituntur; & si vis ad recuperandam sit aequalis vi ad non amittendam, dicuntur perfecte elastica, quae quidem, ut & Perfecte mollia, nulla, ut arbitror, sunt in natura; si autem imperfeMelastica sunt, vis, quae in amittenda, ad vim, quae in recuperanda figura eXercetur, datam aliquam rationem habet. Addi solet &rertium corporum genus, quae dura dicunt, quae nimirum figuram prorsus non murent; sed ea itidem in natura nusquam sunt juxta communem sententiam, & multo magis nulla usquam sitnt in hac mea Theoria. Adhuc qui ipse velit agnostere, is mollia consideret, quae minus, ac minus comprimantur, donec compressio eva
dat nulla; & ita, quae de mollibus dicentur, aptari poterunt duris multo meliore jure, quam alii elasticorum Ieges ad ipsa transferant,
considerando elasticitatem infinitam ita, ut figura nec muretur, ne se restituat; nam si figura non mutetur, adhuc concipi poterit, impenetrabilitatis vi amissus motus, ut amitteretur in compressione;
sed ad lapplendam vim, quae exeritur ab elasticis in recuperanda figura, non est, quod concipi possit, ubi figura recuperari non debet. Porro unde corpora molitisint, vel elastica, hic non quaero; id pertinet ad tertiam partem, quanquam id ipsi m 'Π'vi sisperius Num. I98, sed leges, quae in eoriim collisonibus observari debent, & ex superiore theoremate fluunt, expono. Ut autem simplicior evadat res, considerabo globos, atque hos ipsos cirumquaque circa centrum, in eadem saltem ab ipso centro distantia, homogeneos, qui primo quidem concurrant dirocte; nam deinde ad obliquas etiam collisiones faciemus gradum.
CCLXVI. Porro ubi globus in globum a :r, & ambo paribus
a centro distantiis homogenei sinu, facit' cυnstar Uim mutuam, qtiae est sumina omnium virium, qua singula asterius puncta agunt in singula puncta alterius, habituram semper directionem, quae jungit centra; nam in ea re a jacent centra ipsbrum ploborum, quae in eo homogeneitatis casu facile constat, esse centra itidem graVira
172쪽
tis globorum ipλrum; & in eadem jacet centrum commune gravitatis utriusque, ad quod viribus illis mutuis, quas alter globus eXercet in alterum, debent ad se invicem accedere, vel a se invicem
recedere; unde fit, ut motus, quos acquirunt globorum centra ex
aditone murila alterius in alterum, debeant esse in diretaone, quae jungit centra. Id autem generaliter extendi potest etiam ad casium, in quo concipiatur massa immensa terminata stiperficie plana, sive quoddam immensium planum agere in globum finitum, vel in Pun-eium unicum, ac Vice verse: nam alterius globi radio in infinitum aucto superficies in planum desinit; & radio alterius in infinitum imminuto, globus abit in punctum. Quin etiam si massa quaevis teres, sive circa aXem quemdam rotunda, ct in quovis plano perpendiculari axi homogenea, vel etiam circulus simplex, agat, vel concipiatur agere in globum, vel Punctum in ipso me constitutum. CLX ἹI. Priccurrat jam globus mollis cum Velocitate minore, quem alius itidem mollis consequatur cum majore ita, ut centra ferantur in eadem recta, quae illa conjungit, & hic demum incurrat in illum, quae dicitur collisio directa. Is incursus mihi quidem non fiet per immediatum contactum, sed antequam aci contactum deveniant, vi mutua repulsiVa comprimentur partes posteriores praecedentis, S anteriores sequentis, quae compressio fiet semper maior, donec ad aequales celeritates dcvenerint; tum enim accessus ulterior desinet, adeoque &ulter or compressio; & quoniam corpora sunt mollia, nullam aliam exercent vim mutuam post ejus modi compressionem, sed cum aequali illa velocitate pergent moveri pono. Haec aequalitta vc citatis, ad quam reducuntur ii duo duo globi, una cum aequalitate actionis, & reactionis aequalium, rem totam perficient. Sit enim massa, sive quantitas materiae , glo-hi praecurrentis insequentis celeritas illius me, huius C: quantitas motus illius ante collisoncm erit eq, hujus CO; nam celeritas ducta per numerum punctoriim eXhil et summam mo-ruum punctorum omnium, sive quantitatem motus; unde etiam fit, ut qυantitas motus Per massam divisi exhibeat celeri a tem Obactionem & reactionem aequales, haec quantitas erit eadem etiam post collisionem, post qina in motus totuS utriusque massic, erit CO est. Quoniam alitem progrediuntur cum aequali celeritate, celeritas illa habebitin , si quantitas motus diruidatur per totam quAnritatem materiae, quae idcirco erit C Q Φ Nimirum ad habendam velocitarem communem post collisionem, oportebit ducere
173쪽
singulas massas in suas celeritates, & productorum sumi m dividere per summam massarum. CCLXVIII. Si alter globus ρ quiescat, sitis erit illius celeritatem e considerate o ; & si moveatur motu contrario motui prioris globi, satis erit illi valorem negativum tribuere; ut adeo& hic, & in sequentibus formula inventa pro illo primo casu globorum in eandem Progredientium plagam, omnes casus contineat. In eo autem si libeat invenire celeritatem amissam a globo G, &celeritatem acquisitam a sobo sitis erit reducere singulas formulas C - C Q Φ ς q, & CQ-- e ad eundem denominatorem,
modi theorema: ut summa qua arum ad massam alteram, ita disrensia celeritatum ad ceterietatem ab altera acquisiam, quae in eo casu accelerabit motum pra currentis, S retardabit motum consequentis.
CCLXIX. Ex hisce , quae pertinent ad corpora mollia, facile est progredi ad persecte elastica. In iis post compressionem maximam, & mutationem figurae inductam ab ipse, quae habetur, ubi ad aequales Velocitates est ventum, agent adhuc in se inviccmhini globi, donec deveniant ad figuram priorem, & haec actio duplicabit effectum priorem. Ubi ad sphetoricam figurini deventum fuerit, quod fit recessu mutuo oppositarum seperficieriim, quae in compressione ad se invicem accesserant, Pergent utique a se invicem recedere aliquanto magis eaedem siuperficies, & finira producetur , sed opposita jam vi mutua inter partes ejusdem globi incipient retrahi, & productio perget fieri, sed usque lentius, donec ad maximam quamdam Productionem, deventum fuerit, quae deinde incipiet minui, & globus ad sphaericam figuram accedet iterum , ac iterum comprimetur motu quodam Ostillatorio, ac partium trepidatione hinc, & inde a figura siphaerica, uti supra vidimus etiam duo puncta circa distantiam limitis cohaesionis oscillare hine, & inde; sed id ad collisionem, & moriis centrorum gravitatis nillil pertinebit, quorum stutus a viribus mutuis nihil crurbatur; actio autem unius globi in alterum ita im cellabit post regressum ad figuram sphaericam, post quem silperficies sit rius postico, & alte-
rius antica in centra jam retractae, ulteriore centrorum diiuessu a se invicem incipient ita distare, ut viros in se invicem non everarisi
quarum effectus sentiri possit; & hypothesis perfecte elasticorum
174쪽
est, ut tantus sit mutuae actionis effectus in recuperanda figura, quantus fuit in amittenda. CCLXX. Duplicato igitur effectu globus O amittet celeritatem a Cq a sq, & globus e acquiret celeritatem a CO ac Q.
& motus fient in eandem plagam, vel globus alter quiescet, vel fient in plagas oppositas, prout determinatis valoribus Q, C, e formulae valor evaserit Positivus, nullus, vel negativus. CCLXXI. Quodsi elasticitas fuerit imperfecta, & vis in amittenda ad vim in recuperanda figura fuerit in aliqua ratione data, erit & efieetus prioris ad esseelum posterioris itidem in ratione data, nimirum in ratione subduplicata prioris; nam ubi per idem statium agunt vires, & velocitaS oritur, vel extinguitur rota, ut hic respeliiva velocitas extinguitur in compressione, oritur in restitutione figurae, quadrata velocitatum sunt ut areae, quas describlint ordinatae viribus proportionales iuxta Num. IIS, & hinc areae erunt in ratione virium, D, viribus constantibus, sint constantes &ordinatae, cum inde fiat, ut scalae celeritatum ab iis descriptae sint rectangula. Sit igitur rationis constantis illarum virium ratio iub-d licata su ad n , & em essectus in amitrenda figura ad summam effectuum in tota collisone, ut m ad m F n, quae ratio si ponatur esse I ad r, ut sit r satis erit, effectus illos inventos
pro globis mollibus, sive celeritatem ab altero amissam, ab altero acquisitam, non duplicare, ut in perfecte elasticis, sed multiplicare per r, ut habeantur velocitates acquisitas in partes contrarias, &componendae cum velocitatibus prioribus. Erit nimirum illa, quae pertinet ad globum Q αα r Cq - r c qi & quae pertinet ad globum f
duciintur au eosdem denominatores; ac tum eX hisce formulis, tum e superioribus, quam plurima elegantissima theoremata deducuntur, quae quidem passim inveniuntur in elementaribus libris, Sego ipse aliis
175쪽
aliquanto uberius persecutus sum in Supplementis Stayanis ad Lib a I a; sed hic satis est, fundamenta ipsa, & primarias formulas derivasse ex eadem Theoria, & ex proprietatibus centri gravitatis, ac motuum oppositorum aequalium, deductis ex Theoria eadem; nec nisi binos, vel ternos evolvam casus usiti futuros infra, antequam ad obliquam collisionem, ac reflexionem motuum gradum faciam. CCLXXII. Si globus perfecte elasticus incurrat in globum
itidem quiescentem, erit emo, adeoque velocitas contraria prioripertinens ad incurrentem, quae erata aeq, erit 3Cqs velocitas acquisita a quiescente, quae erat a C Q - as Q, erit a C Q; unis
de habebitur hoc theorema: ut fimma massarum ad duplam massam incurrentis , vel quies entis, tia celeritas in 'emis ad cekritatem amissam a primo, vel acquistam a secundo; & si masi ' aequales fuerint, fit ea ratio aequalitatis; ac proinde globus incurrens totam suam velocitatem amittit, acquirendo nimirum aequalem contrariam, a quam elidatur, & globus quieicens acquirit velocitatem, quam ante habuerat globus incurrens. iCCLXIII. Si globus imper iste elasticus incurrat in globum quiescentem immensiam, & qui habeariir pro ab λlute infinito, cujus idcirco superficies habetur Pro plana, in formula velocitatis acquisitae a globo quiestente r CO - ν φ Q, cum evanescat Q respectu
y ab late infiniti, & proinde Q evadat o, tota formula evane
scit, adeoque ipse haberi potest pro plano immobili. In formula
vero velocitatis, quam in partem oppositam acquiret globus incuo rens, rCq 'req, evadit e o, & O evanescit itidem respectu in.
cujus prima pars et R C sive C, est illa, quae muttitur, sive acquiritur
in partem oppositam in comprimenda figura, A et M C est illa,
quae acquiritur in recuperanda, ubi si sit n m o quod accidit nimi-riam in perfecte mollibus, habetur sola pars prima; s- quod accidit in perfecte elasticis, est I κ C C, secunda pars sequalis
176쪽
primae; S in reliquis casibus est ut ni ad n , ita illa pars prima C, 1;ve Praecedens velocitas, quae per primam partem acquisitam eliditur, ad partem secundam, quae remanet in Plagam oppositam. Quamobrem habetur ejusmodi theoremat si inciρrrat ad perpendiculum in Mamm immobile globus perfecte mollis , acquiris velocitatem contrariam aqualem sua priori, er quiescit; fl perfecte elasticus, aequiris duplam sua, nimmam aequalem in con resone , qua motus omnis ML mr, N aqualem m remperanda figura, cum qua resilit; A fuerit -- perfecte elasticita in ratione m ad n , in ista eadem ratione erit υelocitas mi i Da eontraria aequistia, dum figura mutatur, quae priorem ipsam υelocitatem extinguis, ad velocitatem, quam acquirit, dum f-gina resiluitur, ae eum qua ressit. CCLXXIV. Est & aliud theorema aliquanto operosus, sed generale, & elegans, ab Hugenio inventum pro perfecte elasticis, quod nimirum summa quadratorum velocitatis duictorum in massas post congressum remaneat eadem, quae fuerat ante ipsiim. Nam Velocitates post congressum sunt C - a q C-eὶ dce Φ a Q
terminorum binarii, remanente sbia illa OCCΦ qee, summa quadratorum velocitatum praecedentium ducta in massas. hareaequalitas nec habetur in mollibus, nec in imperfecte elasticis. . CCLXXV. Veniendo jam ad congressus obliquos, deveniant da- to tempore bini globi A, C in Fig. a per rectas quascunque AB, CD, quae allorum velocirates metiantur, in B, & D ad Physicum contactunt, in quo jam sensibilem effectum edunt vires mutuae. Communi methodo Nollisionis effectus sic definitur. Junoes e rum centris per rectam BD, ducantur ad eam productamri qua
177쪽
AF, AE,'sire BE, BF, hic vero CH, sive GD, D H.
Primus utrobique manet illaesus; secundus FB, & H D collisionem facit direetam. Inveniantur per legem collisionis directae velocitates DI, DK, quae juxta ejusmodi leges superius expositas haberentur poli collisionem diversae pro diversis corporum speciebus , & componantar cum velocitatibus expositis per rectas B L, Dia μjacentes in directum cum EB, GD, & illis aequales. His peractis e priment BM, DP celeritates, ac directiones motuum post
collisionem. CCLXXVII. Hoc pacto consideratur resblutio motuum, ut verae quaedam rcssolutio in duos, quorum alter illaesus perseveret, alter mutationem pariatur, ac in casti, quem Figura exprimit, extinguatur penitus es tum iterum alius prodiicatur. At sine ulla veraresblutione ros vere accidit hoc pacto. Muttia vis, quae agit in globos B, D, dat illis toto collisionis tempore Velocitates contrarias BN, DS aequales in castu, quem Figura exprimit, binis illis, quarum altera vulgo conciPitur ut elisa, altera ut renascens. Eae
compositae cum BO, DR jacentibus in directum cum AB, CD, S aequalibus iis ipsis, adeoque exprimentibus effectus integros praecedentium Velocitatum, exhibent illas ipsas velocitates ΒΜ, DP. Facile enim patet, fore Lo aequalem A E, sive BF, adeoque Mosequalem BN, S BNΜO fore Parallelogrammum; ac eadem de. monstratione est itidem parallelo; ammum DR PS. Quamobrem nulla ibi est vera re lutio, sed sola compositio motuum, persim
rante nimirum velocitate priore per Vim inertiae, S. ea composita cum noVa Uelocitate, quam generant Vires, quae agunt in collisione.
CCLXXVII. Idem mihi accidit, ubi oblique globus incurrit in planum, sive consideretur motus, qui haberi debet deinde, sue percussionis obliquae energia resipesu perpendicularis. Deveniat in Fig. 43 globus A directione obliqua AB ad planum CD consi- Fig. 43. deratum ut immobile, quod contingat physice in N, & coneip a- tur planum G I parallelum priori dunt in per centrum B, ad quod appellet ipsum centrum, & a quo resiliet, si resilit. Dufla AF perpendiculari ad GI, & completo parallelogrammo AFBE, incommuni methodo resolvitur velocitas AB in duas AF, AE, sue FB, EB; primam dicunt manere illaesiam; secundam destriti a resistentia plani; tum persevorare illam solam per BI 4equalem ipsi FB, si corpus incurrens sit perfecte molle, vel comnoni cum alia in perfecte elasticis BE, aequali priori EB; in imperfecte elassicis T a Be,
178쪽
Be, quae ad priorem AB habeat rationem datam, & pircurrere in .
primo casu BΙ, in secundo ΒΜ, in tertio B m. At in mea Theoria globus a viribus in illa minima distantia ahentibus, quae ibi sunt repulsivae acquirit secundum circinonem NE perpendicularem Plano repellenti CD in primo casu velocitatem BE; aequalem Illi, quam acquireret, si cum velocitate EB perpendiculariter advenisset
rex EB; in secundo BL ejus duplam; in tertio BP, quae ad ipsam
abeat illam rationem datam ν ad sive m Φ n ad & haberet
deinde velocitatem compositam eX Velocitate priore manente , ac
expressa per BO aequalem A B, & positam ipsi in dire Him, ac ex altera B E, BL , ΒΡ, ex quibus constat, componi illas ipsas BI, B M. Bau, quas Prius, cum ob OI aequalem AF, sive BE, &ΙΜ, Im aequales BE, Be, sive EL, ΕΡ, totae etiam totis OI, ΟΜ, Om sint aequales, & parallelae . CCLXXVIII. Res mihi per compositionem virium ubique
eodem redit, quo in communi methodo per earum resolutionem. Resolutionem lent vulgo admittere in motibus, quos vocant im
peditos , ubi vel planum subjectum, vel ripa ad larus procursum
impediens, ut in fluviorum alveis, vel filum, aut virga sustentans, ut in pendulorum oscillationibus, impedit motum secundum eam directionem, qua agunt velocitates jam conceptae, vel vires; ut &virium re lutionem agnoscunt, ubi binae, vel plures etiam vires unius cujusdam vis alia directione agentis effectum impediunt, ut ubi grave a binis obliquis planis sustinetur, quorum utriimque premit direetione ipsi plano perpendiculari, vel ubi a pluribus filis elasseis oblique sitis sustinetur. In omnibus istis casibus illi velocitatem, vel vim agnoscunt vero re lutam in duas, quarum utriqua simul illa unica velocitas, vel vis aequivalear, ex illis veluti partibus constituta, quarum si altera impediatur, debeat altera perseverare, vel si impediatur utraque, suum utraque effectum edat seorsiim. Arquoniam id impedimentum in mea Theoria nunquam habebitur ab immediato contactu plani rigidi stibiecti, nec a virga vere rigida, Minflexili sustentante, sed semper a viribus mutuis repulsuis in primo casti. attractivis in secundo; semper habebitur nova vel iras, vel vis aequalis & contraria illi, quam communis methodus elisiam dicit, quae cum tota velocitate, vel Vi obliqua composita eundem motum, vel idem sequilibrium restituet, ac idem omnino erit, in effemium computatione considerare parres illas binas, & alteram, vel utramque impeditam, ac considerare priorem totam , aut velo
179쪽
citatem, aut vim, compositam cum iis novis contrariis, & aequalibus illi parti, vel illis partibus, quae dicebantur elidi. In id autem, quod vel interne, vel superne motum massae cujuspiam impedit, vel vim, non aget pars illa prioris velocitatis, vel illius vis, quae concipitur resbluta, sed velocitas orta a vi mutua, & contraria Uelocitati illi novae genitae in eadem masse, a vi mutua, vel ipsa vis mutua, quae semper debet agere in partes contrarias, & cui occasionem praebet illa determinata distantia major, vel minor, quam sit, quae limites, S aequilibrium constitueret.
CCLXXIX. Id quidem abunde apparet in ipso superiore raem plo. Ibi in Fig. 43 globus squem concipiamus mollem) advenit, oblique per AB, & oblique impeditur a plano ejus progressus. Non est velocitas perpendicularis AF, vel EB, quae extinguitur, durante A E, vel FB, uti diximus ; nec isa ursit planum CD. Velocitas AB occasionem dedit globo accedendi ad planum CD usque
ad eam exiguam distantiam, in qua vires variae agerent, donec ex omnium adtionibus conjunctis impediretur ulterior accessus ad ipsemplanum, sive perpendicularis distantiae ulterior diminutio. Illae vires agent simul in directione perpendiculari ad ipsiim planum juxta
Num. 266; debebunt autem, ut impediant ejusmodi hiateriorem accessum, producere in ipso globo Velocitatem, quae composita cum
rota Bo perseverante in eadem directione ΑΒ , exhibeat velocitatem per B I parallelam CD. Quoniam vero triangula rectangula AEB, BIo aequalia erunt necessario ob AB, BO aequales, erit BEIO parallelogrammum, adeoque velocitas pyrpendicularis, quae
cum priore velocitate Bo debeat componere velocitatem per rectam parallelam plano, debebit necessario esse contraria. & aequalis illi ipsi E B perpendiculari eidem plano, in quam resolvunt Uulgo. Velocitarem AB. Interea vero vis, quae semper agit in partes Contrarias aequaliter, urserit planum tantundem, & omnes in eo
produxerit m ctus illos, qui vulgo tribuuntur globo advenienti cum Velocitate eiusmodi, ut perpendicularis ejus pars si EB. CCLXXX. Idem accidet etiam in reliqius omnibus casibus lit-Perius memoratis. Descendat globus gravis per planum inclinarum CD Fig. ) oblique, quod in communi sententia continget Fig. 44. hunc in modum. Resolvunt gravitatem Bo in duas, alteram BR Perpendicularem plano CD, qua urgetur ipssim planum, quod eum sit stinet; alteram BI, parallelam eidem platio, quae obliquum de scensum accelerat. In mea Theotia gravitas cogit globum semper
180쪽
magis accedere ad planum CD, donec distantia evadat eiusmodi, ut vires mutule repulsivae agant, & illa quidem, quae agit in B, sit ejusmodi, ut composita cum Bo exhibeat BI parallelam plano
ipsi, adeoque non inducentem ulteriorem accessiim. 1ir autem perpendicularis plano 3psi. Porro ejusmodi est BE, jacens in dire lumcum ΗΒ, & ipsi aequalis, cum nimirum debeat esse parallela, &iuquplis O I. Vis aurem aequalis ipsi, & contraria, adeoque expresta per BR , urgebit planum.
Fig. 4s. CCLXXXI. Ouod si grave suspensum in Fig. 4s) filo, vel
virga BC debeat oblique descendere Per arcum circuli BD, tum vero in communi methodo gravitatem iso itidem re ivunt in duas BR, BI, quarum prima filum, vel virgam tendat, & elidatur,
secunda accelerct descensum obliquum, qui fieret ex velocitate concepta per rueiam BA Perpendicularem BC, ac praeterea etiam rensionem fili agnoscunt ortam a vi centrifuga, quae exprimitur per
D A perpendicularem tangenti. At in mea Theoria res hoc pacto procedit. Globus ex B abit ad D per vires tres compositas simuleum Uelooitare praecedente; prima e viribus est vis gravitatis BO; secunda attractio versus C orta a tensione fili, vel virgae, expressa per B E parallelam de aequalem O I, adeoque BR, quae solae componerent vim BI; tertia est attractio in C expressa per B H aequalem A D. Adest praeterea velocitas Praecedens, quam exprimit ΒΚ aequalis IA, ut sit B I aequalis Κ A. His viribus cum ea velocitate simul agentibus erit globus in D in fine ejus tempusculi, cui ejusmodi effectus illarum virium respondent. Nam ibi debet es e, ubi' esset, si alia, ex illis causis agerent Post alias: pravitare agente veniret per BO, ut BE abiret per OI, velocitare ΒΚ abiret per I Aipsi aqualem; vi BH abiret per A D. Quamobrem res tota itidem peragitur sela compositione virium, & motuum. αLXXXII. Porro si sumatur EG aequalis B H; tum tota at tractio orta a tensione fili erit BG, quic prius constarata est tanquam e binis partihus in directum agentibus composita, ac res Eoisdem redit; nam si prius componantur B H, & BE in BG quo casii rota BG ut unica vis haberetur), tum BO, ac demum BK, ad icem puninim D rediretur IuXta generalem demonstrat onem, quam dedi Num. 238. Porro in eXPrcssa Per totum BG attraheretur contra punctum sitspensonis versius B, ubi pars EG, vel BHad partem BE habet proportionem nendentem a celeritate ΒΚ, ah
angulo RBo, ac a radio CB; sed ista meae Theoriar cum omnium