장음표시 사용
201쪽
circilli, sbstinente puncto ipso suspensionis hixta Num. 28 I vim
mutuam respondentem iis omnibus viribus centrifugis. Resilura gravitate in duas partes, quarum altera agat siccundum rediam, qliae
jungit massam cum altera sit ipsi perpendicularis; idem pundium P sustinebit etiam priorem illam; posterior autem determinabit mai-sas ad motus AN, Obi, perpendiculares ipsis ΑΡ, ΟΡ, ac Proportionales per ipsum Num. 3oo sinubus angulorum APR, O PR, existente PR verticali. Sed nexus coget describere arcus simileS, adeoque proportionalas distantiis a P. Quare si sit A ) sipatium, quod vi gravitatis obliquae, sed ex parte impeditae a neXu, revera percurrat massa A; quoniam O non turbatur, adeoque percurrit rotum suum spatium Q Μ,. erit Q Μ ad A O, ut G P ad A P. De mum actio ex A in Q ad actionem ex Q in A Proportionalem O erit ex theoremate Num. 3I3 ut est OκQPaci AR AP, & omnes ejusmodi actiones ab omnibus massis in O debebunt ex anescere, positivis & negativis valoribus se mutuo elidentibus. Ex illis tribus proportionibus, & hac aequalitate res omnis sic facillime expeditur.
αα κ V. Sed ex tertia Gκ Q P: A κ A Pi i κV: in Q in nexu cum A. Ac eodem pacto si esset alibi alia massa B, iride connexa cum P S Q, actio in Q inde orta haberetur, postis, loco A, & ira porro in quibusvis massis C, D &e. Omnes autem isti valores positi m o, dividi Postent per V , utique com
mune omnibus& deberent e valoribus conclusis intra parenthesis positivi aequari negativiso Quare habebitur
202쪽
I CCCXXX. Sint jam primo omnes massae in eadem recta lionea cum puncto suspensionis P , & cum centro oscillationis O; dc angulus Q ΡR aequabitur cuivis ex angulis APR, ae ejus sinus qsingulis sinubus a, b M. Quare pro eo casu formula evadit dic, quae est 1Plia formula Hugeniana pro
ponderibus jacentibus in recta transeunte per centrum saspensionis. CCCXXXI. Quod si jaceant extra ejusmodi rectam in plano POR perpendiculari ad Gem rotationis transeuntem per Ρ, sit G
centrum commune. gravitatis. Omnium massarum , ducanturque
catur Μ, est ex natura. centri gravitatis. per Num. Ma
CCCXXXII. Is valor erit variabilis pro varia inclinatione obvalores sinuum & e variatos , nisi G Ρ transeat per G, quo casu fit q τα g; & quidem ubi G accedit in infinitum ad PR, decrescente g in infinitum, si PQ non transeat per G, manente finito q, Valor excrescit in infinitum; contra vero appellente O P ad P Η,
eVadis q o, g remanet aliquid, adeoque q evanescit. Id vero aecidit, quia in appulsit G ad verticalem totum systema vim acceleratricem in infinitum imminuit, & lentissime acceleratur; adeoque ut radius PQ adhuc obliquus sit ipsi in ea particula oscillationis infinitesma is,hronias, nimirum aque parum acceleratus, de bet in infinitum produci. Contra vero sppellente PQ ad PR ipsus acceleratio minima esse debet, dum adhuc acceleratio radii PG obliqui
203쪽
liqui est in immensum major, quam ipse; adeoque brevitate sita ipse
radius compensere debet accelerationis imminutionem. CCCXXXIII. Quare ut habeatur pendulum simplex constantis longitudinis, & in quacunque inclinat one is tironim composito, debet radius PQ ita assumi, ut transeat per centrum gravitatis G, quo unico casia fit constanter & formula evadit constans AκΑΡ' - Bκ BP &c, quae est formula generalis pro oscillatio-
nibus in latus massarum quotcunque, & quomodocunque collocatarum in eodem plano perpendiculari ad mem rotationis, ad quas selas extenditur Theoria trium tantummodo massarum mutuis inter 'se viribus connexarum, qui casus generaliter continet casium massarum jacentium in eadem recta transeunte per punctum susipetaonis, quem prius eruimus. CCCXXXIV. Inde autem pro hujusmodi casibus plura corollaria deducuntur. Inprimis Patet, gravitatis centrum debere iacere in recta, quae a centro siispensionis ducitair Per centrum oscillation , uti demonstratum est Num. 333. Sed & debet jacere ad esn-dem partem cum ipso centro oscillationis. Nam utcunque mutetur situs massarum per illud planum , manentibus puncto suspensionis Ρ, & centro gravitatis G, signum Valoris quadrati cujusvis A RB P manebit semper idem. Quare formula valoris sui signum mutare non poterit; adeoque si in uno aliquo casu jaceat O respectu P ad eandem plagam, ad quam jacet G, debebit iacere semper. Iacet autem ad eandem plagam in casia, in quo concipiantur omnes massae abire in ipsiam centrum gravitatis; quo cassi pendulum eva- .dit simplex, & centrum oscillationis cadit in ipsum centrum gravitatis , in quo sitnt massae. Iacebit igitur semper ad eandem partem
CCCXXXV. Deinde debet centrum gravitatis jacere inter punctum suspensionis, S centrum oscillationis. sint enim in Fig. Fig. 64 puncta A, Ρ, G, Ω eadem, ac in Fig. 63, ducanturque A G, A vi, & A a pelvendicularis ad PQ; Smma autem omnum masilarum ductarinii in suas distantias a recta quap sm, vel plano, vel in earum quadrata, designetur praefixa liberas soli termino pertinente sd massam A. ut contractiores evadant demonstrar ones.
Erit ex formula inventa PQ ras A κ AP . Porro est A G m
204쪽
CCCXXXI I. Ex illo excessu facile constar, mutato utcun- . que puncto stispensionis, rectangulum stib binis distantiis centri gravitatis ab ipsi, , S. a centro oscillarionis fore constans. Cum enim
ductum est constans, S habetur hujusmodi elegans theorema: sim gula mafe sit Iur in quadrata Iharum distantiarum a cenIro grmitatis commisi , γ' dividatur omnium ejusnodi prodi, nam fimma per funimam magarnm, ae habebitur produci ι sub sinis distamiti eeniri gravitatis a centro fiastensionis, re a centro oscilla imis. CCCXXXVIJ. Inde autem primo eruitur illud: manente pun-m suspensiouis, centro gravitatis, dele e etiam centrum Grillatinnismmere nihil mutatum, nurinque tot Issema, foetata respectiva omnium magisum distantia, eae positione ad se imuicem convertatur intra idem planum circa ipsum gravitatis cevn um; nam illa G P invecta eo pacto pendet tantummodo a distantiis, quas singulae minae habent a
CCCXXXVIII. Sed & illud sponte consequitur : eretrum oscillatinnis, ta centr)m mmersonis reciprocari ita, ut si fiat si inpensio per id purit an . quod sum at centrum oscillatisim, madat oscillationis centrum illud, qmd fuerat punctum sistensiovis; alterius distantia aeentro gravita is mutata, mutenm o alterius distantia in eadem rationeret rora. Cum enim earum distantiarum rectangulum debeat esse constans, si pro secunda ponatur Vasor, quem habuerat prima, debet pro Dr Da obvenire Ualor, quem listhuerat secu a, S. altera debet aequari quantitati constanti divisae per alteram.
205쪽
CCCXXXIX. Consequitur etiam illud: Hiera ex iis binis distantiis evanescente, abire alteram in infinitum, ni fl omnes mose in unico puncto sim simul compenetratae. Nam sine ejusmodi coinpenetratione summa omnium Produetorum eX masIA oc quadratis clillantiarum a c*ntro gravitatis, remanet semper finita quantitas; adeoque temanet finita etiam, si dividatur per siummam massarum, & quotus, manente divitis finito, crestit in infinitum, si divistr in infinitum decrescat.
CCCXL. Hinc vero iterum deducitur, suspensione facta peristisium centrum gravitatis nullum motum consequi. 1 Uanescit enim in eo calu distantia centri gravitatis a puncto suspensionis, adeoque ' distantia centri ostillationis crescit in infinitum, & celeritas oscillationis evadit nulla. CCCXLI. Quoniam utraque distantia simul evanescere non potest, potest autem centrum oscillationis abire in infinitum, nulla erit maxima e longitudinibus penduli simplicis isbchroni pendulo facto per suspensionem dati systematis, sed aliqua debet esse minima, suspensione quadam inducente omnium celerrimam dati siystematis oscillationem. Ea vero minima debet esse, ubi illae binae distantiae sequantur inter se. Ibi enim evadit minima earum silmma, ubi altera crestente, & altera decrescente, incrementa prius m mora decrementis, incipiunt esse majora, adeoque ubi ea aequantur in se. Quoniam autem illae binae distantiae mutκntur in eadem ratione, ut ut reciproca, incrementum althrius infinitesimum erit ad alterius decrementum in ratione ipsamm, nec ea aequari poterunt inter se, nisi ubi ipsae distantiae inter se aequales fiant. Tum vero illariim productum evadit utriuslibet quadratum, longitudo penduli simplicis is chroni aequatur eonim summae; ac proinde habetur hujusmodi theorema: singulae magὰ ducantur nn quadrata sinum diis itarem a tentro gravitatis, productorum summa dividatur per summamn agarum: dupla radix p/adrata quoti exbilabit minimam pendulis pliris isne uni Angitudinem. et Geometrice sic: Iro quavis masiaeviatur recta, quae ad distantiam elitusvis molire a centro gravitatis. Misi ratione I duplicata ejusdem mussie ad massiarnm fimmam di invenia- fur recta, o ius quadratina crouem' quadratis omni m e Dymedi rectora
smisI, 9 ipsius duplum dabit quaesitam longitudinem mediam, qua D
mismam praestet oscillationem. . CCCLII. Haec quidem omnia locum habent, ubi omnes dissse sint in unico plano perpendiculari ad aXem rotationis, ut nimirum
206쪽
singulae massis possint connecti inim puncto suspensionis, & centro . oscillationis. At ubi in diversis sunt planis , vel in plano non perpendiculari ad axem rotationis, oportet singulas massas connectere cum binis pune is axis, S cum centro oscillationis, ubi jam occurrit syllema quatuor massarum in se mutuo agentium si, & relatio virium, quae in latus agant Gira planum, in quo tres e massis jaceant, qu.u perquisitio est operosior, sed multo foecundior, &ad problemata plurima rite solveiada magni usus; sed quae hucusque protuli, speciminis loco abunde sunt; mirum enim, quo in hujusmodi Jheoria promovenda, & ad Μechanicam applicanda progredi liceat. Sic etiam determinando centro percussionis, virgam tantummodo rectilineam considerabo, speciminis loco futuram, sive massas in eadem rcffa linea sitas, & mutuis actionibus inter se connexas. ι . CCCXLIII. Sint in Fig. 6s massae A, B, C, D connexae inter se in recta quadam, quae concipiatur revoluta circa puninim Pin ea situm, & quaeratur in eadem recta Punctum quoddam O, cujus motu imped to debeat impediri omnis motus earundem massarum per mutuas actiones; quod punctum appellatur centrum percus fionis. Quoniam systema totum gyrat circa P, singulae massie habe-hunt velocitates Aa, Sc proportionales distantiis a P, adeoque singularum motus, qui per mutuas vires motrices extingui debent, poterunt exprimi per A RAP, Bκ BP Sc. Ouare vires motrices in iis debebunt esse proportionales iis motibus. Concipiantur singulae connexae cum Planetis P S Q, & quoniam velocitas punmr erat nulla, ibi omnium actionum silmma debebit esse α ο; summa autem earum, quae habentur in O , elidetur a vi externa percussionem sustinente. CCCXIAU. Quoniam actiones debent esse perpendiculares eidem rectae iungenti massas, erit per theorema Num. ut PQ ad
A O, ita amo in A m A κ A P, ad actionem in P πα-
207쪽
aequalis silmmae virium, quae renuisuntur ad sistendos omnes motus massarum A, B M cum illis diruersis locitatibus progredientium, videlicet ejusmodi, quae in massa ne cussionem excipiente Possit Producere quantitatem motus aequalem toti motui, qui filmir in massis omnibus, quod congruit cum lege actionis, S reaetionis aequalium, & cum conservatione eiusdem amitatiS motus in eandem plagam, de quibus egimus Num. αῖ . CCCXLVI. Haberent hic locum alia sine multa, quae Dertinent ad summas virium , quibus agunt massae, compositarum e vi-mburi quibus agunt puncta, vel a Ne tono, vel ab aliis illamon seram, & mngia usius in Mechanica & Physica: huiusmodi sim eaommia, qtiae Ne tonus habet Sectione Ia 13 Libri 1 Pr , de attractionibus corporiim siphaericorum, & non sphaericoriim, quae cNponantur eX attractionibus particularum; ubi habentur nn erissima theoremata ram pro viribus quibusciinque generaliter . quam pro certis virium legibus, ut illa, quae pertinet ad rationem 'reciprocam duplicatam distantiariam, in qua globus globum trahit, ran
208쪽
quam si omnis materia esset compenetrata in centris eorundem ;punctum intra orbem sphaericum, vel ellipticum vacuum nullas vires sentit, elisis contrariis; intra globos Plenos punctum habet vim directe proportionalem distantur; unde sit, ut in particulis cxiguis ejusmodi v.es fere evanes iat, S ad hoc, ut vires adhuc etigin iniis sint admodum sensibiles, debeant decrescere in ratione multo maiore , quam reciproca duplicata distantiarum. Hujusmodi etiam sunt ' quie Mac-Laurinus tradidit de sphaeroide elliptico potissimum, quae 'Clairautius de attractionibus pro tubulis capillaribus, quae D'Alembertus, Euturus, aliique pluribus in locis persecuti sunt; quin omnis Mechanica, quae agit vel de aequilibrio, 'el de motibus, seclusa omni impulsione, huc pertinet, S ad divorsos arcus reduci potest cur, ae nostrae, qui possunt esse quantumlibet multi, habere quascunque amplitudines, sive distantias limitum, S areas, quae sint
inter se in ratione quacunque, ac ad curvas quascunque ibi accedere, quantum libuerit; sed res in immensium abiret, ct satis est, ea omnia innuisse. CCCXLVII. Addam nonnulla tanriimmodo, quae generaliter
pertinent ad pressionem, & velocitatem fluidorum. Tendant di- Fig. 66. rectione quacunque A B puncta disposita in eadem recta Fig. 66 )vi quadam externa resipectu sistematis eorum eunctorum, cuJus actionem mutuis viribus elidant ea puncta, ct sint in aequilibrio. Inter primum punctum A, S secundum ipsi proximum debebit osse
vis repulsiva, quae aequetur vi eXternae puncti A. Ouare urgebitur punctum secundum hac Vi repulsi 'a, ct Pricterea vi externa sita. Hinc vis repulsiva inter secundum, & tertium punctum debebit aequari vi huic utrique, adeoque erit aequalis summae virium
externarum puncti primi, & secundi. Adjecta igitur sua vi externarendet deorsiim cum vi aequali summae virium eX ternarum omnium
trium; & ita porro progrediendo usque ad B, quodvis punctum
urgebitur deorsiam vi aequali summae virium eXternarum omnium
CCCXLVIII. Quod si non in directum disipolita sint, siud ut- cunnue dispersia per parallelepipecum , cui is basin perpendifflar Fig εν. directioni vis externae exprimat recta FH Fig. 67) & FE GH A. ciem ipsi parallelam; adhuc facile demonstrari poteli componendo, vel resolvendo vires; sed & Per se Pater, vires repulsivas, quas debebit ipsa hasis exercere in Psrticulm sibi propinquas, & ad quasvis eius mutua pertinebit, inre aequales sunWae omnium seperiorumi vi-
209쪽
virium externarum; atque id erit commune tam solidis, quam fui-dis. At quoniam in fluidis particulae postunt ferri directione quacunque, quod unde proveniat, videbimus in tertia parte; quaevis pqrticula in omnem plagam urgebitur viribus aequalibus, N. urgebit sibi proximas , qtiae pressionem in alias propagabunt ita, ut, quae sint in eodem plano I: L parallelo FH, in cujus directisne nulla vis
externa agit, vires ubique eaedem sint. Quamobrem quae Vis particula lita ubicunque in ea recta in N, habebit eandein vim tam VersuS planum EF, quam versius planum EG, & versus FH, quum habet particula collocata in eadem linea in Μ K etiam, ubi addantur parietes AM, CK paralleli FE, cum planis LM, Κ I, parallelis FH; nimirum vi, qui e respondet altitudini MA; ac particula sita in O prope basin FH urgebit ut quaquaversiim, ita & versius ipsam, iisdem viribus, quibus partieula sita in BD sub AC. Ipsun urgebunt particulae in eodem plano horizontali jacentes, oc accedet ad omnes fluidi, & baseos particulas, donec vi contraria elidatur v ς ejus rota ab ejusmodi pressione derivata. Ouamobrem hasisFH a suido tanto minore FLMACKI.H sentiet pressionem, quam sentiret a toto fluido FE GH; superficies autem LM sentieta particulis N vim aequalem vi massae L EAM, accedentibus ad ipsam particulis, donec vis mutua repulsiva et vi aequetur. CCCXLIX. Hinc autem patet , cur in fluidis nostris gravita- 'te praeditis basis F H sientiat pressionem tanto majorem masiae fluidae incumbentis pondere, & cur pondere perquam exiguo fluidi AM XC elevetur pondus collocatum silpra LM etiam immane, ubi repagulum Ι, Μ sit ejusmodi, ut prcssoni fluidi parere possit, quemadmodum sunt coriacea. At totum vas FLΜACKIH bi- lanci impolitum habebit pondus aequale ponderi sito, & fluidi contenti tantummodo; nam simerficics vasis L IJ, ΚΙ horizontalis virepta Isiva mutua urgebirur sursium, quantum urget deorsum puncta .. omnia N versius O, & illa pressio tantundem imminuit vim, quam in bilancem exercet vas, ac tota vis ipsius habebitur dempta pressione Srsiim supersciei L Μ, ΚΙ a pressione fundi TH facta deor-siim; & pariter se mutuo elident vires exercitae in parietes opnositos. Atque h:ec Theoria potorit applicari facile aliis etiam figuris quibuscunque. Resipondebit semper pressio superficiei, & toti nonderi fluidi, quod habeat hasn illi superficiei aequalem, & altitudinent ejusmodi, quae usque ad silpremam superficiem pertinet inde accepta in direclione illius externae vis.
210쪽
CCC T. Quod si vires particularum repulsivae sint ejusmodi,
ut ad eas multum augendas requiratur mutatio disi antiae, quae ad distantiam totam habeat rationem sensibilem, rum vero compressio
massae erit sensibilis, & densitas in divertis altitudinibus admodum diverse; sed in iisdem horizontalibus planis eadem. Si vero mutatio is sciat, quae rationem habet prorsus insensibilem ad totam distintiam; tum vero compressio sensibilis nulla erit, & massa in fundo eandem habebit ad sensum densitatem, quam prope superficiem silpremam. Id pendet a lege virium mutua inter particulas , S akix' curva, quae illam exprimit. Exprimat in Fig. 68 AD distantiam quandam, S assumpta iB D ad A B in quacunque ratione utcunque parva, vel utcunque sensibili, capiantur rectar perpendiculares DE,
B F itidem in quacunque ratione minoris inaequalitatis utcunque magna ; poterit utique arcus MN curvae exprimentis mutuas particularum vires trans re Per illa puncta E, F, R exhibere quodcrinque pressionis incrementum cum quacunque pressione utcunque magna, vel utcunque insensibilL CCCLI. Compressionem ingentem experimur in aere , quae in eo est proportionalis vi comprimenti. Pro eo casu demotastravit Newtonus Princ. Lib. 3 Prop. 23, vim particularum reptalsivam mutuam debere esse in ratione reciproca sinplici distantiarum. Quare in iis distantiis, quas habere possunt particulae aeris perieVerantis cum ejusmodi proprietate, & sormam aliam non inducentis snam& aerem posse e volatili fieri fixum, Newtonus innuir, ac Halesius inprimis uberrime demonstravit , oportet, arcus MN accedat ad formam amis hyperbolpe conicae Apollonianae'. At in aqua compresso sensibilis habetur nulla, utcunque magnis ponderibus com primatur. Inde aliqui inserunt, ipsiam elastica vi mrere, sed perperam; quin immo vires habere debet ingentes distantiis utcunque parum imminutis; quanquam eaedem Particulae dehent esse prope limites , nam & distractioni resistit aqua. Infinita sunt curvorum genera, quae possunt rei satisfacere, & satis est, si arciis EF directione habeat fere perpendicularem aXi A C. Si curvam cognitam adhibere libeat, satis est, ut arcus EF accedat plurimum ad I ogisticam, cuilis subrangens sit perquam Gigua respectu distantiae A D. Demonstrariar passim, sit bran genrem I ogisticae ad intervallum ordinatarum eXhibens ravonem duplam esse proume ut 14 ad Io; &eadem siti,tangens ad intervallum, quod eXh3hear ordinatas in quacunque magna ratione inaequalitatis, habet in omnibus Logisticis ra