Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

131쪽

euando ergo dic t datam rectam in duas partes scindere, aut eam scindere docent quae in abaco es, aut eam quae per transitum hujus intel gitur. Sed eam quae in abaco es bifariam dividi non dicent, cum ea mani-ysesam habeat latitudinem. Re Ia autem ex eorum siententia omnis es expers latitudinis. Auare cum Pa quae in abaco es, linea ex ipsiorum sententia nousit, neque Vant linea in duas partes secabitur Herum nesci a qui per transtum hujus intelligitur. Ponatur enim aliqua

132쪽

1ao II HELMI LANGI.co Zans ex noverit pane Iis quatuor quidem punctis butroque extremorum numfratIS,mno autem puncto duos

quaterniones intercipiente in medio Ergo si in duas partes tota scinditur linea, aut inter quintum hujus sunt Ium , is alterum quaternionem feretur id quod secat aut in ipso quinto, ita ut eum divida bifariam Atqueferri quidem inter quintum pune fumo alterum quaternionem id quod cat, a ratione est alienum . Tum enim segmenta lorent inaequalia, unum quidem quinque pune forum, alterum vero quatuor. His autem pun

ctum in duas secari partes si magis absurdum quam prius. Neque enim pune tam amplius erit indissibile,

omnibusque carens partibus. Verum antea manifestissime demonstravimus lineam ex punct1 nullo modo componi tum quoque maXimam minimamque lineam aequalia numero puncta habere, hoc est in una, tot sumi posse puncta, quot in alia. Denique si mille puncta jungantur invicem, unicum tantum punctum conficere, adeoque si eadem mille puncta ita in unum composita divellantur vicem, punctum tamen esse indivisibile. Sophisma ergo Sexti de novem punctis, nchiliquidem est, cum nulla usquam sit linea in qua infinita numero puncta sumi non possint, adeoque in illa qua novem puncta habet, posuit mille puncta concipi. Et cum linea neutro modo e puncti com-Ponatur, utique, nec in bisectione una pars longior sit astera, neque punctum dividatur. Il hid quoque quod Sextus ait de centro circuli, quod in circuli diviso

133쪽

DE VERITAT GEOMETR. 12 Ivisione, bifariam dividatur, falsum plane est. Neque enim superficies ex punctis componitur, imo ne ex lineis quidem, ut antea fuit demonstratum. Ideoque non sequitur, quod circulo seu superficie plana circulari biseriam divisa, etiam centrum seu punctum bifariam dividatur. Haec ergo Omnia falsis hypothesibus nituntur, nullamq; solidam demonstrationem continent. Atq; ita quidem ea omnia quae a Sexto Empirico

contra Geometras proponuntur accurate examinaVimus&falsa vanaq; omnia es e deprehendimus. Nunc de caeteris veritatibus Geometricis porro agendum

crit.

Hactenus quidem materiam Geometricam examinavimus , earumque rerum definitiones percurrimus, quae a Geometris considerantur: qua quidem re id praestitimus, ut non tantum ea quae a SeXt Empirico adversus Geometras scripta sunt Vanitatis ac falsitatis convincantur , sedi earum rerum natura,

quae in Geometricis consideratur, certo cognita sit ac demonstrata. Nam cum constet, puncta lineas, stiper- scies&angulos omnis generis non tantum Vere eXistere, sed etiam id esse, quod Geometrae supponunt: utique manifestum erit, quae ex his componuntur triangula quadrata, pentagona. c. aut haec supponunt, ut parallelae lineae in natura eXistere Certum quidem est Euclidem totam materiam Geome

134쪽

sussicere arbitraretur , si ea tantum de quibus tractare vellet, Lectori ob oculos poneret, ipsique paucis definitionibus indicaret quas res talibus verbis denotaret. Neque sane diXerim, haec ita ab Euclide fuisse praestita, ut nihil desideretur. Nam ut alia omittam, in demonstrationibus quidem saepissime meminit linearum in directum jacentium, quarum tamen definitionem nusquam invcnies. undi dixeris propria Vocis nomenclatura id indicari respondebo id-1psium quoque in Triangulo , pentagono , aliisque fieri quorum tamen definitionem O Riχειρ, dedit. Et quam necessalia sit definitio lineartim in directum iacentium, postea manifestum faciemus. Hac ergo ir-tem part aliquo modo, carpi post et Euclides, quod

rerum necessariarum definitiones omisistet. Sed nulli via veritatis Occlusi est omnibus adhuc patet, semperque patebit. Multa sane Euclides praestitit,i plura quana ullus alius, quorum lucubrationes in eo scribendi genere habemus. Sed post tantam messem, aliquod daris icilegitim, quid mirum e Id sane cuivis veritatis amant sussicit, quod nihil filii Euclides suppo-1uerit, neque in tanta demonstrationum copia, ullum paralogismum fecerit quod caeteri vix sunt assequuti

ateor quidem ipsum quoque Euclidem alicubi id

supponere, quod neque tam clarum est, ut supponi aut pro concesso assiimi debeat, neque ab ipso sit Gemonitratum id tamen quod supponit falsum non est Et quamquam ab ipso demonstratum non sit, ab aliis ta

135쪽

DE VERITAT GEOMETR. 23 me facili via, nulloqdabore demonstrari potest,ut post modii docebimus. Ac tantum quidem de definitionibus I. libri Elementorum dicta sunto. Quod enim calterorum librorum desinitiones attinet, de iis sequenti libro dicendum. HOC Ver ea omnia perteXere nobis animus est, quae contra primum Elementorum Euclidis ab ullo unquam mota fuere, vel jure movuxi

possunt. Et cum principio hujus scriptionis, hypotheses Geometricas in Definitiones, Postulata atque Axiomata div1serimus, atque Definitionum naturam hucusque satis accurate CXplicuerimus. nunc de Axiomatibus ac Postulatis agemus.

CAP. XVIII.

Axiomata quidem, proprieri accurate loquendo, solari praecipua esὰ dem Ostrationis Geometricae principia, in confessto est quae ideo talia sta oportet , ut ab nemine an negari postant. Et priora quidem IX. Euclidis, talia omnino es e, nemo sapiens unqua negaverit. Quis enim sana mente praeditus, has veritates omne. singulas certissimas si non perspexerit Θ

136쪽

uae eidem aequalia,etiam interse sim aequalia. Et si aequalibus aequalia ad antur, tota eri aequalia. Et si ab aequalibus aequalia auferantur residua se aequalia. Eis inaequalibus aequalia apponantur, tota esse in . qualia. Et ab inaequalibus aferantur aequalia , dua esse inaequalia. Et ejusdem dupla inter si esse qualia. Et ejusdem dimidia etiam inter se esse aequalia.

Et quae congrunni invicem, inter se sunt aequalia Totum majus aparte. Sunt enim haec omnia natura cognita, cum divina aurae particula, omnibus&singulis honainibus implantata. Si enim accuratemni singula perscrutemur , magnoque de diligenti sudio humanas actiones cum brutorum animantium Comparemus, certo deprehendemus, nihil esse quo quidem ceu certa ac infallibili nota charactere illarab his distingui possint, nisi solius veritatisis sapientiae cognitione atque amore. Primae autem Veritates, vel salicia intc primas,hae sunt,quas nunc ex Euclide proposuimus. Scio quidem Claudium Galenum libro de optimo genere docendi περ αρις Ay τ λια de Carianeade Academico referre ne ipsum id quidem pro vero habuisse quod primo loco ponimus, Nempe quae eidem aequalia etiam inter se sunt aequalia o P Καρ- τύ ἀυτύ - ιυγή ἡ ω λοις ἴσα γόνεbi Carneadesit 'eti ud quod omnium esse videnti mum concedit esse credendum eidem aequales sint magnitudi

137쪽

nes etiam inter se sunt aequales. Verum ista objectione refutatione quidem digna est. Insani enim hominis deliri si quis confutares falsitatis convincere vellet , in eis sapientioribus irrisui esset. Compescenda quidem aliquando horuncce hominum impudentia Maudacii, quod egregie in laudato nunc opere praestitit Galenus, cujus rationes ideo nos non adferemus, ne aliorum scrinia compilare velle videamur. Neque tamen ideo cum hisce disputandum, ut veritas demonstretur Id enim impossibile, Prina ae enim veritates nullo modo demonstrari postiliat sed tantum, ut stultitia dementia talium hominum omnibus ob oculos ponatur, caeterique qui insanire volunt

deterreantur. Haec ergo omnia quae recensuimus Axiomata talia sunt, ut nec demonstrari poseant neq; a quoquam falsitati redargui aut convinci . Praeter ista vero quaedam alia axiomata proponuntur quae sane non eandem habent naturam. Gamuis enim vera sint, tamen non ita natura cognita sunt ut priora; neq; sine demonstratione vera es deprehenduntur. Sunt vero haec Πῆσαι πιορθ ο νιαι Acq ' λοις ει ρηγουνίας δυο ορθοῖν ἐλασσονας ποιῆ, κέοιμο νο α δυο αυθι ἐυθει ἐπ' aπειρον,ουριτασύν9 αμηλοις c 'oc Hρ, ἐαν L mis δυο ορθὼν λασσονες γωνια Κοα δυο ἐυθῶο χάρι rερ. ymi

Omnes recti anguli inter se sim aequales. Et si induas

138쪽

angulos minores fecerit duobus rectis, concurrent i duae eoiae tintinnitum educantur, versus i aspartes, tibi unt duo anguli obus rectis Inores. Et duae re-ectae lineae spatium seu super ciem non comprehendunt. Prima cnim harum vera quidem est,sed tamen sine demonstratione vera esse non intelligitur Sane propositio XX. lib. I Elem. Da latera ejusdem truaetuti

rectilineis majora sim reliquo quomodocunque sumpta

non minus clara est ac corta quam haec assertio Omnes

anguli recti inter se semit aequales Epicurei quidem affirmabant illam quam nunc laudavimus propositionem, adeo claram este ut etiam asinus, qui demonstratione Geometricas non intelligit, hoc per se perspiciat, ideoque irridebant Geometras, qui tam manifesta demonstrarent. Auctor Proclus libr. III comm . in . Euclid ad hanc ipsam Propossitionem. Verum de Epicureis talibi videndum. Id tantum dico, cum Euclides hanc tam claram ac videntem veritatem sine demonstratione proponere noluerit, debebat utique illa etiam demonstrasse, quae his clariora non sunt, imo quorum veritas magis in Obscuro est. Veritas autem hujus sentcntiar Si in duas recus recta incidens angulos internos ad easdem partes minores fecerit duobus rectis, tum rectas i a concurrere, si in m- nitumproducantur, versus ilia partes, ubi unt anguli duobus rem minores est magis intricata imo multo Obscurior, quam haec Omn s manguli recti ei, duo latera, tertio majora, quomodocunque sir ca Saltem illa

139쪽

D VERITAT GEOMETR. 127 illa assertio nullo modo inter Axiomata aut κοννοι ἐννοια

poni debet, quod neque ab Euclide factum arbitror

Proclus enim insignis, pervetustus commentator Euclidis, inter postulata haec fuisse posita subindicat, praeter ult inum quod pro aXiomate recenset. Ipsemet vero partime aliorum mente, partim juxta propriani Mntentiam adstruit inter postulata non debere po

sumes, quod hoc , Omnes anguli recti inter se sunt squales, Posulatum nequaquam is sicut neque quintum postulatum si in duas redus recta incidens, internoso

adeasdempartes angulos minor effecerit duobus rectis, tum lineas ista eductas concurrere versus erupartes, tibi ni anguli duobus rectis minores. uxta cundam Cerorationem non erit axioma, Duae re lae tineae patium non comprehendunt, quod etiam nunc quidam inter axiomata recensent. X quibus liquet, tres hasceas ertiones seu nunciationes inter AXiomata ab Euclide positas non fuis , sed primam quidem .secundam inter Postulata, stas eque hanc. postulatum quin

140쪽

11 I LAEL MI LANGI. tum, ultimam Vero a quibuSdam, tantum inter axiomata clatam. Videtur autem Theo Alexandrinus,

vel saltem ejus domestici, familiares aut discipul1, haec

omniarinter Κρινὰ -οιοι posuisset pro axiomatibus habuisse Graecus enim extus Euclidis quem hodie Icgimus,est κλῶν Θεῶν si νουσω. Ex editione familia .rium Theonis, ut in ipsuis operis titulo cernitur. Quicquid sit, certum quidem est inter AXiomata haec non posse collocari, cum axiomata debeant esse ἀυτο Fecd ανοι δειγία , perse credibilia is non demonstrabilia: qualia quidem haec nostra non sunt. An vero inter

Postulata poni debeant sequenti capite dispiciemus.

Qui veritates rerum investigare volunt id accurate observabunt, ne vel in manifestis veritat1bus demonstrationes quaerant, Vel non manifestasi claras suae demonstrationibus admittant. Utroque enim modo certitudo atque evidentia tollitur, prior quidem,quod, ad certissimarum rerum demonstrationem, minus certa supponere cogamur posteriori vero, quode incertis certa demonstrari nequeant. Virtus autem

in medio consistit, quae neque in infinitum demons rationes quaerit, neque neces artas negligit Peccarunt vero in his duo insignes Mathematici Apollonius quidem in excetiit, Euclides vero in defectu is enim dii certissima axiomata, demonstrare conatur, qua ipsum naturae. Iumen vera esse docet alia supponere