Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

142쪽

13 W1LHELMI LANGI. i. Hῖςρί φον is Aiοις. Qui τῶ ἀξιωμασι, το δύο εὐ- δε ξεως χει το π;Fρν. Frustra ergo demon rationem xjomatum molitus es Apodonius. Vere enim Geminus ait,eos qui indemonserabilia demon raresunt conati, ex incertis se incognitis ommu claris ima is maxime coin

dum id demon rare vult quod dicitur. V e eidem qualia, etiam inter oesunt aequa a Uuidam vero is ea quae demonserari debent, ut indemonstrabilia supposuerunt, inter quos Euclides, qui hoc modo quartnm quintum Populatum supposuit. Utrumque enim ut dubium demonstratione quidam indigere a Irmarunt. Et nonne issiculum es,haec ut indemonserabilia supponere8

cum inversa horum theorematum demonstrentetrar. Nam quod duo interni anguli linearum concurrentisi mores

sint duobm recris, ipsemet Euclides demon stratait hoc Theoremate. Om strianguli detis anguli minores hunt duobusre Iis quomodocunque sumpti. Verum quod ne I semper omnis angulus aequatu reolo sit rectus, clare demon stratur. Non ergo ea quae simias theorematibus conzertuntur . ne demon ratione assumere licet, ait Geminus. Solent eryo quidem juxta hanc ratio nem tria tantum se postulata. Duo vero reliqua demonstratione indigent, non mrnusquam conGersa Eorum theoremata Biter Axiomata ero 'per tuum hoc es Duae rectae patim non comprehendunt, quandoquidem

143쪽

D VERITAT GEOMΕΤ R. 3Idem eritas hujus ex demonstrationependeat. Et sane utrilinq; tam Apolloniu quam Euclidem hac in parte peccasse manifestum. Quod enim Geminus ait Apolloniti, ex incognitis ac minus certis certa probare voluisse, res ipsa declarat. Axioma enim hoc, sulci eidem aequalia etiam inter se sunt aequalia , tali quidem modo probare voluit, ut est apud Proclum lib. III comment in I. Euclid. Verba Procli integra adscribam ut 4en tentia Apollonii, quid de ea sit statuendum una di

λ ἀσαφε ρο που προθεν β άξιάμαθ ρναργέ, modisu tem demonstrationem primi Axiomatas attinet, ApolZonius se invenisse credit, medius in ea termmus n. tantum ipsa conclusione magis cognitus non es, erum majore etiam di cultate premitur ut cuivis, qui eam parumper examinare voluerit, facilesatebit. Ita enim

144쪽

W1LAEL MI LANGI. enim ait. Sit aquantum, aequale quanto B. Hoc vero

j aequale quantos dico quod A. ipsi G sit aequale.

Q omam enim A. Di invicem sunt aequalia, ergo aequalem locum occupabunt A. ergo ista etiam aequalem locum occupabimi se per consisquens interse erunt quatia. Io his autem necessarium es duo supponere, unum, quae aeqUalia loca occupant inter si esse aeqvalia. Alterum, quod quae eidem eundem locum occupant, interseeundem occupent locum mod autem haec multo sit ut obscuriora quampraesin Axioma, cuivis manissum. Ex quibus liquet male Apollonium demonstrationem Axiomatis in medium adduxisse, ideoque Axiomata in Geometricis demonstrari non posse, sed cfre ανα tanκ9. Quod autem de Axiomatibus verum est, id certa quadam ratione ipsis quoque postulatis convenit. Qua enim methodo recta linea Geometrica, vel accuratissima quaecunque alia, a puncto ad punctum duci possit, in Geometricis demonstrari nequit Imo si subtiliter res gerenda, ne circulus quidem Geo metricus describi potest, modusve in Geometria proponi, quo id fiat. Quis enim ulla arte lineam circularem descripserit, omni carentem latitudine. Et si quidem id seri possiit, quomodo planum illud nancisheretur, in quo talis circulus esset describendus. Unde neque recta terminata ita produci Geometrice potest cum planum, in quo ducenda est, non habeatur. 1Xonam tales rectas aliave plana acquirere possumus, quae omni sensibili vitio careant quanto minus taleia bebi-

145쪽

DE VERITAT GEOMETR. 33bebimus, in quo intellectiis nihil desideret. Ponit ergo Geometra haec omnia ita in rerum natura dari: modum vero quo dentur,aut dari possint, non demonstrat. Non ergo Postulata possim demonstrari , sed ea supponere cogimur. Ea autem quae Geometra de lineis circulisve demonstrat,principaliter quidem ac proprie vera sunt de linea&circulo Geometrico sensibiliter autem vera etiam de lineis sensibilibus, aliisque planis ac superficiebus sensibilibus , deprehenduntur. Quoniam vero Axiomatai Postulata non demonstrantur, neque demonstrari posituat sequitur duas hasce Propositiones Omnes recti anguli inter se sunt aequales, Si in duas rectas recta incidens,duo angulos internos ad easdem partes minores fecerit duobus rectis, tunc lineas versus illas parte concurrere c. vere nec AXiomata esse, nec Postulata, cum ambae accurate demonstrari,&possint,&debeant. Quod enim omnino debeant demonstrari, inde liquet; quod

conversa horum ab ipso Euclide demonstrentur: quod praecipuum est, haec natura sua adeo clara non sint, ut sine demonstratione pro certis admitti debeant. Conversum enim quinti Postulati est Propositio XVII. libr. I. uJusvis trianguli duo anguli minores sunt duobus rectis, quomodocunque sumpti, seu quod idem est, si in rectas lineas concurrentes recta incidat, angulos internos facit duobus rectis minores C -niam ergo hoc demonstratur de angulis ergo idipsum de concurrentia laterum etiam demMnstrari cbet.

146쪽

i3 ILHELMI LANGI. Et sane, cuivis es aequius examinanti, laquet, hoc Postulatum per se cognitum non esse. Neque illud de angulis rectis tam clarum est, ut sine omni alia cognition intelligi possit. Qusmodo autem haec duo demonstrentur, equenti capite proponemus

CAP. XX. Quod ergo illam Propositionem attinet Omnes

modo eam demonstravit libro Ill comment in Euclid in hunc ipsum locum sis σαν δύο ρ

- ergo angulus si AQB rectus, erunt hiVi

147쪽

D VELUT AT GEOMEΤR. 3 anguli aequales inoicem. Etenim in definitionibus habemus, quod refctus angulussiit quais illi qui deinceps es angulo Angulus ergo An major es angulo ABH. Ruriis educatur BH in K. quoniam ergo angulus ABH es re Ius, is qui deinceps es, etiam refctus, deos aequalis ipse ABH erit utique angulus AB minor angulo ABH Sed is major es quod est ab uri . Non ergo re ius angulus major es erilo. Quoniam vero demonstratio non tam facile sine schemate intelligi

potest, nos una cum Latina interpretatione schema adjecimus. Heic vero paucis demonstratione explic bimus Argumentatur auctor reducendo adversarium

ad absurdu, qui modus argumentandi fatis frequensest in disciplinis Vel enim angulus alter angulo aequalis

Crit,vel major, vel minor Si sequalis est, lis est composita Si vero adversarius hoc negaverit, utiq; Vel major er1t altero angulo, vel minor. Dicat nunc adversarius AB r in dato schemate majorem esse ΔΕΖ Si ergo recta AE inponatu ipsi Br, ita uti congruat cum

AB. tum Z non congrue cum Br. Si enim congrueret, utique anguli aequales forent per Axioma VIII. adeoque hinc disitatem suae sententiae videret adversarius. Quod si ergo non congruunt utique, cum AB rs major quam cEZ, ergo EZ cadet intra AB& Γ.Cadat v. g. in B H. Producatur vero recta Bi in Q. Definitio autem recti anguli h aec est si recta super rectam consistens angulos utrinque aequales fecerit, tum ambos illos angulos esse rectos. Cum ergo AB recta

148쪽

ciat angulum AIr: ab altera, rectum huic aequalem faciet. Erit erus AB aequalis AB si per consequens major quam ABH, hoc est quam EZ. Verum si redhala lue producatur ansi erit etiam ex hypothes adversarii angulus AB rectus Maequalis angulo ABH. Angulus cnim ABHex hypothes adversari est angulus AE hoc est rectus In rectam autem lineam HK, insistens recta AB, cum ab una parte rectum angulum faciat, etiam ab altera parte rectum faciet angulum Ἀ-deoque KB aequalem ACH. Est vero ΚΒΑ angulus major AB angulo ergo ABH major erit Boangulo Antea vero conclusum fuit, ex hac eadem adversiarii hypothesi , ABH minorem esse angulo ABS. Idem ergo angulus, eodem angulo,, More1 &minor At falsum consequens ergo antecedens. Adeoque rectus angulus nec major est altero quocunque rect O angulo, nec minor ideoque aequalis trotest autem hoc ipsum alia brevior atque ex Deditiori methodo demonstrari. Cum enim ex desinitionibus constet, obtusumi acutum angulum a recto disserre, cum quidem, quod recto major sit, hunc vero quod recto sitimor itaq; in hoc eodem diagrammate , si dicatur AB rectus , major se rect o ΔΕΖ, dematur ergo aliquid angulo ABr, ut residuum

erit angulo AB r ut v. g. si auferatur HB ab angu

149쪽

Io Br, residuus angulus ABH minor erit angulo AB T.

Est vero AB rectus. Qui autem recto minor est, acutus est, non vero rectus. Si ergo AEnminor fuerit AB r. utique non rectus erit, sed acutus. Eodem modo si1

i SE dicatur major esse AB Γ, seu quod idem est, ABO: addatur aliquid. Quantumcunque vero illud fuerit, quod adjicitur , semper majorem angulum Sciet recto Bo seu AB T. Ut si OB addatur ABS, erit angulus ΑΒΚ major angulo ABO At angulus AB est rectus. Qui autem recto major est angulus, non rectus est, sed obtusus Ergo angulus ABK non est rectus, sed obtusus Et si AE convenit angulo ABK, utique non rectus erit, sed obtusus. Rectus ergo angulus,non potest esse vel major, vel minor, altero recto. Si enim

major fuerit, non rectus erit, sed obtusus. Sin minor: non rectus est, sed acutus. Adeoque omnes anguli recti inter se erunt aequaleS. Quod autem demonstratum est de rectis angulis, eos omnes inter se esse aequales, id de converso hujus Propositionis non valet, nempe omnes angulos equales, esse rectos. In certo quidem casu verum est, nempe si recta rectam ita secuerit, ut omnes anguli sint aequales , tum verum in hosce angulos esse rectos Adeoque verum etiam est, si anguli, vel duo, ad

easdem partes, Vel quatuor, ad Omnes partes, ex duarum rectarum linearum inclinatione procreati,

quales fuerint tum semper esse rectos. Nec posis duas rectas lineas quae inclinando se invicem contin- gunt,

150쪽

i38 ILHELMI LANGI.gtuat, aequales angulos, singulos, singulis, emcere, nisi angulnili sint recti. Non tamen omne propterea anguli aequales, sint recti Quando enim inca lineam secat, qui ad verticem sunt anguli , semper invicem sunt aequales. tamen, acuti esse possimi, dc obtusi ut ex XV. Propositione I Elem liquet. Quod vero Pappus&ex eo Proclus demonstrare conantur, esse quosdam angulos rectis aequales, nec tamen rectos, id non video quomodo ex apposita eorum demonstratione sequatur. Verba Procli sunt.