장음표시 사용
171쪽
DE VERI τAT GEOMETR. ID nec omnia demonstras quae demonstrari debebant, sed multa pro veris supposuisse,quae vera quidem sunt,
a Geometra autem supponi non debent sine demonstratione facile qVidem c me, δ alios sibi habuisset μο *ους Nunc ero quoniam his omnibus omissis,
falsa se hei invenis dicat, ipsaq; principia libri V.
Elementorum convellere dc labefactare conetur , quae tamen longe sunt verissima , ut in sequentibus patebit, operae precium me facturum arbitrabar, si&ipsius Euclidis sententiam totamque illam doctrinam, qua maxime fieri pos et brevitate explicarem, ,eritate harum rerum demonstrata, tantes erroris ei-bomiani detegerem, ipsiusq; argumenta refellerem. Oniam vero haec doctrina, quae est de majore aut minore ratione , accurate demonstrari aut intelligi non possat, nisi altera illa quae est de rationum compositione huic iuungaturi nam quidem cibomius Euclidem aliosq; veterum intellexisset bene etiam tradidista ait, posteriores autem Geometras Veterum mentem non cepista, sed multa perperam innovasta, totam hanc rationum & proportionum naturam benevolo te hor ob oculos ponere decrevi, utin illi, qui in Mathematicis non usq; adeo sunt Versati, ut penitiora ipsius intelligant, per se tamen perspiciant, quid illud sit, quod Meibomius contra Euclidem Geometrasse invenista gloriatur; ac demum sciant quam solida ac certa sint Geometruae principia, de quam
male sibi ipsis consulant, qui in his disciplinis proba
172쪽
que partem disputari possimi Adsiis Iesuri seue.
QUantum Geometrae vocant omne illud quod vel mens ira, Vel numero, vel pondere comprehenditur , seu quod idem est , vel juxta magnitudinem consideratUr, vel juXta multitudinem, vel juxta pondus Architas Tarentinus perantiquus, celeberrimus Geometra , ας meta 6 inqVit α ορα
con sic, ut talentum vel in magnitudine, ut bicubitale vel in multitudine, ut decem. Hoc vero Uantum vel in se consideratur, vel quatenus respectum habet ad aliud. Atq; in se quidem, quatenus certam habet magnitudinem, certove numero aut pondere comprehenditur. In singulis enim quanti speciebus haec diverso modo considerantur. In magnitudine enim,&figura, ut trangulare, quadratum, pentagonon&c. in multitudine autem seu numero soli rem et 'ς In ponderibus vero gravitas, quorum naturai assectiones m distinctis scientiis explicantur, a gnitudinum quidem in Geometricis, umerorum; Arithmeticis, &ponderum in Staticis , quae tamen scientiae plurima communia principia habent, communesq; demon- strati-
173쪽
D VERITAT GEOMETR. i 61 strationes, veritates, quamvis in quibusdam etiam dissideant. Inter alia vero quae communia habent, etiam hoc est, quod, cum ejusdem generis aut specie quanto singula conferri possint , magnitudo quidem cum
magnitudine, numerus cum numero,& pondus cum
pondere quae quidem collatio seu mutuus respectus λον Graecis dicitur; Latinis ratio. In Geometricis autem hanc rationem ita definit Euclides Λογα 'V9 α μαγεθ mλ κοτη , ωρος αμηλα mi χεας. Ratio est, duarum magnitudinum ejusdem generis , quaecunq; mutua relatio secundum
quantitatem. In Arithmeticis autem ratio erit,quaecunque mutua duorum nunerorum relatio secundum quantitatem. Ac deniq; in Staticis ratio erit mutua duorum ponderum habitudo secundum quantitatem. Notandum vero est in Arithmeticis quemcunq; n merum finitumi terminatum cum quOCunq; numero finito, terminato conferri posse , sicut etiam pondera cum ponderibus. In Geometricis autem non Quamcunq; magnitudinem cum quacunq; magnitudine posse comparari Neque enim ratio rectae ineae ad quadratum dari potest. Duo quidem quadrata oossim invicem eandem habere rationem, quam linea ad lineam. Neq; tamen ideo ratio lineae ad quadratum datur In Arithmeticis autem&Staticas inter quoscunq; numeros datos inter quaecunq; pondera data, etiam ratio datur. X
174쪽
162 ILHELMI LANGI. Omnis autem ratio duobus terminis comprehendiatur, prior dicitur terminus aqUO seu antecedens alter terminus ad quem seu consequens. Pro diversitate autem horum terminorum diversae rationes constituuntur. Sicilini ambo termini aequales fuerint, oritur ratio aequalitatis. Ut si duς linea aequales fuerint,vel duo quadrata, duove cubi, aut solida corpora aequalia Innumeris autem ut 1 ad . Vel . ad a. s. ad 6 atque sic in insinitum In ponderibus denique talentum A ticum ad talentum Atticum, hina ad minam isti bra ad libram. Si autem termini inaequales fuerint, oritur ratiomaequalitatis estq; duplex , excessiis, vel defectus tenim vel antecedens terminus major est consequem , acleoque excedit terminum alterum , unde ratio est excessiis Scholiastes Graecus Euclidis vocat λογνος πιροχ rationem excesssius, apte admodum ac concinne, quam recentiores quidam maioris in
qualitatis dixere sicut alteram huic oppositam I con quente si quadratum cujus area esset cc
K ccii inscii πις υπτροὰς ratio autem a. ad a. in ratio
175쪽
163tio desectus.Idipsum in ponderibus liquet.Ratio enim
talenti ad minam librae,ad unciam est excessus . ratio- autem minae ad talentum , vel unciae ad libram cst ratio defectus. Et in numeris quidem haec ratio semper cognita est ε effabilis. Semper enim datur excessus unius numeri super alium, qui alio numero exprimitur. In magnitudinibus autem ratio illa non semper exprimi potest Sic ratio diagonalis quadrati ad latus ejusdem, est ineffabilis nullo enim numero exprimi potest, ut Euclidi est demonstratum Elem. lib. X. Propos. CXVIII quo in libro duo quidem genera magnitudinum commensurabilium proponit, unum quod absolute est commensurabile, cuicunq; datae magnitud1m , adeoq; ratio inter ea se habet ut numerus ad numerum.Sic magnitudoΙoO .pedum magnitudini o pedum est commensurabilis, adeoque duce hae magnitud1nes rationem habent effabilem λογν wra, seu quam Io ad Io.Lumerus adnumerum. Alterum est potentia
commensurabiles ut diagonalis quadrati ad latus, simpliciter idem&absolute loquendo commensurabilis non est , potentia tamen invicem commensurantur Quadratum enim descriptum super diagonali est duplum quadrati alterius per XLVII. I. Elem. adeoque quadrata horum sunt commensurabilia , habent se ut numerus adnumerum, a. ad 1. Coelera vero quae neque longitudine, neque quantitate sunt commensurabilia, irrationalia dicuntur, quod ratio Xo eorum
176쪽
a , HELMI LANGI.cortum numeris nullo modo explicari possit vide VII. VI i. propositiones libr. X. Elem Euclidis
praecipue X ubi modus docetur invemendi magnitudinem datae magnitudini incommensurabilem, tam magnitudine, quam potentia enabilis. stabilis quae certo numero CXplicatur cinestabilis , quae certo numero non Xplicatur Vae quidem omnia ab Euclide demonstrantur libro X
lem Propos V. VI. VII., VIII. In citi neticis autem Omne numeri sunt cillabiles Proeliis Ero II comm .m I. Eucl. 44 - - λόν δε
177쪽
DE VERITAT GEOMEΤR. Jostionem habent invicem qua numerus adnumerum bienim numerus illic commensurabile is ubi commensurabile cimo etiam numeruS. Differunt ergo inter se rationes Geometricae& Arithmeticae, quod hae Videm omnes accurate CXpl1cari possint, illae vero non item. Nec tamen ideo Arithmeticae rationes perfectiores Geometricis. Possisunt enim in Geometricis quadrata JuXta quamcunq;
rationem dari , duplam, triplam, quintuplam, imo quamcunque. In Arithmeticis vero id fieri nequit. Quadratum enim alterius quadrati duplium in Arithmeticis non datur.
Qiuod vero de magnitudinibus verum est , quasdam intereas esse incommensurabiles, adeoq; earum rationes inexplicabiles , id etiam in ponderibus locum habet. Possunt enim pondera non minus quam magnitudines in infinitum secari. Prima ergo disserentia rationum est, quod respectu terminorum, aliae sint aequalitatis, aliae inaequalitatis. Secunda,quod respectu eorundem terminorum,
aliae sint effabiles, aliae ineffabiles. Prior omnibus rationibus, tam Arithmeticis quam Geometrici convenit posterior in Arithmeticis locum non habet; quod illic omnes rationes sint etabiles Porro rationes inaequalitatis tam excessus quam defectus, in Arithmeticis quidem quinque species constituunt, quae etiam in effabilibus Geometricis caedem sunt Si enim duo inseqales numeri invicem
178쪽
166 ILHELMI LANGI. conserantur, is qui major est altero, vel totum in se comprehendit aliquoties: vel non comprehendit. Si totum in se bis, terve, aut phiries continet, major dicis tu multiphius, minor vero pars ut binarius unita-tatis, S ternarius unitatis, senarius binarii continet enim senarius totum binarium ui sester. Atq; hoc ipsum in magnitudinibus verum est. Si enim magnitudo bis, ter quaterve composita, aliam magnitudinem fecerit, composita magnitudo multiplum dicitur. ea vero e qua componitur pars. Euclides initio V Mερος 'CE γεθος μήγε ς ο ελαοσον, m ιζονος ταν sc
οβν scism ρῆ e: πελαλονος Pars es magnitudo magnitudinis minor , foris , quando me urar mavos. UMultiplum vero es majus minoris quandomen ratura minore Mensurare Geometris dicitur quo multiplicatum alterius quantitatem Xactyaequat, neque majus est, neque minus. Siculnamen-1ura longitudinem centum ulnarum. Si enim ulnacenties multiplicetur , aequabit longitudinem centum ultrarum. Qus si longitudo fuerit centum ulnarum' trium quartarum, tum illacistam lonstitudianem accurate mensurare non potest, verum alia tum mensura requiritUr, nempe quarta pars ulnae. Adeo- magnattre nis centum ulnarum pars cst , non vero centum ulnarum trium quartarum cum non
179쪽
DE VERITAT GEOMETR. 67 metiatur. Ita quarternarius senarii pars non est, cum illum non metiatur. Proprie ergo loquendo, pars est, quae in alio bis aut pius perfecte continetur, ut binarius in quaternari , senario&c ternarius in senario, novenario, ii in infinitum. Et is qui alium in se continet numerus multiplus dicitur, quantitas quaecunque multipla. Quando ergo antecedens terminus consequentis multiplus fuerit, ratio dicitur multipla Theo Smyrnaeus libro de musica cap. XXIII. II μαπλοιαος --λογ, oleo PH ζω ορο Παρονοίη γ P τ ελαβονα, G ες ο άιζω ρος Uc Θρυετζη M-ύ λάατο- ὰ
pleae sando major terminus pluries continet minorem: ides, qυando majorem terminum minor integre metitur, nec ulia pars majoris res asuperes. Et juxta eam peciem multiplicationis, unusquisq; major terminus multiplex minoris dic tur juxta quia minore mensuratur ut sibis, dupla , ster, tripla squale quadrupli, os iniquentibus. Hac ratione magnitudo XII pedum, dupla quidem est sex pedum trita quatuor pedum quadrupla trium sextupla,
180쪽
168 1L MEL MI LANGI.& duo dccupla unius pedis. Et haec prima species estestabilium rationum CXces US. Huic contraria ab altera parteis effabilis ratio defectus, quae submultipla dicitur, quando nempe terminus antecedens est pars , consequens ver multipleX. 'Aναπαλινδ inquit Theoloco laudato ἐλάοῦ- σιον sm ' δε ἡ πιπλάαρ et ει ριον s so autem modo se habet minor ad majorem. Et pars quidem rationi homonymis. Pars enim dupli oratu emis, tripli vero triens. Illa autem ratio Db
pia dicitu eu dimidia haec subtripla, ct c in aliis Ita
ratio duum ad quatuor est subdupla ratio . ad , subtripla a. ad 8 subquadrupla a ad O. subquintupla r.
ad Ia subsextupla r. ad 14 subseptupla i sic in infi nitum Liquet ergo ex his quid sit ratio subdupla, subtripla, subquadrupla nempe qVae his cyphrism- dicantur fitq; quando terminus antecedens consequentis termini, vel dimidius est seu subduplus, vel tertia quartave ejusdem par
Quando autem antecedens terminus, nec pars est Consequentis, nec multiplex ejusdem,& tamen eidem ma qualis, alia oritur ratio. Si enim antecedens majus tuerit consequente, ita tamen ut totum in se consequens