Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

181쪽

DE VERITAT GEOMETR. L 1 B. II. 169quens aliquoties non contineat, utiq; excedet illud vel una sui parte, vel pluribus. Si utia parte, antecedenSvocatur ἐπιμάριος si pluribus partibus, De priori ita Nicomachus Gerasenus Arithmetices libr. L

m Iusuperparticularis secunda majoris numeri pectes est, latura is ordine, qί quidem in se continet comrelatum totumis unam ipsius partem.V e quidem pars si dimidia fuerit, major contorum numerorum vocatur e quialter, minor vero subses vialter υero tertia pars; quitertius subsie uitertius atq; ita in perpetuum quoad que progrediaris,semper tibi convenia

182쪽

do major terminin minorem semel contineto partem inoveri ιπι unam, id est quando major minorem superaverit excessu aliqUo, qui minori numeri tpars, stati quaternarius superparticularis est ternarii. nitate enim excedit, quae triens es ternarii, senarius excedit quaternarium duabus unitatibus, quae sunt siemtis quaternarii mare a partium denominatione perparticulares singuli proprias appetiationes nanes cuntur. Vulnamq; minore emi eo erat sessu, alter dicitur, ut ternarius binarii , senarius quaternarii. Vsios enim minores totos continent, ipsiorumq;femisses. In ternario, namq; binarius continetur, O unitas dimidium ejus. In senario quaternarIII cum

183쪽

D VERITAT GEOMETR. 1 B. II. 71 binario ejus semisse taui tertia rursusparte minorem superantse uitertii appeliantur, ut quaternarim ternarii. Uui quarti vocantu e quiquarti ut is quiquartus est numeri . is denarius octronario progrediendo ariter,si quiquinti,se quisextios quiseptimi appenti uni omnes hi superparticulares. Et paulo post Tὼν Δ ἐπιμωρύων λογωνπζῶ6 in . O , -

particularium Cerbrationum prima maxima essesquialtera, quiapars dimidia prima is maxima est, totiq; proxima sequitur iliam se vitertia, deinde sesquiquarti idemq; sin infinitum decrescendo progressus. Qi modo autem ratio sesquialtera major sit ratione sesquitertia, haec major quam sesquiquarta, in sequentibus explicabimus, ubi de majorein minore ratione erit agendum. Nunc tantum illud proponere volumus, quod ad eXplicationem rationis etrime a pertinet. Si ergo vel magnitudo magnitudinem, vel numerus numerum, Vel Pondus pondus ita excedat, ut major quantitas totam minorem in se contineat,& partem praeterea ejus qVamcunq; nam, major Vantitas minoris etris iis, s dicitur. Sic magnitudo oo.

pedum magnitudinis 99 pedum ἰ -υος est, nu- a merus

184쪽

versitate vero partium, diversitas etiam rationum con 11deratur. Etenim si magnitudo quaedam aliam mastnitudinem totam in se contineat, Partem praeterea

ipsius dimidiam , major magnitudo minoris dicitur se quialtera. Sic magnitudo FO. Pedum magnitudinis ioo pedum est sesquialtera:& magnitudo o ne cum sesquialtera magnitudinis vaginta pedum, ato sic in infinitum. Atq; hoc ipsum in numeris obtinet Etenim ' ad Oo eandem habent rationem uvam ad a. hoc est ratiodem sesquialteram. Quod etiamna ponderibus eodem plane modo se habere dc orehenditur Sivero major terminus minorem terminum totum in se contineat&Partem praeterea ipsius tertiam, 'o magnitudo minoris sesquiter i dieitur&ratio ipsa sesquitertia. Sacrati ioz I ad ioco est sesquimillesima continet enim in se totum numerum Z partem praeterea ipsius millesimam eodem modo quo Ciceroni in libro de uniuerso sesquitertia .s scqua octava vocatur assa ratio quae Platoni in Timaeo Iriτριος - δε ε dicitur,qua de re in sequentibus data occasione plenius agetur Particula igitur sesqui apposita indicat magnitudinem alterius Gagnitudinis sic i g, seu superparticularem. Sic enim ratio sesquitertia apud Ciceronem est 3 seu

185쪽

DE VERITAT GEOMETR. LII. IL 173τhisi Platonis ratio sesquioctava es ε' τογδοος Platonis seu . EXcedit autem quaternarius ternarium, una ternarii parte. novenarius Octonarium Una parteoEhonari 1. Et siccio Oi est sesquinaillesimus 1 oo . excedit enim I COI IOCO una parte millesima Scio alios aliter loqui ier sesquimillesimum intelligeremi merum I SCO.Sed qui accurate cum veteribus, imo cum Cicerone latine loqui&scribere velit, eam rationem sequatur Oportet, quam nunc eXplicuimus. Id vero heicina notandum erit, quod in rationibus digia noscendis, semper sit recurrendum ad minimos iri

mo nnmeros, Vi Graecis et dicunturi Sic ξest magnitudinis&rationis sesquialterae, est πυθών sesquitertia , S sesquiquartae, o sic in infinitum,de quibus hoc notatNicomachusGerasenus libra. Arithmetices 'Oh ιι ι α αρὼποι ἡ τα -- λεγυπιενο

186쪽

17 ILHELMI LANGI. naturalemprogress . vero secundi a m ριένοις sunt, uno numero distant , tertii vero duobus quar

ti tribus , quinti quatuor , ct sic in perpetuum, quoad usq; progredi volneris. Praeterea pars ista,

unde quaeCD superparticularium denominationem habet , in minorib--θμενων seu fundamentalium consideratur, non vero in majoribus. Πυθμενε ergo rationis sesquialtera: sesquitertia , sesquiquartae,c sunt

sic in infinitum His vero proximi numeri sunt . 48, 3st. Terti autem sunt lG, Porro quarti sunt ' let, g, c. Prinai autem sunt vicini, con

nexi connectuntur enim binarius& ternarius , quaternariusvi quinarius , senarius, septenarius immediate. Secundis autem unus numerus interponitur: inter quaternarium enim, senarium est quinarius, interi. I. est . Inter IO.&Ia est II. Tertii autem duobus numeris separantur. Inter senarium enimo novenarium, duo numeri sunt, septenarius, octonarius. Inter novenarium .duodenarium, denarius indenarius. Deniq; inter quarto numerostros alii dantur, ut inter 8. Ia dantur 9. O. II.

sic in infinitum. Tantum de opimoriis seu superparticularibus. Hisce vero inter rationes desectus opponuntur υπι μύριοι, lbsuperparticulares , quando nempe consequens continet in se totuna antecedentem semel&unam Praeterea ipsius partem. Estq; totupla quot

187쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. yysuperparticularis Vel nim subsesquialtera est, quando nempe consequens terminus antecedentis sesquialter fuerit, ut innumeris , et, s c. vel subsesquitertia ut ῆ , , Τ, Vel subsesquiquarta ut 3, i atq; ita in infinitum. Πυθμενε vero, seu primi numeri harum rationum sunt. , Ξ, Γ quotquot in 1nsmitum seipsos unitate superant hoc est, ut consequens is qui Graecis

υπολο dicitur, unitate Xcedat antecedentem seu - προλογχη Multa in hac rem ex Nicomacho Geraseno , aut Theon Smyrnaeo in medium adferre superVaCuum arbitror,cum res ipsa satis per se clara sit.

CAP. IIII.

Quando autem antecedens, totum vide consequentem semel tantum in se habet, eundem vero pluribus partibus eXcedit, ratioUmμάρης diciturLatini superparatiens.Intueris enim I S. antecedens compreheditisse totum consequentem, parte praetere ejusdem,

vel duas, vel tres. Idipsam in cognitis atque effabilibus magnitudinibus, ponderibus locum habet. Magnitudo enim C pedum ad magnitudinem LX pedum rationem habet, quam quinq; ad tria, hoc est superpartiente Continet enim major magnitudo in se totam minorem,& duas praeterea ipsius parte tertias. hoc est, si minor magnitudo intres aeqVale partes secetur, tum major, tales quinq; partes habebit, quales minor habet tres Si enim LX pedum magnitudo

188쪽

μέρους τιθείες. Ἐκμγ - όλον δύο Μώm αυτον συντ ε μ ενα πλάσιονγγνίν που ἐξαρίς. vero rati figer- partiens , qUando numerus tot cistam, cui comparatur in seipso habet, praeterealarte i ius una plures. Tartes veros ae una plures, incipiunt a binario, atq; inde procedunt ad omnes sequentes numeros. Fundum ergo rationis perpartientis est numerus, qui praeter totum eum quicum comparasur duas usus panes ha

bet, is pectatim superbipartiens ne atur. Pos

189쪽

DE VERITAT GEOMETR. 1 B. II. 77 hunc ero is, qSi praeter totum tria habuerit, Socatur

speciatim supertripartiens, is pos illum sisperquadripartiens , inde super quinquepartiens, porro in coeteris Partes autem radicem se principium moeni a ternario. Impsestibile enim est in his a dimidio incipere nis una aliquem numerum supponamus, qui

praeter totum oppositum numerum, duas praeterea partes ipsus dimidias contineat Sed tum quidem prosuperpartiente multiplumponemus Totum enim compostum, una cum bini uipartibus dimidiis, dat sui ipsus duplum. Prima ergo omnium simplicissima

ratio ' μυερης seu superpartiens ex ad 3. Excedit enim quinarius ternarium binis partibus tertiisternarii. Quaternarius enim excedit quidem binariu binis partibus, sed ita ut partes illae ipsius binari sint dimidiae, adeoq; 4 multiplus est binarii, nempe duplus. Di- stinqvitur autem multipla ratio a superpartiente. Quae ergo duabus, tribus, qVatuorve partibus , pluribusve in infinitum aliam excedit magnitudinem neq; tamen candem pluries in se continet quam semel, neq; superparticularis est, rationein generat superpartientem Sic ratio 7. ad . est superpartiens, ad s. etiam superpartiens Quae pluribus persequi operae orecium non arbitror . ., Opponitur autem rationi superpartienti illa, cui praeponitur particula sub nempe subsuperpart1ens υm πιπιρης. estque quando consequens anteceden-

190쪽

i 8 1 LAEL MI LANGI.tem totum in se semel continet, partes praeterea ipsus plures una Sic ad 7 est subsuperpartiens , ad 8. Atq; sic in aliis. Quando autem antecedens totum minorem aliquoties in se continet, vinam praeterea ipsius partem, rati πομα πλαmε mme ιος appellatur latine multia plexsuperparticularis cu)us quidem rationis variae species, tam respectu multipli, quam superparticularis.Etenim sibi in se contineat oppositu totu, par vero excedens fuerit dimidia ratio vocatur duplasesquialtera:

si pars tertia,duplasesquitertia: sic duplasesquiquarta duplasesquiquinta duplasesquioctava, sic in infinitum multiplum, triplum fuerit oriuntur rationes pro partium mutatione, triplosesquialtera, tria plosesquitertia, triplosesquiquarta, triplosesquimillesima. Sacratio 8oo I ad I Coo est octuplosesuvi- millesima. Sic ratio sta s. ad Ia . est noncupiosesiqvicentesima. Atq; uxta hanc rationem in aliis omnibus. Si enim consequens totum antecedentem stamus uase contineat,&unam praeterea quamcunq; intius partem, oritur ratio submultiploparticularis', ut ratio 1 ooo ad Ooi suboctuplosesquimillesima, sic in cliens, subduplosesquialtera, subduplosesquitertia, subduplosesquiquarta. . Tum subtriplosesuvi- altera, ut a. ad 7 subtriplosesquitertia . ad Io., sic in aliis. Myod si antecedens totum consequens in te contineat,&partes praeterea ipsus una pluresuera