Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

201쪽

D VrRITAT GEOMETR. LIB. II. Is 9 ura NO. a. AB ad CD. rationem triplam EF ad GH rationem triplam, lico, si AB. jungatur ipsi EF.&CD ipsi GH tum totam ABEF ad totam CDGH. habere rationem triplam. Si enim AB. fuerit 6 pedum CD. erit et pedum. si EF fueritis pedum GH erit 3 pedum. Jungantur AB. EF tota AB EF erit pedum s. ungantur EFGH tota EFGH. erit pedum 3. At is es triplum f. , sicut . si triplum 3., o triplum binarii unde ratio ubique eadem, nempe tripla. Quod si ratio minor ratione

aequalitatis componatur hoc modo cum ratione quacunq; CXcesaik, tum totum minus erit sua parte .ut si ratio se componatur cum ratione I prodit ratio ὀ Atratio a seu es major ratione S. Liquet

ergo ex his, rationes per additionem amborum terminorum antecedentium invicemi consequentium invicem componi non pos e ncque illam composi

202쪽

Eae rhythmis vero Herousgrandis dimoniac comm datus O Harmoniae indigens. mbus vero ipsa est Hoc tio multitudinis Trochaeus aute magis saltationi oveniaens. RelinquiturPaean, quo injunt incipientes a Thra macho Nonpotuerint vero dicere quinam esset Tertius

autem ess Paean,ct continet jam Hectos Dion ut triana duo istorum aut inmissi, ut a. ad auerit duo ad Anum. Has vero rationes continet se quialtera,quae o Paean rorro indicat,de quoPaeane Verba faciat.duos

incipit a longa, terminatur tribus breviom c cuius nu non Poeticis est v alter vero ex contrariis incipit tribus quidem bre abus, una lo/ a. cuius si num est na Poeticis πυ- Herou seu laes xlus componitur ex una longa, duabus i Cuibus ima autem longa aequatur binis brevibus ergo otio da es vlicstracla seu I. ad I ambus vero componitur ex brevi longa /- , hoc est ex tribus brevibus, estq ut unum ad uo Trochaeus autem ex longa ire vi, estq; duo ad unum. Unus ergo Paean componitu ex iactulo S 3 ambo, vel ut terminum Aristotcli retineamUS,COn-

subduplam unde oritur ratio subsesquialtera antecedentia cui malccta consequentibus antrationet Alter Vero Paean, quem vulgo quartum vocant, conti

203쪽

DE VER 1 HAT GEOME TR. LII. I. ponet dactylum, Trochaeum seu rationem II l ade- pque est μολιος. in lecta enim antecedentia antecedentibus, consequentia consequentibus dant rationem Nec tamen haec terminorum conjunctio compositio appellatur Aristoteli, neque proprie loquendo compositio est. Etenim una partium est major toto ratio nempe dupla est major ratione sessi quialtera, adeoque trochaeus major quam Paean quartus quod est perabsurdum Unicus ergo modus

componendi rationes totas ei Iecte, antecedentia nempe cum antecedentibus is consequentia cum consequentibus, fit per multiplicationem , quando nempe antecedenS cum antecedente .consequens

cum consequente multiplicatur , qui quidem quatenus ad lineas pertinet, ab Euclide propositus est libro VI. Elementorum propositione XXIII ubi

demonstrat aeqviangula parallelogramma rationem invicem habere e lateribus conjuncta.Nempe si datae fuerint quaecunque rationes exces iis in lineis, suecffabiles, sive ineffabiles,parallegrammum rectanguluex antecedentibus terminis constructum, ad parallelogrammum rectangulum eX consequentibus terminis , habebit rationem compositam cchi binis rationibu . Sint enim datae duae rationes excessusAB ad BC. cBD.ad ΒΚ.constituatur ex AB.& BD. antecedentibus terminis parallelograminum rectangulum, aliud ex

consequentibus BC. SE Qiis niam ergo haec bi-

204쪽

WILHELMI LANGLna parallelogramma sunt equiangula ergo habent rationem invicem conjunctam e lateribus per XXIII Propositionem adeoq; erit ut AB ad BC. DB ad BE. sic parallelograminum D ad parallelogram-mum C E. Neque sane aliter ese potest. Cum enim ambo termini utriusq; rationis invicem multiplicentur ipsae quoq; rationes in Vicem sunt multiplicatae. omnis autem talis multiplicatio in rationibus Xcessus est compositio,ut antea dictu . Neque in ration1bus alia compositio perfecta est,pr ter illa, quaesit permultiplicationem. Duae autem lineae rectae in se ductae, hoc est multiplicatae invicem generant parallelogram-mum .Ergo parallelogramma aequiangula X antecedentibus d consequentibus eXstructa exhibent rationem compositam ex binis aliis rationibus. Atq; hoc quidem in numeris non minus clarum perspicitur. Eleiam si duae ratione triplae componantur invicem, Oritur rati noncupla ut dant

Antccedentibus enim invicem, consequentibus in se ductis oritur ratio . Liquet ergo eandem, in cometricis rarithmetici rationum Compositionem esse. Sicut en1m inArithmeticis ambo antecedentia in se ducta seu invicem multiplicata,dant antecedens compositae rationis in consequens similiter ductum in consequens, dat compositae rationis consequens, ta etiam Geom Ctricis ambo antecedentia, seu ambae antecedentes a nitudines, quae certis lineis indicantur, in se ductae dant

205쪽

grammum ex binis quibuscunq; lineis,quae consequentes terminos seu imagnitudines repraesentant,constructum, rationem habet e lateribus compositam. Qu0niam Vero necessarium est, rationes hasco compositas non tantum in parallelogrammis; sed etiam in rectis lineis exhiberi methodum hujus rei insequentibus proponam, eadem multiplicatione, per parallelogramma semper retenta, ut beneVolus lector pervideat, qua bene modus componendi rationes, tam Geometrice quam Arithmetice inVicem convcniat. Hanc vero compositionem rationum, Vae ita per antecedentium&consequentium terminorum mutuam multiplicationem peragitur, Omnino genuinam esse, atque 1n ipsa natura fundamentum habere, eXHarmonicis discimus. Cum enim Harmonia diatessarone quatuor toni componatur, Vorum Pr1mus ad secundumest in ratione sesquioctava, tert1-us vero ad quartum, ut a F6 ad 2 3 ergo ratio

quae dat diatessaron , hoc est ratio sesquitertia, componitur ex hisce tribus rationibus I, QS . Quod etiam hac compositione verum si deprehend1tur. Ratio enim I seu sesquioctava composita cum rationasesquioctava, dat rationem ξι Porro ratio et composita cum ratione I , dat rationem GA seu 3 hoc

nis divisor si8 .secat antecedentem terminum o736.

206쪽

30 ILHELMILANGLin . partes consequentem Ff v. in tres adeoq; ratio o736 ad 1 Ffja est ratio sesquitertia, seu inmmimis numeris 3 At componitur ratiocior 36 ad Issia lao est 3 ex ratione I ad 6 . cis 6 ad aq3. ratio autem SI ad 6 . componitur ex binis sessiqvioctavis, adeoque ratio a seu sesquitertia, quae dat harmoniam diatessaron componitur ex bini εταγίοις sesquioctavis & immate , cujus ratio est, ut numerus ad numerum et 1 6 ad 2 3. Haec est illa harmonia universi, juxta quam omnium rerum compositio est O dinata, quam pulcherrimis verbis describit Plato in Timaeo, Me eo Cicero in libro de Universio , de quare postea plenius, ubi de analogia speciatim erit agendum. Ita ergo haec rationum compositio quae fit permultiplicationem antecedentium terminorum inter se, consequentium inter se , in ipsa naturarundamentum habet.

. Hactenus quidem compositionem rationum consideravimus: Sequitur divisio, qua varia non secus quam ipsi compositio. Etenim vel totalis divisio est, vel partialis Totalis est, quando magnitudo a magnitudine, Vel numerus a numero, vel denique pondus a pondere aufertur toties, quoties fieri potest, ita ut nihil remaneat. Partialis autem, quando se- ut aliquid emancat. Prior

ras ξρ divisio dicitur, posterior subtractio. Sic

207쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 19 's magnitudo . pedum auferatur a magnitudine I 8. Pedum semel, remanent a pedes. At si dividatur peri pedes, nihil quidem remanet non divisum, totum vero divisum est 3 pedum. In divisione ergo proprie sit dicta , tria Veniunt notanda , dividendum , dividensi divisum in priori exemplo magnitudo 18 pedum est dividendum , magnitudo I pedum est dividens is magnitudo . pedum est divisum, sive id quod fit ex divissione. Mupd ipsum in numeris & ponderibus eodem modo se habet. Est autem divisio proprie dicta, vel persecta, vel imperfecta. Perfecto , quando post divisionem nihil remanet non divisum Imperfecta, quando post divisonem aliquid remanet non divisum. In priori CX-emplo, magnitudo 6 pedum ita dividit magnitudinem 18 pedum ut peracta divisione nihil remaneat non divitum. Si vero diagonalis quadrati alicujus dividatur per latus alterius quadrati, quod prioris sit hib- sexdecuplum, adeoque basis baseos subquadrupla erit quidem divisio illa in quinque partes, sed non perfecta. Dividit enim basis diagonalem istam in vin-que partes, ita tamen ut aliquid remaneat non divisum, imo quod neque ullo modo dividi potest a basi, cum earum ratio mutua sit ineffabilis, quamuis potentia sit enabilis. Quoniam vero haec rationum divisio magno nobis usui postea sici neces arium arbitror cam accuratius

explicare, singulasque ipsius assectiones diligentius

208쪽

W1LMEL MI LANGI. considerare. Quod ut fiat,antea divisio omnium quantitatum conssideranda erit, tam in numeris, quam ma nitudinibus ac ponderibus. Dico ergo primum, divisionem esse duarum quantitatum homogenearum conjunctionem mutuam, ex qua alia fit quantitas, vel una priorum, Vel utraque mi- Per quantitates homogeneas intelligo numeros, cum numeris, lineas cum lineis , pondera cum Donderibus conjungi Per conjunctionem vero intelligo multiplicationem. Nulla enim divisio sine multiolicatione.S enim magnitudo o. pedum per magnitudianem .pedi erit dividenda, utique minor vinuuies multiplicanda , ut totum in quinque partes dividat

loniam Vero in omnibus rationibus stabilibus ηες; semper sit totius ad partes, vel partis aut partium ad totum . utique divisio rationum effabilium ex divisione harum rerum optime intelligetii tea eniim dicavimus omnes rationes Abiles, esse numerum est, ut tot partes unius integri, ad partes

Partium ad magnitudinem a 3 partium habet ratio

m festabilibus verum est, ut nulla plane ratio sit

doctrinam divisionis rationum intelligamus, in T

rium

209쪽

D VERITAT GEOMETR. LIB. IL 297tium natura primum addiscenda erit. Atq; ut in

priori exemplo maneamus init magnitudo AB in fi-Lu num. 3. Partium 3 6 talium, qualium magnitudo CD in eadem figura est partium a 3 Ratio ergo AB. ad CD. ess af6 ad 43. Iecetur AB. bifariam in E ratio ergo AE ad AB. est 128. ad 2s6. seu

1. ad a. Etenim AE . continet Partes 28. tales, quales AB habet s6. Es vero numerus 128. dimidius numeri 23 6. Erit ergo ratio harum partium, tis ad a.

Ratio autem AE . ad CD erit 128 ad 2 3. In minoribus enim numeris non datur magnitudo autem AE

partes habet Iz8. tales, quales magnitudo CD. partes habet et 3 Secetur porro magnitudo CD. intres Partes,&ssit triens hujus CF erit ergo ratio F ad CD , ut 8 i. ad 2 3. seu 1 ad 3. . Cum enim CF sit triens ipsius CD. ergo qualium CD. habet 43 partes, talium CF. habebit I partes ut si CD csset pedum et 3. esset CF. triens hujus pedum 8 I. una 81 sint tertia pars a 3. is ergo ratio F ad CD subtripla, seu J vel retentis prioribus numeris ut 1 addi Ad magnitudinem Vero AB esstet ut 8 I ad 36 kad magnitudinem AE ut 81 ad 2 8. . Si ergo aganitudinem AE , Vae habet centum vigint1 octo duacentesimas quinqVagesimas seXtas partes, ita dividere cuperem, ut divisum esstet, sicut CF ad CD seu ha beret octuaginta unam ducentesimas quadragesimas tertia partes e divido singulas partes ducentesimaso in vagesimas seSta in partes ducentas quadraginta B 3 ire

210쪽

is, Wi LAELM LANGI. tres , hoc est multiplico as 6 per a 3 prodeunt Iaao8 Adeoq; tota AB habet sexagies bis mille

ducenta 6 oecto partes ducentesimas quadragesimas tertias hoc est cum singula partes ducentesimae quinquagesimae 1cXtar ipsius B sect a fuerint in partes ducenta quadraginta tres, crit tota AB secta in partes tales6a o 8. Adeoque cum 2 6 partes se- Centur m aro8 partes; utique 28 secabuntur insito Qusdem mensurae partes autem partem habeamus, quaesit ad 128 hoc est ad 31io it 8 ra a 3 erit ut a 3 ad 81 sic IIo . ad quartum quaesitum , seu ad O 68 Hoc est io 3 68 se habet ad 31io . seu a partes ducentesimas quinquagesimas sextas magnitudinis AB. ut i ad 2 et uae videm portio, etiam ex sola multiplicatione antCcedentiumue ognoscitur. I. ducta in assi dant io 3 68 ritque ratio partis hujus datae, quae ad ia8 se habet, ut 87 a a 3. ad Otam magnitudinem AB. seu a Q.

Ut o 368Gad ora O8 Adeoque magnitudo quae pri

Us eo modo divisse erat, ut pars ad totum esset ut 1 agar a s . nunc iterum secundum eandem partem ita clivisa est, ut pars posterior ad priorem sit ut 8 I. ad a 3 ad totum autem Ut. Io 368 ad rao 8. seu reductis HVmeris ad minima, ut 1 ad 6 S

eoi CD, Vae quidem si invi cem debeant esse commensurabiles, 4m CD. biseri-