Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

191쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 79tio vocatur επι ρης opposita huic em προθέσει

perpartiens, submultiplexsuperpartiens.Sic ratio 18. ad s. est triplasupertripartiens, 17 ad s. triplasupcr-hipartiens ratio autem f. ad 8. est subtriplasupertripartiens, s. ad 7 subtriplasuperbipartiens. Omnium ergo rationum excessus, quinque sunt species effabiles, defectus totidem, Multipla, superparticularis, superpartiens, multiplasuperparticularis, multiplasuperpartiens. Effabiles qVOq; rationes defectus totidem classes constituunt, apponendo prioribus particulam sub Submultipla,subsuperpam cicularis, subsuperpartiens, submultiplasuperparticularis, submultiplasuperpartiens. Quae quidem innumeris accuratius perspiciuntur. XII. enim ad a. habet rationem sextuplam, a quadruplam, ad triplam, ad 6 duplam quae omnes rationes sunt multiplae. versae autem harum submultiplae, nempe, binarii ad

1 subsextupla ternarii ad a. subquadrupla ad 1 subtripla; 6 ad Ia subdupla. Rursum a. ad habet rationem sesquialteram, ad 9 sesquitert1am, ad 1 sesquisextam, ad 11 sesquiduodecimam, quae omnes rationes sunt superparticulares, 'is oppossitae συν τη Oam ποθεπε cum praepositione vocis seu sub ut verbisNicomachiGerasen utar 'Immώριοι se subsuperparticulares , nempe . ad a. subses-Quialtera Graece υς ημιολιος 9. ad ar subsesquitertia,

192쪽

II ad 12.

Porro a ad 7 habet ratione superpartiente menape illam quae Graece vocatur ἐπιπεν ismρ is, Latine su- Perquinquepartiens, ratio vero . ad 12. est subsuper

ad a. cst quintuplasesquialterat a. ad 4.subquintu-plasesquialtera rursum 11 ad F. est duplasesquisexta, ad 11 subdupla- sesquisexta. Quae sitiat rationes

tiplaesuperparticulares, submultiplaesuperparticu

Deniq; Ii ad s. est ratio duplasuperbipartiens, It ad . ratio triplasuperbipartiens, II. ad . duplas pertripartiens δε inversa harum eadem nomina retinent i Oθεσε Praeponendo particulam sub. Atq; hoc qyod in numeris explicatum est, in magnitudinibus stabilibus eodem modo consideratur. Ratio enim effabilis in magnitudinibus est, ut numerus ad numerum, sicut Euclidi demonstratum est libro X. Elem. Propos V. I. VII Quae vero rationes nunaeris CXplicari neqVeunt, generaliter quidem

messabiles appellantur suntque vel majores rationea -qVahtatis, vel cadem minores. Si maiores iterant ratione aequalitatis, adeoq; antecedens consequens eX- cedat,

193쪽

DE VEα1TAT GEOMETR. LIB. II. 18t cedat, λον ς περ se ratio eXcesus dicitur cui contraria est ratio defectus, quae ratione aequalitatis minor est, quando nempe antecedens minus est consequente. Verum Videm est, Omnes illas quas antea recensu1mus ratione , Vae qVidem aequalitatis non sint, necessario vel excessus este, vel defectus. Sed quoniam singula earum specialia habent nomini; hae ineffabiles, cum singulari nomine careant, generali denominantur. QVO Vero rationes excessiis rationibus aequalitatis vere dicantur majores rationes defectus hisdem minores postea diductius demonstrabi

CAP. V. Atq; hactenus quidem rationes juxta primam ipsarum generationem consideravimus nunc vero ulterius progrediundum, .affectiones ipsarum paulo accuratius inspiciendae. Primum ergo, qvod considerandum occurrit, hoc est quod aliae rationes sint simplices, aliae compositae. Simplices vel absolute, tales sunt, vel respective. Simplices absolute, quae omnis compositionis sunt expertes. Simplices vero respective, seu siccundum quid , quae aliarum rationum respectu, qVae echis componuntur, simplices appellantur. Absolute ergo simplices solae rationes qualitatis sunt , nullam enim compositionem agnoscunt omnes enim rationeS: equalitatis habent rationem, ut I ad I Ut vero intelligatur quid sit com

194쪽

W1LATLMI LANGI positio rationum , de ipsa compositione pauca dice

Compositio es , quando duae res ita inter se gui guntur, ut unam rem faciant majorem prioribus singulatim sumptis, simul vero sumptis aequalem Huic autem opponitur divisio. Dixi compositum majus esse quavis parte componente sigillatim sumpta. Genim cum duae res separatae antea, invicem unctaei tum aliquod effciant utique res illae quae jungiuatur partes erunt componentes Totum autem erit compositum. Est autem totum majus singulis suis partibus. Fit autem compositio, vel per additionem, vel per multiplicationem : sicut divisio per subtractionem vel divisionem. Quando,nim linea 6 pedum adjicitur lineae 6. pedum, totum est a pedum. Sic me s. pedum composita cum linea 3 pedum, hoc est ad ecta lineae 3 pedum, dat lineam I pedum Idipsum in δ l ' Pq, im gnitudinibuS, tam effabilibus, quam inestabilibus, tum quoq; in numeriSOmn1S generiS, Omnibusq; ponderibus verum deprehenditur. Alia autem compositio fit per multiplicationem, qVando numerus innumerum, magnitudo in ma ni- tusinem; pondus deniq; in pondus ducitur. Siccuodenarius componiture senario ducto in binariti, vel quaternario ducto in ternarium octonarius ex quaternario ducto in binarium. Sic rectangulum parallelogrammum ABCD componitur eclinea AB

195쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 183ωBC in se ductis. Omnis enim linearum rect arum multiplicatio dat compositum , parallelogramum rectangulum. Quibus probe ac diligenter observatis, videndum porro est, qualem compositionem rationes

admittant. Diximus vero antea omnem rationem duos habere terminos, antecedentem consequentem. Si ergo rationekerunt componendae, tum termmi ipsi conjungendi, idq; vel per additionem, Vel per multipli

Termini autem vi conjunguntur vel ejusdem rationis sunt, vel diversarum. Ejusdem rationis, quando antecedens cujusdam rationis,compositus cum consequente ejusdem rationis, dat alter1us rationis antecedens Euclides his verbis definit. Συνθεα λογου λη ψις γηγουμάνου G

ni essumptio antecedentis una cum consequente ad idem consequens. Sic ratio9 pedum ad . pedes erit composita ratio CX 6 pedum ad 3 pedes. Sic ratio 7 ad a. hoc modo dicitur composita ex ratione s. ad

Huic autem opponitur apud Euclidem divisio ratio nis, quae his verbis definitur. Διώρεας- λον 'VE λή- ὰυς δε ποπινον. Divisio autem rationis es sumptio excessus, quo antecedens excedit conssequens, ad idem consequens. Observandum vero est beneficio hujus

196쪽

18 ILHELM LANGI. compositionis continuatae, Omnes rationes multiplas generari incipiendo ab aeqValitate. Si enim ' antea cedens junctum consequenti, conferatur Um consequente erit rati, dupla Si rursum antecedens unctum consequenti conferatur cum eodem consequente; oritur rati, tripla Rursum hoc antecedens junctum consequenti; dat rationem quadruplam &sic in infinitum. Adeoq; hoc modo ratio 'vadrupla componitur ex ratione aequalitatis S ratione tripla i ratio tripla, ex ratione aequalitatis de ratione dupla deniq; ratio dupla,ex ratione aequalitatis hoc modo composita. Eod naturae rerum apprime conVC-nit Equidem alii ut hanc compositionem melius

demonstrarent, alium introduXerunt modum compositionis per additionem. Cum enim Observarent, si rationes aequales adderentur, ita ut antecedens antecedenti, consequens conseqVenti Oim tangeretur; tum non majorem, nec aliam auctioremve rationem generari, sed eandem plane cum priori tantum antecedentes termino conjunxerunt, eodem consequente retento. Etenim si addantur, ita ut antecedens antecedenti, consequens consequenti ungantur, Oritur ratio ' quae est aeqvalis 1 rationi. Sic si Paddantur eo modo oritur ratio et quae eadem est cum ratione I inamvis enina, antecedens terminus, consequens rationis et excedant term mos rationis rivi libet, quemlibet , ratio tamen est adem.

Ratio nim Post sesquialtera, sicut Q cst sesquial

teras

197쪽

DE VERITAT GEOMETR. 1 B. II. 18stera, it se habent tria ad duo, sic se habent . ad . Hoc est ut se habent se pondo ad . pondo, sic se ha

bent . pondo ad duo pondo. Et ut centum ulna: panni ad 3o homines Vestiendos sic se habent so ulnae ad 13 homines vestiendos. Matio est eadem, nempe dupla quamvis termini utrinq; majores Hoc itaque

cum Geometrae4: Mathematici animadverterent, facile considerarunt rationes per additionem terminorum utrinq; componi non pose Quoniam vero viderent, in plurimis rebus, hanc rationum compositionem, quae additione peragitur, magnum usum habere: hoc modo eandem perfecere. Diversarum enim rationum antecedentes terminos invicem additione

conjunctos cum eodem consequente Compararunt, adeoq; certo modo compositam lationem habuere. Quamvis si accurate loqui velimus, haec compositio non est integrarum rationum , sed tantum duorum terminorum nempe vel ejusdem rationis,ut in compositione,qua juxtaEuclidis mente recensuimUS. Velantecedentium tantu termmoru diversiarum rationum .Et si

posterior quide modo compositiosiat,tu rationes multiplas easde habebimus quas prius Componatur enim ratio L datur ratio'. Antecedentia enim duae unitates

compotitae, dant duo quae collata cum unitate eodem consequente, dant rationem duplam.POrrohaec rursu composita cum ratione aequalitatis, dat rationem triplam P. Etenim duo&unum dant tria consequens,

autem idem est ratio ergo est l. Si rursum haec ratio Aa cum

198쪽

cum rat1one aequalitatis Componatum, oritur ratio quadrupla. sic quintupla , sextupla atq; in infinitum. In his vero omnibus rationibus, idem obtineatur methodo Euclidis, si nempe antecedens junctum consequenti cum eodem consequente comparetur, ut antea indicatum fuit. It Ver rationes alias eodem modo investigare aut componere aliquis voluerit, id quidem posteriori methodo facillime sit. Ita eniim ratio sesquialtera componitur e ratione aequalitatis, quae integrum seu totum repraesentat,&ratione dimidia e dat Ratio enim duo ad duo est aequalitatis; est subdupla composita dat Sic ratio quintupla componitur ex ratione duplai tripla D, dant Habet vero haec rationum compositio magnum in 'Mechanicis usum,1mois omni vitae genere. Sit enim V. g. lacus aliquis forma rectangulari oblonga quis plenus, cuius longitudo sit pedum Co. latitudo D. prO- fundita 8 pedum. Aquae ergo omnes lacus facient pedes cubicos O OOCO Longitudo enim ducta in latitudinem, dat superficiem aue OG pedum quadratorum, in quam ducta profunditas, dat totum corpus

Vel molem aqueam OCO O pedum cubicorum. O- cum Vero quam celerrime evacuatum velim. Habeo autem rotam decem concavitatum scit camerarum, quarum singulae pedem unum cubicum CX hauriunt,iΠ-

1 autem rota Otaq; ipsus peripheria uno minuto horari unam facit circumgyrationem. Locum autem Purg tum optarem spatio unius diei, vel etiam breviori,

199쪽

D VERITAT GEOMETR. LIB. II 187viori, si fieri posset. Applico praeter priorem rotam

alias tres, quarum singulae decem quoq; habeant concavitates, sed triplo capaciores, ita ut singulae tres pedes cubicos exhauriant : habeo praeterea ad manum duas adhuc alias rotas quindecim cameris instructas, quarum singulae exhauriunt duos pedes cubicos aquae. Appositis ergo omnibus se rotis cr1 ratio unius Camerae primae rotae ad totam aquarum molem, EUUUUL adeoq; totius rotae Ed5538 se 1553L Ratio porro alterius rota est ad totam aqVarum molema.dUUῆ. Etenim cujusvis camerae ratio est 5555J adeoque decem cauitatum erit 355v seu ut supra. Tres autem orae eodem modo sunt constructae, eandemque singulae capacitatem habent unde ratio earum ess eadem Denique rota quindecim cavitatum habet

rationem ad totam aquarum molem 555lo seu 2oocissquaevis enim caVita capit a pedes cubicos, adeoque ratio cujusq; aVitatis ad totam aquarum molem est a GJU seu UUOct. Unde Ii caVitatum erit 355 C

seu retento Odem consequente His ergo omnibus rationibus invicem composit1 dabitur evacuatio convenies uni minuto horario, unde cognoscetur vacuatio unius horae , adeoq; Vanto tempore tota vacuati eontingat. Reductae autem omne rationes ad eundem terminum consequentem , habebunt se omniajuXta priora posita cujusvis muti evacuatione ut prius.

200쪽

Compositae vero hae rationes, dant rationem omnium rotarum ad totam aquarum molem singulis minutis Abba et Una ergo Ora dabit 6O circum Vrationes, eritque ratio a seu εἶ oris ergo et o &FO . Ollis lacus evacuabitur. In his ergo aliisque plurimis exeniplis hujus generis, haec rationis compositio locium habet. Si enim tum per multiplicationem progredi vellem, nihil essicerem. Hoc ergo modo

ex ratione νω composita dici potest ratio quintupla , quamvis ccmpositio haec valde sit imperfectu

ut antea dicatum cum non totae rationes, sed tantum termini artim antecedentes componantur Integra autem perfecta compositio rationum est, quando cluarii rationi CXccssu ambo Citii in antecedens cum antecedente,& consequens cum Onseu uente invicem conjunguntur. Talem vero compositio-

prehenderunt. Etenim cum omnis compositio, rem compositam auctiorem, majorem reddere debeat quam antea ibit ergo cum id additione amborum' terminorum inricem non semper fiat, sed in omnibus quidem aequalibus rationibus totum sit enitale

singulis partium unde componitur, in aliis ver ali

nere Oluerim, ratio crit tripla. Habeat enim in figura