장음표시 사용
211쪽
DE VER 1TAT GEOMETR. LIB. II. 199am erit secanda Continet enim AB totam in se CD. ter, partem praeterea ipsi iis dimidiam hoc est, habet partes 7 tales , quales CD. habet tias. Optarem tota AB. bifariam secto in E omnes tres magnitudines AB. E. MCD commensurabiles emcere, ita ut eadem mensura mensurari possient. Divido
singulas partes septimas ipsius ΑΒ bifariam, hoc st, multiplico . per binarium, prodeuntis . Adeoque tota AB. talium est i , qualium AE est . Divido quoque singulas partes ipsius D. bifariam, hoc est multiplico duo per duo, prodeunt Cum ergo AB nunc sit q. partium talium, qualium CD. est quatuor erit AE. 7. talium,qualium CD.est quatuor. Atq; hoc facissime ipsi rationum compositioni applicatur. Ratio enim AB ad CD est eadem quae partium . an Ratio autem AE ad AB est semissis ad integrum,
hoc est 1 ad 2 Quaero rationem AE ad CD quam antea deprehendi esse, ut7. partes ad qVatuor partes. Divido rationem . ad . per rationem 1 ad 2. 'videm multiplicando antecedentia invicem .consequentia invicem prodit ratio .ad .Etenim in rationibus II semel septem sunt septem, bis bina quatuor prodit ratio S. Dixi autem in omni divisione, divisum vel utroque terminoria singillatim sumpto minus esse, vel alterutro. Etenim si o. dividantur per quatuor,divisum erit s. in quinque minor quidem est dividendo , sed major divisore quaternario. Si vero a I. dividantur per ioci divisum crit duo: tum divi
212쪽
roo WILHELMI LANGI. sunt minus estvi dividendo,& divisore. Quod ipsum in rationum divisione locum habct. Si cnim ratio exces sus dividatur per rationem desectus, divisum minus quidem est ratione excesiis , sed majus ratione dein sectus. Ut in antecedenti schemate, ratio 7 ad .cst major quidem ratione sed minor ratione . ad a. seu I . ad . crum de his plenius ubi ad rationes
majores S minores ventum fuerit. Nunc tantum naturam divisionis indicash voluimus.
Verum pluribus haec eXemplis sunt illustranda. Sit anagnitudo AB. . partium talium, qualium CD sita Secetur AB. in AF.ita ut tota AB, tres partes talas habeat, quales AE majus segmentum habet duas;&minus BE. unam. Velim scire qua communi mensura majus segmentum 6 CD magnitudo mensuranturi Seco totam in tres partes, it conveniant invicem
particulae ipsius CD.4 AB seco singulas partes septimas B. singulas partes secundas CD. trifariam. adeoque tota AB habet a I. partes tales, quales CD. habet . Majus ergo segmentum habebit tales, quales AB habet a. hoc est quales C habet 6. Id autoni ipsum brevissima methodo investigatur, multiplicando a per . tria per duo. Nami AB.tum debito modo secta est: segmentum ejus factum est commensurabile ipsi CD. Est vero ratio AB. ad CD.
Ut partes 7. ad a. ratio autem AE. ad AB. est ut duae partes ad tres partes, seu ut a. ad 3. Multiplicentur antecedentia cum asuecedentibus,, conseqVentra
213쪽
DE VERITAT. GEOMETR. LIB. IL ΟΙ cum antecedentibus,d Consequentia cum consequentibus, erit bis septena ter bina . . datur ergo ratio Moris segmenti ad CD ut I . partes ad 6 vel p. ad 3. Compositio ergo Vera perfecta rationum earundem perfecta divisio, eodem plane modo fiunt permultiplicationem. Tantum inter ambas hoc discrimen est, quod tertium seu productum illic augeatur, majusque sit utravis rationunt heic vero minuatur Sole utraque rationum minus sit, vel una. Et nequis existimet hanc divisionem jure appellar non pos se demonstro, divisionibus qua partes tota, juXta
certam mensuram, vel partes parte secant, hanc eandem dividendi methodum locum habere. Si enim duae septimae partes licimus magnitudinis in quatuor quinque partes sint secandae , hoc est AE 'ae habet duas partes tales, quales AB habet . secanda erit in singulis partibus, ita ut quaevis pars secta se habeat ad quamvis partem secundam ipsius AE. Vel septimam AB. ut CF ad CD. hoc est ut quatuor ad quinque. Seco singulas partes in quinque Adeoque tota AB. secta est in partes 3 3. tota autem AE in partes IO Ut vero quatuor ad quinque, sica ad decem. Adeoque octo decima partes ipsius AE erunt octo tricesimae
quintae partes ipsius AB. Idipsum methodo superius tradita facillime investigatur Partes enim sunt quae conjungantur invicem multiplicando superiora cum superioribus i Graeci superiores numeros vo- Cc cant
214쪽
W11 MEL MI LANGI.cant nae λογους inferiores πιγλογους prodit numerus j. Id ipsum adeo in omnibus partium divisioni bus contingit, quae per alias partes diViduntur. Partem autem voco quicquid ab alio e ceditur, vel una,
vel pluribus partibus sicci I sim partes Lautem
partis partiumve nomine non Veniunt cum totum sit, continens in se tot partes tales alterius. In omnibus ergo magnitudinibus commensurabilibus partes dicuntur quando antecedens minus es consequente. Totu vero,quando antecedens majus est consequente. Ut ergo semel dicam, quando tota cum partibus, vel partes cum partibus hoc modo conjunguntur, divisio fieri dicitur. Eicnim quod echa conjunctione fit, minus est vel uno vel alterutro terminorum. At compositionem id vocare, quando id quod fit, minus est eo ex quo fit, id vero perabstirdum esto. Si enim res componuntur, augentur Sc compositum erit totum ea Vero quae componunt, partes Totum autem majus
esse partibus suis haud dubium. Quando ergo ratio CXcessus conjungitur cum ratione defectus, ratio eXcesiis per ratione desectus divisa est: dc illa ratio quae de oritur, ratio dulisse appellatur; saltem ita appellarijure debet : quandoquidem semper minor sit quam ratio eXcessus primo loco posita. Eodem modo, quando ratio defectus cum ratione defectus permultiplicationem conjungitur major ratio minore diiuditur S ea ratio quae ex hac conjunctione Oritur, minor est utraque adeoque divisum. Quod
215쪽
D VERITAT GEOMETR. LIB. L . o 3 in sequentibus postea plenitis demonstrabimus. Optime ergo Euclides, quando hanc conjunctionem rationum indicare Voluit, semper usus est voce συγκεῖ conjici aut conjungi ; non vero υνίθε ι quod alii forte Graeci Mathematici non tam diligenter obseruauerint quamvis & certo modo eorum vocabula explicari possint: qua de re pluribus postea dicendum. Quod si quis praefracte contenderit , etiam illam
coim unctionem , compositionem esse dicendam, quaesit inter rationes excessiis sedesectus, vel rationes defectus inuicem non video quomodo compositionem a divisiones unxerit. Etenim compositionem esse contrariam divisioni, vi quisquam negauerit. Neq; ullum arbitror dicturum, divisionem ullo modo pi,sse appellari compositionem. At quando duae magnitudines ita invicem conjunguntur, Ut nil Produci um faciant minus vel utraque earundem magnitud1num , vel una saltem tum diuidit una magnitudo aliam eandemque imminuit, non ero auget.
Diuisio ergo rationum ex divisione magnitudinum optime intelligitur , sicuti illarum compositio, ex
harii compositione. moniam vero haec accurate in rationibus demonstrari nequeunt , nisi antea rationes aequales Dinaequales fuerint explicatae harum
naturam jam paucis indicabimias, cum unum per aliud eo melius facilius intelligatur.
216쪽
A quales rationes dictuntur, tuae se inuicem nee majores sunt, nec minores. Mati autem altera ratione major dicitur, quae aequalam excedit minor Vero quae ab aequali ratione deficit Sicut autem
quantitates cum quantitatibu comparatae, Vel aequantur inuicem, vel sunt inaequales, ita ut una quidem aliam eXccdat , altera ver CXcedatur ita etiam rationes invicem comparatae, uel aequales sunt, uel inaequales. Equales rationeS sunt, quarum quantitas est. aequalis: ut dupla ratio duplae; tripla, tripta; sextupla, sextuplae sesquialtera , sesquialterae atq; sic in Om-n1bus rationibus eXcessus tum subdupla, subduplae;sbb- tripla, subtriplae subquadrupla, subquadruplae subsesquialtera, subsesquialterae atque sic in infinitum. Exaequalium Vero rationum natura, inaequalium rationum cognitio dependet. Sunt enim inaequales rariones, quarum quantitates invicem comparatae sunt inaequales; cujus quantitas major, illa ratio major est cujus vero quantitas minor, illa ratio minori Quantitate autem, per aequalitatem mensurantur renim magnitudo quaecunque cum alia quacunque magnitudine comparetur , quarum una aliam CXcedit sumatur in majori magnitudine alia, minori aequalis , dabitur statim Xcesiis majoris. Ita etiam in rationum collatione, si una conferatur cum ratione quae alteri est qualis statim quidem apparebit, an altera ratio velis o sit, vel minor, vel aequalis . QU*- .rendum
217쪽
rendum ergo primo, qua methodo rationes aequales inrestigentur Et in magnitudinibus quide una ac simplicissima methodus estp, nempe per multiplicationem in rationibus excessiis, S divisionem in rationibus defectus. Est enim multiplicatio,ut unitas ad multiplicantem, sic multiplicandus ad multiplum seu quartum quaesitum. Ut verbi gratia in numeris, si velim multiplicare I 8. per . erit ut . ad , si 128. ad 112. Contra divisio est, ut divisor ad unitatem, sic dividendus ad divisum,seu quartum quaesitum, ut sis a dividendus sit per ir 8.erit ut et 8adci, sic 12. ad . Quod autem unitas in numeris, id minor duarum magnitudinum est in magnitudinibus. Quando enim quaero aliquam magnitudinem v toties aliam in se contineat magnitudinem, quoties alia magnitudo aliam, hoc est ut clarius dicam, quando datis tribus magnitudinibus, quarum prima major est quam secunda;
tertiae excedat tertiam, juxta quam prima excedit secundam constructis triangulis similibus , ut in figit. num. V. dico ut secunda ad primam, sic tertia ad quartam Sit enim AB. . pedum BC. . DE. 9 pedum dico, ut se habet BC ad AB. sic DE. ad quartum quae
Quod quidem sola multiplicatione investigatur. In lineis autem est, ut BC ad AB, sic DE .ad SA. Atq; hoc adeo in omni multiplicatione verum est. I e-
218쪽
nim BA fiterit dupla ipsitis EB etiam EA. erit dupla ipsius DF. f BA sesquialtera ipsius BC, etiam EA. erit sesqnialtera ipsius ED: ac demum juxta quamcunque rationem, AB. major fuerit magnitudine BC.juXt eandem rationem magnitudo A major erit magnitudine DE.
Omnis ergo multiplicatio in magnitudinibus hoc modo fit. 1 datis tribus magnitudinibus, quarum
prior major sit secunda, Vaero autem Variam, quae JuXt eandem rationem hultiplicationem sit nanor tertia, qua prior major es secunda dico, ut ecunda minor ad primam majorem, sic tertia ad quartam. deoque quando datam quacunqe magnitudinem ita augere velim, ut aucta seu composita ad simplicem habeat eandem in excessi rationem, quam alia magnitudo major ad aliam minorem , constructo triangulo juxta figuram num. V. dico ut secunda minor ad primam majorem, sic tertia ad quartam. Adeoq; habeo magnitudinem auctam seu compositam JuXta illam rationem, quam habet prima ad secundam Si vero datis tribus magnitudinibus, quarum prima minor est quam secunda, vellem autem tertiam ita dividere, ut. portio ad totam haberct candem rationem quam prima ad secundam : exstruo rursum triangula similia bina, ut in figura num V atque inde concludo, ut secunda seu major magnitudo ad primam minorem, sic tertia ad quartam, seu ad divisum Ut in sigura numero V. si magnitudo AB cset triens
219쪽
DE VERITAT GEOMETR. 1 A. II. ror magnitudinis AE , quaererem vero trientem ipsus DE, constructis ut illic triangulis aeqviangulis dico ut EA. major magnitudo ad BA. minorem; sic DE. ad CB. Adeoque JE. magnitudo divisa est in tres partes, CB se habet ad DE. ut BA. ad EA. Multiplicatio ergo& divisio eodem plane modo perficitur, tantu hoc discrimine retento, quod in multiplicatione factus habeat ad tertiuim,ut Mus ad minus in divisione vero, factum seu divisum se habeat ad tertium , ut minus ad majus operatio quoque in multipsicatione diversia est ab operatione in divisione. Illic en1m pro inveniendo quaesito est,ut minor ad majorem terminum, sic tertius terminus ad quaesitum. In divisione autem pro inveniendo diviso dicimus , ut major terminus ad minorem, sic tertius ad quaesitum. Quod utrumque ex priori exemplo liquet In multiplicatione enim DE.pro invenienda EA. multipla ipsius, erat,ut CB minor terminus ad AB maiorem, sic DE.ad EA. Factum autem per hanc multiplicationem,nempe EAad suum terminum DE se habet ut major terminus B ad CB. exmmum minorem. In divisione autem pro invenienda CB. parte ipsius E. est ut EB major terminus ad BA minorem terminum; sic DE. ad
CB. Divisum autem CB se habet ad totum E ut
ΑΒ minor terminus ad AE. majorem terminum.
Quando ergo datis tribus terminis, Vaeritur quartus qui ad tertium terminum eam habeat rationem
quam primus ad secundum, videndum statim est , an
220쪽
ro WILHELMI LANGI. primus terminus sit major secundo, vel minor. Si ma-3orcst secundo, hoc est, si fuerit ratio χcessus, tum quartus erit major tertio adeoque tertius terminus augendus est seu multiplicandus, fietque ut minor ad majorem, sic tertius ad quartum. Tum enim quartus ad tertii eandem habebit rationem quam primus ad secundu Atque hoc modo in omnibus rationibus Xccssus queritur ratio aequalis per multiplicationem. Quod si primus terminus secundo mitior fuerit, tertius te minus dividendus erit, dicendum i ut major ad minorem, sic tertius ad quaesitum. Ita enim quartus terminus eandem habebit rationem ad tertium quam primus ad secundum Talique modo ratio aequalis
quaeritur Cuicunq; rationi defectus. Omnis ergo O- Peratio Per quam quartus terminus ita quaeritur, ut cicatur, Ut minor terminus ad majorem, sic tertius ad quaesitum est multiplicatio. In qua autem Quartus itaq ritur ut dicatur, ut major terminus ad minorem, sic tertius ad quaesitum vocatur divisio In mul
nim sena sunt triginta. In divisione autem cst ut ea I sic O ad 6. Vinque enim in triginta habeo se- Nies. Quod autem unitas in numeris, id inter magnitudines, minor magnitudo ex duabus est Haecrgo methodo cuicunque rationi data alia ardvalis tum multiplicando altera ratio acquiritur. Si vero