장음표시 사용
221쪽
constituitur inam autem nos aequalem rationem dicimus,eam Euclides similem vocat quamV1s in rationibus inaequalibus nomina quantitatis retinuerit, vocando unam majorem. alteram minorem Aristoteles vero eadem appellatione usus est, qua nos. Illi enim ratio aequalis dicitur, quam nos hoc nomine insignivimus. Quod vero Theonem Smyrnaeum attinet, is singularem hac in parte sententiam habet. Vocat enim rationem aequalem, qVam nos
aequalitatis dicimus, cquam ipsemet alibi λογν ἰσολυς appellat majorem vero, quae nobis ratio excessus dicitur Graecis λονς περοχῆε oppositam Vero huic rationem defectus vocavit λογν ελαβον α seu rationem minorem. Locus est capite XXII. librite-cundi seu demussica, Ἀὼν Κλο inquit i , εἰ φιχ ει-
Rationum aliaesunt majores, alia minores, aliae veroqvales qualis ergo una est is eadem, omnesque rationes praecedit, ac clementi vicem habet L s -
222쪽
rio ILHELMILANGLles autemsunt , quae eandem inter se aequalitatem a bent, ut unum ad unum, duo ad duo , decem ad decem, centi ad centi . Maserim vero rationum aliae sunt multiplae, aliae superparticulares, aliae neutrae. Cuinorum pariter, aliae sim submultipli, aliae subsuper- sarticulares, aliae neutrae. Ex quibus id sequi videtur quod antea indicavi, aequalem rationem Theoni Sm3rnaeo appellari, quam nos aeqValitatis dicimus, imo quam ipsemet plurimis in locis λόγνἰAm βις appellat. Equidem, si diceremus numero G ades et , reis; δ λυρος 'θν ωρὶς -6 a Theone tantum notis fuisse indicatos, scriptumq; -ά,1 aes; , aedi g etis; per que hos numeros quantitates,intelligenda essenon terminorum inv1ce, sed ipsarum rationum: adeoque integre scribendum
st unu ad unui seu simplia ad simplubdupta duplu, decupli ad decuphim , centuplum ad centupli 4
facile haec Theonis verba cum aliorum Geometrarum mente conciliari possent. Si enim duae rationes aeqValitatis invicem comparantur utrinque est ratio unitatis
ad unitatem. Ratio autem dupla es aeqvalis rationi duplae, decupla decuplae centupla centuplae. Id quoque quod de majoribus rationibus subjungitur, illas sic vel muli iplas, vel superparticulares, Vel neu
223쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. II tras; fatis commode eXplicari posset nepe ut ratio non-cupla vel vigecuploseptupla&c esset multipla rationis triplae illa quidem dupla vel duplicata, haec tripla vel triplicata. Sic ratio 81 ad 3 est sesquialtera rationis , . ad 3. ratioci I ad i. es sesquitertia albonis et . ad I Ratio autem a 3 ad 1 collata cum ratione 27 ad I neque multipla est, neque superparticularis, sed neutra,&quidem,juxta priorem methodum est superpers. Eodem modo ratioci. ad 27 .est subtripla rationis, ad 7.MI ad 8 .subquadrupla rationis et r. ad 8 i. sic in coeteris. Sed quae de harmonicis postea subjunguntur , cum hac explicatione non videntur convenire posse. Quicquid sit certum quidem est, Theonem Smyrnaeum & alibi placita aliorum Geometrarum non tam accurate fuisse sequutum.
Cap. enim XXI. libri secundi definit ναλογίαν,
quamcunque mutuam habitudinem duarum rationum inter se Aναλογια δὲ 'ta λογων, caedis 2Μηλους πιια
ὶαι, νὼ δυο b,ύτως κn se πώ recent. Analoeia autem eu proportio, est mutua quaecunque rationum relatio, verbi gratia, ut duo ad unum,s odio ad sa- tuo Exemplum quidem adjunctum veram Geometricam proportionem monstrat sed defin1t1 111-mis est generalis. Etenim si ναλ est mutua quaecunq; rationum relatio, ν -- άλληλου οπια αεπι, saliscunq; relatio rationum inGicem utique cum n-lerrationes in . o ad a. detur aliqua relatio, et- Dd a iam
224쪽
21 WiLHELMI LANGI iam illic erit αλογέαι quod tamen verum non est Αναλο δε enim est quando rationes eaedem vel euvales fuerint Ita quidem bonus hic Theo parum accuratus in scribendo fuisse deprehenditur inio autem
Marcus et bomius hunc Theonis Smyrn IVe
re sive Opinionem, veteribus in genere attribuit amo
ob rem, eosdem carpit id vel im,
quit illi inter veteres rerum Geometra
si is es 'y' Plonius postea demon
a u. Neque tamen adeo omnes rationes CX- cessus
225쪽
D VERITAT GEOMETR. LIB. II. 213 cestis simpliciter loquendo majores sunt dicendae, nisi
respecti ration1 aequalitatis. Neque omne rationes defectus simpliciter minores sunt dicend: ei nisi respectu rationis aequalitatis. Nam ut una rati excessus,altera ratione excessus, major est,altera minor sic eodem modo, duae rationeS defectus invicem collatae, unam faciunt altera minorem, alteram Vero majorem.
Quando ergo ratio aequalis aut major aut minor dicitur tum id semper fit respectu alterius rationis. qv1dem si dicamus Theonem unamqVamq; rationem duplici modo considerasse, primo'Videm, Ut antecedens ad consequens, secundo, ut consequens ad antecedens aliquo modo haec sententia tolerari potest. Nam inrationibus aequalitatis, ut antecedenSad consequens, sic consequens ad antecedens. In rationibus vero excesssius, antecedens ad conseqVens majorem rationem habet , quam consequens ad antecedens In rationibus vero defectus, rati antecedentis ad consequens est minor quam consequentis ad antecedens. Id certum est Veterum Geometrarum praestantissimos optime novish'Vaenam rationes Lsent aequales, quae majores, quae minores. Adeoque
meracalumnia est Meibomii, qui veteres in genere sine omni eXceptione accusat, quod in his appellationibus erraverint vid. pag. libri ipsius Io. in 7. I. confer cum hac paginam quam illic citat , nempe decimamtertiam.
226쪽
Explicata methodo inveniendi rationes aequales tam in rationibus excessus, quam defectiis nunc illud nobis incumbere videtur, ut quod antea sumus polliciti, id jam praestemus, rationumq; conjunctionem, tam componendo, quam dividendo in medium adferamus. Est ergo conjunctio rationum, quando sicctum ex multiplicatione aut divisione antecedentis termini, alicujus rationis, per aliam rationem, Omparatur cum conseqVete eiusdem rationis Ut sint duae rationes 7 ad a. ad 3 invice conjungedae.Rationi 7 ad a. qVaeritur aequalis quae se habeat ad .ut 7 ad a.dico ergo,ut 2 ad 7.sic ad I Ratio ergo 14 ad 3 est composita CX rationibus . ad a.&4. ad 3. Eodem modo, si quaeratur ratio facta ex rationibus et ad . . . ad 3 dico dividendo, uir ad a. sic ad alium I. Icilio ergo δ ad 3 seu ad ri in integris numeris. st facta per divisionem ex rationibus a ad . de . ad 3. Omnis ergo rat1o, quae cum alia ratione conjungitur, est vel excessiis, vel defectus. Si ratio fuerit cxcessus , tum per multiplicationem factum inveniatur. Si autem ratio fuerit defect iis perdivisionem. Atque illic quidem factum crit maius, utpote compositu heic vero factum erit minus,utpote divisum. Quod exemplis ac demonstratione oculari melius percipitur. Tres autem omnino casus sunt, qV in hac conjunctione considerantur. Etenim vel duae
227쪽
D VAχITAT GEOMETR. LIB. II. Is duae rationes exces is conjunguntur invicem, vel duae rationes defectus, vel una ratio excesitis altera desectus. Si ambae rationes CXcessus fuerint multiplicando productum augetur: adeoq; ratio composita sit major rationibus componentibus. Si ambie rationes fuerint defectusci tum una rati alteram dividit rati-oq divisa, utraque ratione, nempe÷nte, dividenda, minor est. Denique si una ratio fuerit excessus, altera defectus tum ratio excessus, divisa per rationem defectus , dabit factum seu productum, minus quidem ratione eXcesiis, majus vero ratione desectus. Sit in figuranum. I. ratio A ad B conjungenda rationi C ad D. utraq; quidem ratio es eXcessus, Aen1m excedit B. C Xcedit D. quaero ergo
alium terminum nempe E qui quidem se habeat ad ut A ad B. Quoniam ergo quaeritur ratio E ad C aequalis rationi A ad B investigatur quidem ille in lineis per multiplicationem critque, ut Bad A. sic Gad E. vel constructis binis triangulis aeqviangulis, factaque ΙB aequali rectrae B, IC aeqval recta C, denique B aequali rechaeis erit multiplicando, ut minor terminus IB. seu B, ad majorem B A seu A sic IC seu C. ad C E vel E. adeoque ut se habet AB ad EI. hoc est A ad B; sic se habet EC ad I vel Ead C. Ratio ergo E ad D est secta per conjuncctionem duarum rationum excesssus A ad B, ad D. idque vcniendo per multiplicationem terminum E, rationem E ad C aequalem rationi A ad B. In
228쪽
216 ILHELMI LANGI. In omnibus ergo magnitudinibus , quando duce
rationes eXcesitis invicem conjunguntur, tum terminus ille qui cum consequente alterius rationis, ut cum suo proprio conseqVente comparatUS, dat rationem conjunctam seu compositam, seu qui ad antecedentem terminum uiuus rationis se habet, Ut antecedens alterius rationis ad stium consequens invenitur permultiplicationem. Adeoque ratio composita ex binis rationibus excessus est major utraq; ratione, ex qua componitUr. mando autem duae rationes defectus conjunguntur invicem, ita ut faciant aliam rationem tum una ratio
dividit aliam, adeoq; factum seu productum minus est cos quo fit Sit in fig. num VI ratio B ad A defectus, ad C. etia defectus,quaero terminum qui se habeat ad D ut B ad A. hoc est quaero rationem eXlmis
hisce rationibus factam seu natam inoniam aute te minus qui investigatur se habet ad D. ut B ad A ratio autem A sit defectus, ergo ratio huic aequalis vestigatur per divisionem ut Capite VII. demonstratum est. Unde dico ut A ad B sic D ad quartum seu minus vel constructis binis triangulis aeqviangulis fg num VII. nempe ABC ADE. est ut AB hoc est A,ad BC. hoc est B: sic AD seu D,ad DE selii Adeoq; terminus quaesitus Ese habet ad D,ut B ad A. Inventus autem est hic terminus per divisionem ratio ergo D ad C dividitur per rationem Bad A. in rationcna Ead C. adeoque dividenda ratio est DadC. dividens
229쪽
D VsRITAT GEOMETR. LIB. II. I videns ratio est Bad A. divisa seu facta est E ad G Quando ergo duae rationes defectus aliam faciunt rationem, ratio quae inde enaseitur est, divisa, hoc est, facta ex divisione unius rationisper aliam. Atq; hoc in magnitudinibus fatis liquet. Quod
autem etiam in numeris eodem modo se habeat , ex rationibus effabilibus demonstratur. Sint ergo duae rationes excessus invicem componenda: 7 ad a. . ad 3 hoc est, in magnitudinibus, sit in fig. num VIII. A septem partium talium, qualium B est duarum C. Vero talium Quatuor qualium D est trium. Quaero per priora rationem compositam ex hisce binis, hoc est quaero terminum E. quae se habeat ad C. ut A ad B tum enim ratio E ad D erit facta ex ratione C. ad D. per rationem A ad B. Quoniam vero ratio Aad B est excessus, ergo aequalis huic rationi invenietur per multiplicationem ut capite VI dictum fuit: exstructisq; similibus triangulis, erit,ut Bad A.sic CadE. Adeoque ratio E ad C erit aeqvalis ration A ad B: ratio autem E ad D composita ecbmis rationibus A. ad B. ad D. In numeris ergo idem obtinebimus. Quaeratur enim ratio aeqvalis rationi ad a. dato consequente . seu, quaeratur numerus, qui se
habeat ad . to ad a. erit ut et ad . sic ad quaesitum 1 . Adeoque i se habet ad . ut ad a. Ratio autem I ad 3 est composita ex ratione facta.
230쪽
Wi L MEL MI LANGI. ad 3. In rationibus autem defectus, methodus est inversa, sicut citam in magnitudinibus. 1 enim quaeratur ratio facta ex binis rationibus r. ad ad Q quaeritur terminus qui se habeat ad 3 ut et ad . Hoc autem fit dividendo. Sit enim in figiti a num. VIII. B. duariam partium talium , qualium A cst scptem. D vero talium trium, qualium C est quatuor.
Ratio ergo B ad M': ratio D ad C esta Dividui co modo, ut divisum ad totum, se habeat, ut Dad C. Hoc est sectat in quatuor partes aequales EF FG. H. HI erit H. talium trium partitam, qualium tota EI. Ocelit, ein quaΓUOi adeoq; FH. se habet ad B ut D ad C. inalium autem B fuerit , alium A. erit adeoque ratio EH. facta dividendo ex rationem ad A. per rationem D ad Crit ut 3 ad Adeoq: liquet rationem factam ex binis rationibus
excossus semper esse compositam, ideoque majorem partibus componentibus: factam Vero CX binis rationibus defectus, semper esse divisam. In rationibus enim excesitis , antecedens unius rationis augetur eo modo , ut auctum ad primum , candem habeat rationem, quam antecedens alterius rationis ad suum consequens. In rationibus autem defectus antecedens unius rationis C modo dividitur, ut divisum ad totum, eam habeat rationem , quam antecedes alteruis rationis ad suum consequens. Atque ex hoc