장음표시 사용
231쪽
DE VERITAT GEOMETR. In IL I9nem XXIII libri I. Elemcntorum, ubi inaeqViangulis parallelogrammis monstrat hanc rationem faciniam ex binis aliis quam quidem Propositionem ipsemet Meibomius nusquam falsi accusat, tantum ait, illam ab aliis Geometris non hiisse intellectam, idque ob hanc solam causam, quod rationum ineffabilium compositionem hinc demonstrari posse ignoraverint Sed de hac cibomi falsitate postmodum. Nunc illud tantum indicare volui, Euclidem ea omnia quae hucusque de compositione divisione rationum demonstravi , simpliciter ut principium stipponere, ad
propositionem praedictam. Demonstrationem integram adscribam ut benevolus Lector, eo melius de tota rejudicare possit Eliab Mi i , ανυμ γραφι-
232쪽
Sint infighira lati m. IX. quiangula parasielogrammai Ar is in qυibus angulus Br unius paralZelogrammi, aes alis sit angulo pri alterius a alZelogrammi dico quod Ar parallogrammam adi parallelogrammuna rationem habeat conjunctam seu factam ex lateribus; nempe ex ratione sam habet, adria, /sam habet Arad PE, aceant enim K in direritam ipsi A. Recta
233쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II et aronem XIIII. I. Elem. Sunt enim anguli Ar M&Hr te- quales duobus rectis Compleatur u paralgeogrammum sit aliqua recta, nempe K. faetque ut Ar ad rus OK ad A vero Ariadisi sic ad M. Ratione eeto K ad A, ad N eaedem sunt, quae rationes
laterum, nempe' po ΓΗ, Ξ ΔFrp. Sed ratio cadMfacta es ex ratione rara, tii, , ita ut ratio K ad 1 ratibnem habeat farium ex lateribus. Et υoniam si, utar ad ΓΗ, parasielogrammum ad ropa Pelogrammum, sed ut Bradm sic K ad Ad erit ergontra ad A,si 4 paralleloerammum adis parasielogrammum Rurium quoniam est, ut Δ ad Er, roparasielogrammum ad Zparasielogrammum Sed utre Iaci ad rectam rΕ, si Λ. ad M. Erit ergo ut Aa d M. sc inparaPelogrammum ad Z parasielogrammum. Momam vero demon pratum es, ut Sado, si Ar mrasielogrammum ad ro paralgeogrammum lex s.
grammum ad rZparasielogrammum ex aequo ergo rit , ut K ad M. sic Arparasielogrammum a TZ parallelog ammum. auteni ad M. habet rationem a fam ex
lateribus. Ergo ct Ar parallogrammum adis paralla-logrammum rationem habrbit factam ex lateribus. Haec est tota ratio demonstrationis Euclideae: ex qua liquet auctorem id supponere quod nos hucusque proposuimus, factam nempe rationem illam esse,qyae est, inter terminum multiplicatione aut divisione inventum, consequens unius rationis. Ut verbi gratia:
234쪽
aeqvalis rationi ΛΓ ad TE. pro invenienda ratione facta ex pradria α ad M. dico iuxta nostram melinodum ut A ad 3r, sic ad K. Habct ergo cad Leandem rationem quam B adisi adeoque cest terminus quaesitus, qui cum M comparatus dat rationem factam ex rationibus, ad rim Ar adisi plane ut prius. Hoc ergo supponit Euclides, neque ullo modo explicatiqvod forte Me1bomi causa erroris bit. Nos autem demonstramus, te se ita habere; tamen alias esse ratione compostas , eas nempe quae per multiplica-
' Cryςstig/ntur,& alias rationes divisses,quae per
s Dd autem vocem n γ πιν ν exposuerimus
vitiam adeo pro Voce συγ υών , posuimus factam quae&compositioni permultiplicationem,&divisoni convenit. An vero Euclides eo sensu hane vo miisurpaverit, ad pro certo non amrmaverim inamvis enim Euclides hoc modo a crimine nestii ni ae
curate omnia sint examinanda, vereor ne hoc minus
235쪽
D VERITAT GEOMETR. LIB. II. 223 certum deprehendatur. micendum potius est, ipsum non magis in hac propositione XXIII. libri I diviliom rationum meminisse quam in definitionibus: adeoque solam rationum compositionum ipsi uishtraditam, quod existimaret, contrariorum contrariam esse scientiam. Ipsae enim voces γκ si mi Cc νῖ)ε - Pud Euclidem eandem rem denotare vi identur, ut e propositionibus XVII., XVIII. libri Elementor liquet. Libro quidem VI. Elementorum definitione ultima, dat nobis compositionis
rationum talem definitionem. Λογγίκλογὶ ν συγ- λαῖλα nec eur ταιορ τι-νί. Ratio ex rationibus componi dicitur ando duarum rationum et antitates uocem
multiplicatae faciunt aliam. Legendum omnino cum antiqvis pro πνας. Quid autem λιώτης rationum sit, aut quomodo debeat multiplicari, id minime indicat Equidem si per multiplicationem quantitatum rationum illam intelligit, qua anteceden lita invicem. Consequentia invicem multiplicantur: dubium non est quin ipsi quoque rationum diviso, sub hac desinitione comprehendi possit. Sit enim ratio Eradr in figuranum. IX. defectus, ratio radis etiam defectus utraque autem sit effabilis, ac prio quidem, ut a ad . altera vero, ut 3 ad .. Si ergo
factam ex hisce rationibus aliam velim, divido unam
236쪽
224 ILAE L MI ANGLrationem per aliam Sit itaq; in figura numero X. uthradin, sici ad HN. vel inniamens, ut fad et sicci ad y vel quod idem est, sic ad . posita nempe pro ratione 3 ad . ratione 2 ad 28 quae huic est aeqvalis. ratio ergo factae prioribus est 6 ad 28. seu 3 ad 14.
Sed eadem ratio permultiplicationem antecedentium invicemi consequentium invicem investigatur Bisterna enim suntsexd quatuor septena 28. Unde ratio
facta est sex ad 28 vel 3 ad 4. Hoc ipsi m in rationibus ineffabili bi s locum habet. Sint enim rationes Ead res Aradis ambae inestabiles sedesectus' quaero e iis rationem factam. Cum autem compertum sit ambas me rationes defectus, ergo rarta qVaeritur per divisionem. Unde cst in figurinum X ut Brad A. sicci qua est r ad Du Ratio ergo P ad resest facta ex ratione, ad tridivisa per rationem H ad Br sicut capite VII demonstratum est. At vero multiplicando antecedentia harum rationum invicem & consequentia invicem, eadem ratio facta investigatur. Constructis enim 1-nis parallelogrammis aeqviangulis Arin Z. unctisq; circa aequalem angulum ta ut Ar in directum jaceat ipsi rh, a ipsi ra: clausoque parallelogrammo AI HO. dico parallelograminum Z habete ad parallelogram- mumi rationem factam ex divisione rationis laterum
E ad rΔ, per rationem laterum A ad p. Dividatur enim ratio Aradi spe rationem E ad A, modo antea
ς plicato hoc est , dicatur, ut resad rs, sic H ad N.
237쪽
DE VEχ1TAT GEOMn TR. LIB. II. 22ssumptaque aequalii in lineat exstructoque parallelogrammo aequiangulo, ducta parallela Ne ipsi A vel
rΔ;erunt parallelogramma Ar ita qualia eritq; ut Δadrg,sic ΔΠadrZ. sed ut ΔrrE,sic I H ad res ergo ut Had ret, sici ad N hoc est Hesad Λr Eandem crgo rationem habet ΗΔ ad Z quam ad Ar Quae autem ad idem eandem habent rationem, inter se sunt aequalia. Unde rursum Z ador eandem habebit rationem, uvam Λ ad Ar Habet vero A ad Ar eam rationem, quamNradry hoc est rationem sectam ex divissionerationis laterum Hr ad rB per rationem laterum E ad
1 A. Matio ergo ret adi est facta ex divissione rationum laterum invicem : idque per multiplicationem
antecedentium invicem. consequentium invicem.
mando enim ex binis lateribus exstruitur parallelo-zrammum tum latera inv1cem sunt multiplicata. Adeoque cx hac ipsa figura demonstratur, qua ratione, adem plane methodo .in Ar1thmeticis Geometricis ratio facta ex binis aliis rationibus vestistatur nempe per multiplicationem antecedenti- una inter se, consequentium inter se in omni cotilatione rationum, tam excessias invicem, quam defectus Id quoque ex hoc Theoremate liquet, quo modo in magnitudinibus ratio quaecunque facta ex binis vibuscunq; rationibus per multiplicatiqnem terminorum invicem, in lineis inveniaturri exhibeatur. Ratio enim gradi Nest facta ex binis rationibus e cessus, vi ad , dear ad Zr, per multiplicationem am-
238쪽
226 1LHELMI LANGLborum terminorum invicem. Habet enim parallelogrammum Arad parallelogrammtim Z rationem factam ex binis rationibus cXcessus BC ad H, Q ad p.
At ratio AH ad Ag seu i Z est eadem quae Δ ad Ε, hoc stqvae r ad N Parallelogrammi ergo Ar S sunt aequalia unde ut AradrZ, sic Arad r. adeoque ratio hi ad rerit facta ex ratione Br ad H, dccii ad p. Unde&Bradi N, quae est eadem, quae Ar ad Ar erit facta ex rationibus B ad m, lar ad I E Adeoque in omnibus rationibus, tam eXcessus, quam defectus, ratio facta eodem modo, in Geometricis, rarithmeticis investigatur, nempe per multiplicationem amborum
terminorum invicem. Id autem ideo contingit, quod in utraque ratione tameXcessus quam defectus, iidem
utrobique sint termini hoc tantum discrimine, quod
antecedentia rationum eXcessius sint consequontia rationum defectus vice versa, consequentia rationum defectus, sint antecedentia rationum Xcessus unde per multiplicationem antecedentium invicem, consequentium invicem, tam in rationibus defectus, quam cXcessus, ratio facta investigatur. In rationibus enim cxcessus et ad 1. ad . si antecedentia a.&φ. fiant consequentia, .consequentiaci &3 fiant antecedentia; ut sit, I ad a. s ad . jam duae hae rationes sunt desces his unde factum ex utrisque rationibus tam excessus, quam defectiis codem modo colligitur ita tamen ut antecedens in rationibus CXces
diis sit consequens in rationibus defectos bis quater
239쪽
D VERITAT GEOΜETR. in II. 27 naenim sunt 8. semel terna sunt unde ratio facta ex rationibus eXcesssis, est yad . ratio autem LM cst ratio facta ex rationibus desectos. Nemo tamen
dixerit rationem ad .. esse compositam ex rata Om-bus 1 ad a. o ad 4 Neque enim compositum D nus est iis unde componitur. Mationem autems ad 8. minorem esse ratione Iada. Vel ratione 3 ad 4,& ex Euclide constat, verum esse id ipsum postea contra Meibomium clarissime ac certissime monstrabimus. Si ergo ex Euclide aliqui contenderit, rationes omnes tam excessus quam defectus vicem eodem modo componi, o quod facta ratio Jam XCompositione rationum eXcesssis, quam divisione M
ilonum desectus, per multiplication*m eodem modo investigetur, id ut λ ξης
sitio vocetur respondeo Euclides aliter Xplicari
posse Videtur tam in hac definit1one solam ratio- um excesssis compositionem tradere voluisse. De sione autem,&ratione a ue e bimis rationibus defectus nullum verbum fecisse. Nam Walibi necessa arum rerum definitiones oratii Rationem enim minorem nusquam definit. Tum ipsius quo-ove oris rationis definitio, potius est theorema quod emonstratione satis ampla indigens, quam definitio. Dici quoq; potest Euclidem voceiat ut loquuntur in Scholis fuisse usum, pro omni conjunctio equaeX duobu unum fit, tam multiplis
240쪽
228 1LMAL ML L in I. cando, quam dividendo, quam explicationem superius etiam indicavi nilis capite VII pag. zo 3. undsi neutra haec eXplicatio ipsi satisfecerit : neque aliam commodiorem ipse invenerit, qua Euclides Xcusari possit per me hac in parte Eticlidem accuset ignorantiae , quod inter divisiones rationum , S earundem compositiones non accurate distinxerit, neque has resplene ac distincte tradiderit. Neq; enim mihi propositum est, negligentiam Euclideam defendere; sed veritatem in omnibus tutari. Quod si ergo Marcus Meibomius ab hoc capite accusationem contra Eu-esidem instituisset, me sibi contrarium non habuis et. Nunc cum vera manifesta falsi arguere conetur; X-plosione dignus est. Tertius autem casus est, quando ratio quaeritur facta ex ratione excessiis per rationem desectus, Vel ratione defectus per rationem excessus quae quidem ratio multiplicando dividendo investigatur. Si enim ratio defectus multiplicetur per rationem X- cessiis , vel si ratio Xces iis dividatur per rationem desectus eadem oritur ratio facta. Quaeratur enim
ratio facta e rationibus 8 ad . . ad s. Fiat multiplicando ut 8 ad . sic alius ad et , hoc cst ut ad . sic et ad si hoc est, sic ad 16. Ratio ergo 1 ad . seu in integris numeris I 6 ad 1 est facta multiplicando ex ratione et ad s. per rationem s. ad 3.