장음표시 사용
241쪽
DE VERITAT. GEOMETR. 1 B. II 29tio ergo ad x, seu D ad aue est facta ex ratione 8 ad 3 divisa per rationem et ad i. Respectu ergo rationis desectus facta ratio composita dic potest respectu autem rationis CXcessus, divisa. Si tamen accurate loqui velimus , ratio divisa dicitur. In divisione enim fieri potest, ut divisum sit majus divisiore. Sed in compositione fieri nequit, ut compositum sit
Ut ergo brevissime totam rem absolvam, totamque factarum rationum naturam Lectori ob oculos Ponam, dico omnes rationes vel es integri ad integrum, seu totius ad totum vel totius ad partem' vel partis ad totum. Nempe ratio aequalitatis est integri ad integrum, vel totius ad totum neuter enim terminus alterius, vel pars est, Vel totum Ratio autem excesssus est totius ad partem. Omnis enim magnitudo major continet minorem magnitudinem in se
Adeoq; minor magnitudo majoris magnitudinis pars cst & major minoris totum, unde ratio est totius ad ad partem. In rationibus vero defectus ratio est partis ad totum minor enim magnitudo est pars majoris,
quod contineatur in majore, non secus ac manus est
pars corporis. Facta autem ratio est, quando binis rationibus datis, investigatur terminus, qui ad antecedens unius rationis se habeat, ut antecedens alteritas rationis ad suum consequens Ratio autem ternami hujus ad consequens prius est ratio facta e binis da
242쪽
a3o ILHELM LANGI.tio facta sit termini quarti ad consequens , qui quidem terminus est ad antecedentem ejus rationis, ut tot una ad partem' debet ergo terminus esse majoran- recedente, adeoque ratio ipsa augeri. In rationibus autem defectus , terminus quaestus debet esse pars antecedentis, sicut alterum antecedens est pars sui consequentis. At vero partem alicujus rei minorem ad aliud habero rationem, Vam suum totum , id communi notione verum deprehenditur: Morem vero rationem habere partem ad aliud, quam suum totum;
Ut autem omnia .singula , quae hactenus de
compositionei divissione rationum dicta sunt, remus intelligantur hoc capite de singulis momentis iterum paucis dicemus. Fit ergo Omnis rationum compositio, vel per additionem, vel per multiplicationem omnis autem divisio, vel per subtractionem,
vel per divisionem sigillatim ita appellatam. Est
autem additio rationum, quando duabus rationibus ad idem consequens reductis , ambo antecedentia a lectoa invicem faciunt unum antecedens, quod cum priori conseqVente comparatur. Multiplicatio autem rationum in magnitudinibus est, quando antecedens unius rationis per alterius rationi antecedens multiplicatum , dat aliud anteCedens, quod cum priori consequente Oparatur. bub-
243쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. IL 3ISubtractio rationum est, cum binis rationibus ad idem consequens reductis minus antecedens a m jore aufertur, aliudque relinquit antecedens, quod
cum priori conseqVente comparatur. Divisio rationum in magnitudinibus est , quando antecdens unius rationis per alterius rationis antecedens divisum, dat aliud antecedens, quod cum priori conseqVente comparatur.
Singula Jam cXemplis sunt illustranda. Sit ergo ratio .ad 3 addenda rat1on1 7 ad . reductis ambabus rationibus ad eundem terminum consequentem, ita ut pro ratione 7 ad . ponatur ratio 1 ad iri quae huic est aeqvalis pro ratione autem ad . ponatur oad Is.quae etiam huic est aeqvalis . Additis invicem o Mai prodit ratio I ad 1 facta ex additione rationum et ad Is hoc est ad s. ,ro ad is hoc est . ad 3. Eodem modo si quaeratur ratio facta ex additionerationum 3 ad 4. 3 ad .hoc est a' ad 28. Maia 28. prodit ratio I. ad 28 Sic ratio 3 ad .addita ration 7. ad s. dat rationem factam ex additione 3 ad o. Usus autem hujus additionis in Mechanicis atque in omni hominum vita quam maximus est. Atq; ut X-emplis aliquot hoc Lectori ob oculos ponatur, sit pr1mo in Mechanicis,faXum oblongum a terra elevandum
plaustroque imponendum ABCDEFfg.no.vectis XI autem GH movens in Id. xvectis I movens M. Sit
244쪽
r r W1LHELMI LANGI. autem momentum GH minus pondere toto, sique ratio moventis GH ad movendum BACDFE ut 3 ad 4 Huic aute aequalis sit ratio moventis Madmotum BA FE Si igitur velim scire rationem compositam ex hisce binis rationibus , hoc est, rationem
quam ambo moventia ad motum corpus habent vel,si Codem tempore, binis vectibus saxum aequaliter ele- Vetur Avaena tum ratio sit moventis ad motum addo antecedentia invicem, adeoque pronunci rationem moventis ad motum , compositam ex binis rationibus moventibus, esse ut 6 ad . Et rationem moventis ad motum vere esse, ut 6 ad 4 vel 3 ad a. hoc
est sesquialteram, manifeste liquet. Qu0d si pro additione rationum altera hei compositione uti vellem, quae fit multiplicando falsum concluderem, ne Vevcras rationem moventis ad motum investigarem. Si enim vulgari modo procederem, multiplicando antecedentia invicem,& conseqVentia invicem, facta ratio es et ad 16 quae plurimum differt a rati- Onera ad a. seu sesquialtera. Sive debito haec modo componerem, invertendo posteriorem rationem, cum alias compositio in hisce rationibus fieri nequeat , postea multiplicando untina antecedens per aliud, dicendo, ut consequens unius ad suum antecedens , sic antecedens ad quartum ratio facta esset ad 3 seu i ad s. quae ctiam a vera plurimum differt Haec ergo rationum compositio, Vae sit per additionena, non minorem utilitatem in rebus
245쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 233 habet, quam altera illa, quae multiplicando investigatur. Et aeque, rationum compositio est,dicenda cum ratio ex binis hisce rationibus vere sit facta. Duae enim rationes 3 ad , dc 3 ad , quaesunt moventis ad id quod movetur , vere conjunguntur invicem racratio ex his facta, vere est 6 ad 4,seu 3 ad a. In omni autem additione, vel eaedem rationes adduntur invicem , vel dissimiles. Tum quoque, vel semel adduntur invicem , vel saepius. Quando eaedem rationes semel adduntur invicem, fit duplatio ruratio facta,vocatur Geometris,alterius rationis dupla. Atq; hoc modo, ratio 3 ad a, seu 6 ad . est dupla rationis 3 ad 4. Duae enim eaedem rationes 3 ad 44 3 ad semel invicem adduntur unde fit ratio' ad . quae est dupla rationis ad . Si enim, in fig. num XII duae aequales magnitudines AB., BC invicem addantur facta AC erit dupla ipsius AB. Ita etiam JuX-ta hanc analogiam, Geometrae, rationem, factam ex binis rationibus aequalibus, semel additis, duplam vocarunt. Cui etiam appellationi, ipsa rerum veritas assentitur. Omentum enim, cujus ratio, ad id quod movetur, est 6 ad , vere duplum est illius momenti,
cujus ratio, ad id quod movetur, est 3 ad 4 Si enim momcntum G, in figura XL facile movet BACDLM semissem ipsius ABCDEM etiam momentum IK facile movebit semissem LMNFE. adeoque , si ambo momenta simul agant , facile movebunt totum
246쪽
234 1LHELMI LANGI.que ratio duorum momentorum GH IF ad totum ABCDFE. cst dupla rationis HG ad idem ABCDEF. Quando vero, duae magnitudines inaequales adduntur tum composita magnitudo, diversam, ad componentia membra rationem habet. Si enim insig. XII AB sit partium, Besa partium, tota Ac erit quidem tripla ipsius Bc, sesquialtera autem ipsius AB. Quod ipsum, in hac quoque rationum Compositione, quae si per additionem, venit observandum. Si enim ratio momenti GH, ad ABCDEF. in superiori diagrammate XI fuerit ut . ad 24 ratio autem momenti IK, fuerit ut Dad et erit ratio composita P ad a. hoc est seXtupla quae quidem rationis ad a. hoc est, a ad , est tripla,rationis autem cad a, seu cida est sesquialtera. sic in coeteris omnibus. Porro si rationibus binis aequalibus invicem additis, aggregat harum, aeqValis ratio addatur facta ratio, tripla dicitur, rationis primae. .si hujus aggregato, eadem ratio tertium addatur; facta ratio, quadrupla dicitur rationis primae. sic quintupla, seX-tupla de porro in infinitum. Hujus etiam usus in Mechanicis est demonstrandus. Sit infig. num XIII. obeliscus ABC crigendus super stylobatam FGEDHI. Sint vero ergatae se α.8 γώ.ε. omnes eqvalium Virium inter se. Sit porro ratio ergatae α, ad pondus obelisci ABC, ut ad so Ratio ergo ergatae 3 ad pondus obelisci ABC crit etiam, ut 7. ad 3 o, tangularum ergatarum ratio, ad totum
247쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. Is pondus , ut ad 6. Si vero duce ergatae simul agant , quaeratur vero ratio moventis ad totum Ondus componantur duae rationes 7 ad so. ad fo, invicem addendo prodit ratio a ad o quae etiam vera est ratio , duarum ergatarum, ad totum pondus. Unde ratio, I ad O ,est dupla rationis, Iad FO. Rursiim si ratio trium ergatarum, ad totum pondus quaeratur addantur tres rationeso ad so invicem, modo antea indicato vel multiplicetur per ternarium cadem enim summa erit, nempe ratio 2 ad Fo, quae ct1am est vera ratio trium ergatarum ad totum pondus. Tres vero aequales ergatas, triplam, ad totum pondus, rationem habere, rationis, unius ergatae ad totum pondus, nemo lanus negabit cum triplam operationem habeat triplo magis moveat adeoq; ratio moventis sit tripla Hoc modo, si secergatarum rationes componantur: erit ratio moventis, ad id quod movetur, ut a ad io quae quidem cst sextupla rationis ad O. At vero in Omni motu, ratio moventis ad motum, omnino erit ratio eXcessus. Si enim aequalitatis fuerit, resistentia rei movendae, aequalis erit impulsioni moventis adeoque nullus motus fiet Sinratio defectus major erit movendae resistentia, quam moventis impulsio unde multo minus, tunc ullus motus et Addatur ergo, ratio unius phiriumve er- ratarum, usquedum, ratio moventis ad motum, fuerit excessus. Si ergo unius adhuc ergat , nempe , ratio, cum superioribu componatur; erit ratio mo-G a ventis
248쪽
WILAE L MI LANGLventis ad movendum,ut 0 ad so duarum vero ematarum rationibus, priori rationi, additis erit ratio moventis admoVendum, ut 6 ad O.quae quidem ratio, est octupla , rationis Lad O.
Atque ex his liquet, quid ratio dupla, tripla, ochu-pla, hoc in sensu sit: 'vam bene lia nomenclatura huic rei conveniat. Id ipsum quoque, quod heia: maXI me demonstratum cupimus , me Iar me li
que rationes apias, adde do vere eomponi sq: Est quidem,alia quaedam in mistis compositio ora additione antecedentium, consequendi
Ieu aequalis, Ut si v. g. mistum farinae hordeacee &faba ae,m Vo, ratio hordei ad fabas sit ut 4 sceatur cum isto alterius farinae , in quo ratio o de ad faba sit,ut 8 ad 4 facta additione antecedenti laeta 1 ad 6. Ea autemest aeqvalis rationia ad a,vel ad . Unde hqc rationum compositio dici neurit cum ratio lacta, non sim o ca, ex qua compta: Subtractio autem rationum, additionis est liue
sio. Si enim in Priori diagrammate, rationi 6 ad O. rationem 7 ad O detractam velim , aufero antecedens minus a fori facta est operatio. Atque hoc
qVidem modo ratio ad ueo, est suboctupla Lior 16 ad dio subdupla vero, rationis 1 ad oris subtripla
249쪽
D VERIT, T. Ggo MATR. LIB. II. 237pla et ad O. Sed hoc ipsum,diagrammate quodam, demonstrandum. Si ergo, in figura XIIII, pro obelisco, supponatur corpus parallelepipedum oblongum,
cu)us quidem ratio, ad Omnes octo ergatas sit, ut Soad 16 , incipiatq; parallelepipedum moveri: UO magis elevatur, eo minorem rationem ad ergatas habebit. Nam cum linea centri graVitati perpetu mutetur etiam ipsum pondus mutatur. Divisa enim basi ΚLMNin partes aequales quotcunque, Verbi gratia,
decem, nempe OPQRSTVXYN. sectoque parallelepipedo in totidem segmcnta juxta angulos rectos
&c singulis segmentis aequalia. Tum quoq; parallelepipedum KLP erit duplum parallelepipedi Loo:& parallelepipedum ΚLm, triplum parallelepipedi
KLOo kssic KLRr,quadruplum ipsius KLOo ωΚΙ - Ss quintuplum Secto autem parallelepipedo KLOoplano diagonali OL erit parallelepipedum KLO sectum in duo prismata triangularia LOLMOLO. Eodem modo, secto parallelepipedo KLPp plano diagonallip erit totum parallelepipedum sectum, in bina prismata triangularia I p IpP invicem aequalia. sic in coeteris. Quoniam ergo,KLOo parallelepipcdum, est pars decima lMN parallelepipedi erit prisma OL, quod est,semissis ipsius KLOo,pars vicesima totius parallelepipedi ΚLMN. Et eodem mo
250쪽
:38 WILHELMI LANGI.no parallelepipedum LM nonnihil erigatur, ita ut OL horizonti sit perpendiculari. erit pondus totius parallelepipedi una vicesima parte inminutum ratio autem moventis aucta. Quoniam er o, ratio moventas, ad rem movendam, antea erat, ut Iliad oclempta vicesima parte ponderis, erit ratio moVentis, ad rem movendam, ut, s ad gQ seu ut II ad s. Rursu elevato parallelepipedo LMN, ita, ut pL siit perpendicularis horizonti, erit pondus totius parallelepipedi decima parte imminutum ratioque moventis adremmotam, sine augmento altero ipsius parallelepipedi ut 11 adio, vel 34, ad s. Quoniam Cigo, an omni majoris parallelepipedi elevatione, ratio rei movendae imminuitur ratio vero moventi
Dei Vcro, additio. Et cum antea indicatum sit, ra' 'x erit ratio, rei movendae , ad
primo quidem vicesima , inde decima pars hujus '
lelepipedi movendi,admouentem, sit, ut, o ad 36, ad Ir ratio decimae, ut id ad ita, vera ad ueri Au- mk - ,δλ ab antecCdente, ratio-