Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

281쪽

DE VERITAT GEOMETR. 1 n. II 69

Rursum autem dico, Cod, hinc demonstratio secundum e- de consitutione universaliter procedat Et primi /ίidem, quod ratio BZ ad ZE, in fig. num XVII. componatur ex ratione ΒΔ ad ratione, ad rE. Ducatur enim o parantela ipsi A expund foc is producatur E in Q. VConiam ergo ratio BZ ad Z , quando O media a umitur, componatur ex ratione BZ ad ΖΘ, ct ratione Zad ZEue rationi autem BZ ad ΖΘ, aeqzalis quidem itratio ΒΔ ad e,A; rationi autem OZad Z aeqvadis sit ratio

Arad rasi, eo quod triangula AE ct Eryn aeqviangula: ratio ergo B ad ZE componitur , ex ratione ΒΔ ad ΔΑ, O ratione radisi. Atq; soc quidem modo, utriusq; generis rationes componuntur, tam ineffabiles , quam essabiles. Si enim componere velim rationes ineffabiles AC ad AB,

NAB dAS; pono, in figura XVIII, AB aequalem

AC,&yraequalem AB, figurae XVI ductaque recta ex puncto A, nempe AB cita quidem divisa in ut Aa aegretui ipsi A figurae XVI, B autem equalis sit ipsi Ab figurae XVI: ungo, ω r puncti, ductis re-

282쪽

a o I LAZLMI LANGI. his. Matio igo facta multiplicando ex binis rationiabus AC ad AB,&AB ad AE cst BZ ad ZE. Etenim ratio B ad ZE, componitur ex ratione BZ ad ZO, Q ad ZE Si enim bina parallelogramma rectangula construantur, unum quidem, CX BZ Θ, alterum vero ex ΖΘ p erunt quidem inter se ut bases: adeoque, ut parallelogrammum B ad parallelogram-mum os sic basis, ad basia ZE At parallelogramma So Essent in composita ratione laterum ergo ratios ad Eliabet rationem compositam ex ratione B ad Q. Q ad p. Sed ut B ad O , sic B ad ΔA per II VI Elementori, ut et ad Zo, sic Ar ad I E Juxta XV VI Elementorum. Erit ergo ratio BZ U E composita ex ratione ΜΔ ad Ag, hoc est , BZ ad ΖΘ ratione i ad ZE, hoc est ZO ad Zp. quod erat f caunuit. Atq; hoc in plurimis rationii compositionibus eodem modo se habet: si illud omne pro compositione rationum habendum esset, quod Theot ipseMeibomius compositionem appellant, haec metho-cius in omni compositione vera foret ' ut Vere proPterea a Tlicone Alexandrino dies umeset, hanc met- nodum universaliter procedere. Sed rationes quicem defectus hac methodo dividuntur, ut antea timcicavimus alia vero methodo componuntur, quam postea proponemus . Hoc tamen cibomio non Procles e uinos non magis haec cognita habuerit,

δ'*m ipso Theo, neque plura in hac doctrina prae-

283쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 271 Demonstratum ergo, Theonem, compossitionem rationum, non tantum effabilium, sed etiam ineffabilium, in lineis tradidisse : deoque, per φλιγα bς, non in Ami is intelleXisie aut numerum denominatorem, sed quamcunqVeqvantitatem magnitudinum, tam numero effabilem, qVam ineffabilem. Adeoque Meibomius, qui hac in re Theonem accusat, vel eundem non intellexit, vel mala fide egit, ipsique Lectori imponere voluit. Quod ipsum, de Ccusatione Eutocii dicendum est. Quamvis enim hic rationes numero effabiles,juxta numerorum methodum componat non

tamen hoc, ipsi magis vitio Verti debet, quam Me1bonato, qui plurimis id in locis hoc in libro facit. Si enim

Meibomius dicat, se non tamen negare compositionem rationum ineffabilium respondeo,neque id Eu- tocium facere: sed earum etiam meminisse. Qui enim, in lineis incompertae magnitudinis, ponit rationem duplicatam triplicatam S cris etiam rationes quascunque effabiles & ineffabiles,componi post uadicat. At vero id Eutocium facere, CX commentario ipsius, in VIII. Propos lib. II Archimedis de Sphaera&Cylindro liquet. Verba ipsiu sunt Κή - τεα αρες ε θῶα ἐξη ναλογν ιο BZ. T. E. Δ- BZ ἄω ο α ι λοι-

284쪽

27 WILHELMI ANGL s, nempe BZ r. E. Δ habebit igituri ad Atriplisatam rationem ejus,q m Z habet ad , hoc est ami habet ad Habet sera i ad Δ duplicatam rationem rationi ad E. Ratio ergo v Z ad erit ses iplicata rationis r ado

Rationem duplicatam fieri ex compositione duarum aequalium rationum inter se, triplicatam ex tribus, ne ipse quidem Meibomius negaverit. in navis enim de vocibus disputet remiamsi concedit.Qv9niam er- .go, Eutocius non tantum rationis duplicatae , triplicatae in datis quibuscunque lineis naturam, sed ueracitus forte, inter veteres explicat λόγ μολιον rationem si quialteram, quam ad differentiam ejus quae adden-cio sit sesquiplicatam appellavi non potest jure accusari ignorantiae in hac doctrina, aut quod compositionem rationum ineffabilium ignoraverit. Imo si nihil

de his scriptum reliquisset, non tamen jure haec ipsi dica scribi posset quandoquidem,liis ips verbis,quae

a cibomio citantur,& quibus compositioni rationuin numeris meminit, Theonem laudet quem dogma hoc tradidisse jam antea indicavimus. Verum ergo id est, quod antea diximus, Meibo-muim in Theoneri Eutocio accusandis, vel mala fide egista, vel illos non legisse, vel denique non intellexisse.

C A P. XLI. O Uoniam vero, quae de divisione rationum, hucus

que tradidimus,atque certissimis argumenti confirmavimus principio, cum quibusdam desinition bus

285쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 273bus Euclidis , convenire non pose videantur' adeoque ipsemet Euclides falsi, hac in re,a nobis sit arguendus paulo accuratius hoc capite de ea re agemuS. Antea quidem diximus, non nobis si propositum, Euclidem, sicubi erraverit, aut παρορομα quoddam commiserit, defendere Velle cum sola nobis veritas

curae sit cordique praetereaque de nulla aliare, his in s udiis, simuis solliciti. Unde antea praefati sumus, si ex hoc capite accusationem contra Veteres instituis et Meibomius neque vera pro falsi rejecis Et: nullo nos modo ipsi adversarios futuros. Quoniam vero Meibomius, in hoc codem cum aliis veteribus Geometris errore haereat; falsas aute demonstrationes ex hoc falso principio exstruat videndum, quid de antiquioribus, praesertim de Euclide, si dicendum 'Theonem enim AleXandrinum, vix excusare possium; in heic lapsus dicaturi Primum igitur jo, Euclidem, nusquam, quod ego sciam,divisionis rationum meminisse. Um VOq;,de compositione, ita alicubi loquutu ut potius videatur, compositionem divisionem rationum invicem confunderes; quam unam ab altera ullo modo distingvere Quippe non hodie, neque nuper , id in Euclide animadversum fuit sed ante multa secula cum non semper, tam accuratum in verbis, imo mi demons rationibus esΘ4 quin aliquando labatur, humanique aliquid patiatur de quo fusus libro primo a nobis dictum est Sunt tamen, e quibus, per bonam con-M in sequen-

286쪽

274. WILAEL 111. ANGLsequentiam, ut in scholis loquuntur , id sequi videtur, Euclidem, divisionem rationum, a compositione distinxissse, saltem,juXta proprias as ortiones distingvere debuish quamvis claris id verbis, nusquam , quod

ego sciam , fecerit. Propositionibus cnim decima- nona licesima libri I. Elementorum, ait, triangulari polygona similia inter se , in duplicata ratione esse laterum homologorum Propositio XIX, ο ια πλευρῶν Similia triangula ad invice uni in duplicata ratione laterum homologorum Propositione X X

λογ ν πλευ- Similiapolygona dividuntur in similia triangula, numero aequalia, o totissimiliaci p. gonum duplicatam rationem habet ejus, Sam homologum

latus,adlatus homologum. Sic libro XI. Propositione tricesima tertia, demonstrat similia solida parallelepipeda, esse in triplicata ratione homologorum lateis rum. Hinc igitur concludo hoc, quod ita simpliciter assii mat Euclides, absolute, in omnibus, verum non est. AEqualia enim & similia, tam trianguli, quam polygona, non in duplicata sunt ratione suorum laterum, sed in eadem. Ita etiam aequalia &ί-

milia parallelepipeda solida, non sunt in triplicata rationes

287쪽

DE VERITAT GEOMi TR. LIB. II. 27, tione , suorum laterum sed in eadem Nam, ut latus adlatus , sic parallelepipedum ad parallelepipedum sicut ipse quoque Euclides id demonstrat,pro- possitione XXXII. ejusdem libri Tum ergo hae prC-

positiones verae erunt, quando una quantitas major est altera minor hoc est, quando unum triangulum vel polygonum, unumve parallelepipedum majus est , alterum minus. Tunc enim majus, ad minus, duplicatam, triplicatamve rationem habet rationis laterum homologorum. Primum ergo, propositiones hae a solutae simpliciter verae non sunt. Sed neque reciproce sumendo verse sunt. In figura enim XI sit hexagonum majus ABCDEF minus GHIKLM 4-trumque,in sex triangula similia divisum dico,ANBtriangulum, ad triangulum GNH , habere rationem duplicatam laterum homologorum ipsum quoque hexagonum ABCDEF, ad hexagonum GHIKLM,

habere rationem duplicatam laterum homologorum.

Nempe, majus triangulum, majusve polygonum, ad minus, duplicatam habet rationem laterum. Adeoq;

minus ad majus, hoc est, triangulium NH ad ANB, vel hexagonum GHIKLM ad ABCDEF, habet rationem subduplicatam laterum. Majus nimi minus sunt opposita. Unde rationes eorum erunt

oppositae , si hae duplicati, opposita erit subduplicata: f haec triplicata opposita erit subtriplica

290쪽

νευ ξύδεώ - καειράσι abG γ, cpάσι , δεν. Etsecundum legem , secundum naturam , Caedam ibi inυicem opponi dicuntur alia quidem ut contrarii: icut bon- , malo; sanum, aegro se verum mentacio alia ero, ut habitus, privationi sicut vita momti, is Cisus, caecitati, scientia, ignorantiae alia vero, ut relationem invicem habentia , iciri, duplum Amidio , perans, illi cui imperatur, is dominus serto

riia Sero, ut rmatio se negario scut hominem esse, ornitur non esse, is diligentem esse opponitur , noues U ut quod contraria nounecessario mu*nt, imul esse de nant. Sanit. m morbo contraria es, ct quies , motui. Sed neque