Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

311쪽

DE VERITAT GEOMETR. 1 n. II 299bam Catonis illud. Turpe est odiori, cum culpa redarguit ipsum. Et quam frigidum illud est, quod caligero in praesetione libri sui objicit Verba ejus integra adscribam , ut αυφον hominis videas mam enim turpe est, quod s. Scali er,Cir in Graeeis O Latinis ite

um, aliosque etiam odios viros , seqCendo rectangulamsi AB. BC cum Certendum et et, re Iangulum ab AB, BC. nempe contentum, me ιεχρ ενον quod verbi evitatis causa, Mathematici omittunt , ut is plerumque vocabulum ὀρθογωνιον refctangulum. Sed ad hujusmodi notanda nunc non descendemus. Suod si in quae ex antiquisierperam versasunt, etiam a solertii imo Mathematico , Feririco Commandino Graecae lingvae mediocriter perito, examinare eEem rebus Mathematicis non parvam lucem me Eaturum sperarem. Sed quae- sumus te Marce Meibomii, ne res Mathematica attingas ulterius. Hoc enim opere tuo, magna tenebras apud imperitos rerum , veritati offudisti. Et nisi meliora fiterint, quae contra Commandinum habes, Vam quae contra Jos caligerum rectius tib1 consules , si tacueris. Ast quid haberes ' Cum haec tua selectiora, nive Schytica frigidiora sint. Turpe

siit, Nectangulum sub AB. B Nempe ignorabas id, Quod Scaliger, non minus, quam Mathematici OPnitum habent aliud Graecis scriptoribus esse

312쪽

, m Quod juxta verba ipsa ita vertendum est. Aiusdsub mediis longitudine commensurabilibus re sis limis comprehenditur rectangulum, medium est. Sub mediis enim longitudine commensurabilibus rectis linei Br contineatur re tangulum Ar dico, quod Armediumsit. Describatur enim a qCadratum ergo medium erit. Eundem usum hariam vocum habes sequenti Propositione Brevius autem haec habentur apud Archimedem, demonstratione Prop. VIII libri II de Sphaera&Cylindro. Verba sunt λαίσον

313쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. o Iab duplicatam rationem, qCam, ad se To deno tat rectangulum quodcunque i, solum quadratum quod plurimis aliis locis liquet. Scaliger ergo aliique Geometrae , distinctas res distinctis vocibus explicuere. Neque dubito si Grammaticos consulas, citius concedent, comstrehendisub Ibaremum es e, quam tuas illas voces super tertius, supero favus4 exceps ac defectivas imo, quid si dicent comprehendi sub aeque Latinum esse, ac comprehendi ab , vel neutrum apud optimos scriptores Latinos exstare , vel utrumque uod si haec, Latine melius versa volueris Commandinus ille, quem carpis, eleganter Videm locum Euclidis translatum tibi dabit ut infoelicem plane illum esse oporteat , qui te interpretem post Commandinum desideret. Sed de his tuis erroribus Melbo mi ipsemet prius cum Grammaticis transige antequam VH OS doctissj mos, tantaeque eruditionis, ut in his minutiis eruditionem nec ponant,

nec quaerant, leges injussus privatusque praescribere

'μβ Eho revertamur, deprendit Pythago

ras, in omnibus sonis, duplam tensionem, sive in chordis, sive in tibiis, sive alio quocunque instrumento factam , semper harmoniam dare io. qm σῶν seu octa vani, hoc est, quae inter ut it, re re,sol cs consideratur. Sesquialteram vero tensionem, harmoniam

dareta ki seu quintam uisol re a. Sesquitertiam

314쪽

3or Wi LMs LMI ANGLresol, mi L. Ex divisione autem rationis sesquialterae per sesquitertiam, fit ratio sesilvioctava Reductis enim binis rationibus 3 ad x, seu sesquialtera, ad , seu sesquitertia, ad commune consequens, ita ut sesquialtera sit, ad 6 , sesquitertiaci ad 6 ad 6 dividatur perci ad 6, facta ratio erit 'ad 8, seu sesqui-

iami quintam, intervallum est integrum amboque toni integri Ergo pro integro tono ponatur ratio ἐπ γδοος seu sesquiodi ava. Adeoque dato primo Ono ut pro secundo Ono re, sumatur tensio ἡγδοος sesqui- octava ut si tensio prima partium fuerit 9 a tensio pro re, erit ri 6 ratio enim et 16 ad Isia esst,ut, 9 ad 8, seu sesquioctava Rursum pro integro tono mi sumatur proxime antecedentis tensionis sesqu1octava,

hoc est , sumatur tensii 2 3 partium talium, qualium tensio re es partium 16. Ratio enim et 3 ad 21 6, est , ut mad seu sesquioctava Qtio si ratio sesquitertia dividatur per rationem duplicatam rationis sesquioctavae, hoc es , per rationem SI ad 6 habebimus dismerentiam tensionis mi dcfa Nempe reducantur rationes .ad x, seu sesquitertia, ratiocis ad 6 , seu duplicata rationis sesiqvioctavae ad commune consequens erit ergo ratio etsi ad 0 sesquitertia ratio autem a 3 ad 192, duplicata rationis sesquioct a vae, seu ut 8 ad 6 . Ratio ergo facta ex divisionerationis 2F6 ad 02, seu sesquitertiae per ratiouem Iad , , duplicatam rationis sesquioctavae s aue ad

315쪽

DE VERITAT. GEOMETR. LIB. II 3o 32 3 quae multo minor est ratione sesquioctava Ratio enim z73 fere ad 2 3, est sesquioctava. Hanc ergo partem vocarunt Musici λήμμ . Atq; ex his intelligitur pulcherrimus ille Platonis locus, qui est in J inaceo, seu libro de niverso quem quidem librum, tanti fecit Cicero , ut intcgrum in Latinam lingvam transfunderet cujus versionis imsigne fragmentum adhuc e Xstat. Ocus autem Platonis hic est ιγνυς η μία χ arm πιὼν Ποιη ce

316쪽

quidem ita Latine protulit Cicero libro de Universo. pej scens ci materia, cum ex tribus essecisset unum,

i in ea quae decuit membra partitus es. iam

par teisssingulas ex eodem is altero, is ex materia temper Uit. Fuit autem talis tru partitio. Unam principio partem detraxit ex toto secundam autem, primae partis

duplam deinde tertiam, quae esset fecundae se quialtera, pr/m t ipla deinde quartam, quae secundae dupla esset:

quintam inde, quae tertiae tripla tu extam, octuplam primae postremoseptimam, quaeseptem is viginti partibus antecederet primae Deinde insiluit dupli tripla intervam explere, parteis rursus ex toto dissecans: qui intervassis ita locabat, ut in ingulis essent bina media ἴix enim audeo disere medietates, quas Graeci appetiant se quasi ita dixerim inteVigatur urit enim planius earum alteram eadem parte praefantem extremis , eademque superatam e alteram ari numero prae- flantem extremas parique numero superclam Se ui- alteris autem inter vara os visertus, si υ a- Dissi ptu ex his cossi leonibu inprimis interet a

se quis Iazo intervasio sesquitertia omnia e libat, cum paniculam VHornm relinqueret. Eis autem particuo intervam , habibat numerus adu mertim eandem proportionem comparationemque in extrinis, quam habent

317쪽

bent CCLVI cum CCXLIII. Nempe harmoniam

Universi explicaturus Plato eandem in toto esse existimavit, qu a in omnibus4 singulis partibus animadverterat. Et cum Omnia ex numero,pondere, ac men

sura constent numerus autem omnis, vel par sit, vel impar omnia autem corpora, stiperficiem habeant seliditatem, quae per quadratavi cubos optime explicantur ex unitate, quae tam in singulis corporibus, quam in toto conspicitur,t ex binario, inter pares numeros primo, ex ternario primo impar numero, horumque quadratis 5 cubis , omnium naturam dependere assirmavit. Quippe , cum totum niversum unum sit, ingula in hoc universo unum: omnia autem e plurimis corpusculis componantur, quae rursum ex aliis corpusculis coagmentantur, Partim numero paribus, partim impar1buc coagmentata autem, unum corpus generant,superficie Olia late praeditum corpus ergo hoc natura unum e Paris, imparis numeri quadratis cubisque constat adeo ue, duplum habet, triplum, quadruplum, noncuplum, octuplum, uvigecuploseptuplum.

Intervalla autem haec dupla triplaque, eo modo lunt disposita, &ita inter se combinata , ut convenientiam invicem habeant, gratamque harmoniam faciant:

uod eXperimento , in omnibus corporibus sumpto demonstratur. Erunt ergo intervalla haec medietatibus quibusdam harmonicis conjuncta, qVarum quidem una, eadem parte minus eXtremum eXcedit, qua Q alo

318쪽

ab altero extremo operatur altera aurem medietas eodem numero ab uno extremo superatur, quo alterum excedit. Ut si minus extremum fuerit 6 majus, duplum atrius, erit a medietas autem inter duo haec extrema Excedit autem octonarius senarium tertia parte senarii nempe binario, qui est triens senarii a duodenario autem superatur octonarius quaternario, qui est triens duodenarii, adeoque octonarius tertia parte senarii eXcedit senarium, tertia autem parte duodenarii exceditn a duodenari, hoc

est, eadem parte extremorum excediti exceditur. Novenarius autem excedit senarium ternario: cxc ditur autem a duodenario, etiam ternario, hoc est, eodem numero exceditri exceditur. Inter binas autem hasce medietates ratio est πυδορς seu sesquioctava.

Unde positis hisce binis coetera spatia sesquioctavis eXplentur. Adeoque, secundus tonus est sesqui- octavus primi tertius autem, sesquioctavus secundi. inartus autem tertia sesquioctavus non est: sed rationem habet in numeris, quam a 6 ad 2 3 cujus causia antea a nobis fuit explicata. Rursum, inter sesquialteram&duplam ponitur sesquioctava rursum. himus sesquioctava Adeoque, posito in medio sessi

319쪽

DE VERITAT GLOMETχ. 1 B. II or Primus autem in ὀοας est 2 16seu re. Est enim et 1 senqvioctavus numeri 10 et Assius autem sesquioctavus seum est et . . . Primi autem numeri sesquitertius est 236. Graecis i is σάρων vulgoo. Hujus autem sesquia octavus, primi vero sesquialter est 288 , λαώντε seu sol cujus sesquioctavus est 3 et . a. Hujus autem sessiqvioctavus non datur. Posito autem 3 8 primo numero, erit sesqui octavus, seu re r: hujus sesquioctavus, seu mi, 86. sesquitertius primi, seu se sar. sesquioctavus hujus, vel primi sesquialter, tu es V, 76 Graecis iα- ντρο hujusque sesquioctavus la 648. hujus rursum sesqu1- Octavus)ι729. denique duplus primi, quarti vero sesquialter, c quinti sesquitertius est 68 i-ῶν, seu

Octava ut ob quam etiam causam Timaeus Locrus apud Platonem hunc numerum animae nund tribuit primamque vocat: -ς- αγνοῶν ἰξοῦν ψυson' συνε- χρονα, - σβυτερον ἐπόνει, μίαν οῦ γαιρεων τοι πρω-

Ut fidem minime incognitam sepq sit, ex quibus, ct per ου haec modi anima botituti: Uam, non estimam ordinaGit Deus post corpoream istam essentiam, ut nos ormamus: i denim quod honoratius es, sotesate, is tempore prius sed antiqUiorem creaίit,

Damiano primam auferens, quae unitatum erat qzatuor,

320쪽

3o Wi LAEL MI LANGI. octo praeterea den ireum , ct trium centenariorum hoc est innumeris CCCLXXXIV. Has autem medietates Theo Smyrnaeus certam quandam αναλογίαι seu proportionem generare dicit, ab ἀναλογή illa quam Geometrae considerant diversam. Quem secuti postea auctores Latini, proportionum varia genera fecerunt, ciliam quidem vocarunt Geometricam, quando eadem est ratio unius extremi ad medium,quae, mC- dii ad alterum extremum aliam Arithmeticam, quando eodem numero, majus extremum excedit medium, hedium eXcedit minus extremum aliam Musicam, quando, eadem sui parte, Mus Xtremum eX-

cedit medium, qua extremi minoris parte medium excedit minus extremum Equidem non multis heic disputabo, an benei commode, vel a Theon Smyrnaeo vel ab aliis Geometris , hae proportiones vocentur meque enim de Vocibus cum aliquo contendere voluerim Sussicit enim nobis, quod intellistamur. Id tamen indicatum Lectori velim, me quando proportionem impliciter nomino , semper , ex

Veterum Geometrarum more, eam Intelligere αναλο-

γ ν vae V algo Geometrica appellatur. Et de hae intelligendi sunt Veteres Geometrae, quando να αν nominant. Llod, si cibomius diligentius observasset, aliquot forte errores vitasset,ut iam statim de