Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

291쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. IL Iosanitas una cum morbo existit neque quies, una cum motu neque alterutrum horum, cum altero simul incipit, neque mul cum altero esse desinit Habitus ero exi n-tici 1n Graeco legitur ξις δε γενεσι ubi vox δνεσις denotare videtur feri aut existere, ut distingvatur vox habitus ab aliis significationibus his priCatio, hoc disserunt quod, contraria permutari invicem po Xnt scut Janitas in aegritudinem , is aegritudo , in sanita-tatem: acutum, ingrave; grave in acutum ha- hitin vero is priCatio non item sed habitus qυirim iuprizationem mutatur privatio vero nunqSam in habitum. Etenim, vivens quidem moritum mortuum vero minime reίisiscit. Absolute autem , habitus es possessio ejus, quod est secundum naturam privatisve o , . am4so ejus, quod estsecundum naturam autem relationem inίicem habent simul necessario Gunt, esse desinunt. I possibila enim es , duplum quidem dari, nisi dimidium una detur. Et tim ac duplum esse inci, sit, mulis dimidium sci statim ac duplum esse de nidi, etiam dimidium esse definit. Urmatio veroo ne

gatiosermonispotio specie uni ac veritatis is menda ei indices. In Graeco legendum arbitror Καί epe ditasia es: ασις ο ρ ριδεο μῶλλον ba dcc dc sic quoque verti altera enim lectio sensum commodum non ha

bet enim hominem, verum est, quando ita es fati sum autem, quando non es. Eadem ero ratio in nega tione , vel vera es , etfalsa , secundum

292쪽

28 WIL MEL MI ANGLrem illam quam denotat vera quidem, quando res itast habet falsa autem, quando non ita se habet. Rurs- , bono se malo medium aliquod datur, quod neque bonum est, neque malum plus quoque, 9 minus, medium habet mediocritatem o tardim ac ceterius , id quod est aequali sceleritatis. Habitus ero prisationis nudum datur medium. Inter itam enim is mortem, nihil est medium , crit neque interia citatem is sum bis quis dicat, id, quod nondum natum est, sed nunc nascitur , medium esse

inter itam is mortem: ct catellam, qui nondum videt, inter caecitatem , visum medium obtinere taui ero ita loquitur, medium dat, secundum accidens non vero sec dum propriam de nitionem contrariorum. Relativa ero medium habent. Inter dominum enim servum medium datur liberum esse: inter a s ct minus quais is inter latius se angustus , id quod conzenit.

Coeterorum quoque contrariorum, medium aliqiud λίemetur, qSod, vel nomen habet, vel nomine caret. Inter rmationem vero is negationem , medim non datur.

Sicut inter ilias nunciationes, homo est, is homo non es, nihil mediis datur aut Pud, mussicum esse, vel non esse. Et absolute quidem, aliquid necessario et affirmari dicitur, velnegari de aliquo ossi r mari quidem qitando esse indicatur sicut hominem, equum o quae una cum his exsunt sciit, cum homine quidem, esse muscum , cum equo vero, esse belZatorem negari eris, quando indicatur quid non tes cui non es hominem , se non esse equum tum quoque de iis quaecum hissnt, ut hominem

293쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 28 Inon esse sic aut equum non spe bellatorem. Atera i mationem ero is negationem nullam e smediu. Cum vero ex his constet, duplum&subduplum,&dtiplicatum ac subduplicatum CX eo genere oppositorum ei se, quorum uno dato, alterum quoque detur, uno

sublato , alterum quoque tollaturci manifestum est, cum triangula, polygonave majora, habeant ad minori, rationem duplicatam laterum homologorum t-jam minora triangula&polygona , ad majora , rationem habere subduplicatam laterum homologorum. Atque eodem modo, cum, parallelepipedum majus, adsimile parallelepipedum minus , rationem habeat tripl1catam rationis laterum homologorum e etiam minus parallelepipedum ad magus, rationem habere subtriplicatam laterum homologorum. Omni enim ratio duplicata ponit subduplicatam omnis ratio triplicata ponit subtriplicatam. Nempe , si unus terminis comparatorum , duplicatus fuerit , alter

subduplicatus erit: si unus triplicatus alter subtriplicatus. At , quemadmodum, duplicatumri triplicatum ex multiplicatione sit cita subduplicatum , subtriplicatum sit ex divisione. Contrariae enim conclusiones ex contrariis operationibus procedunt, duplicatio quidem e multiplicatione , ut jam dictum fuit subduplicatio vero, subtriplicatio ex divisione, Sicut ergo nulla duplicatio, triplicatiove, sine multiplicatione peragitur ita, nulla subduplicatio,

subtriplicatiove sine divisione unquam perfici potest. n Eodem

294쪽

Eodem ergo modo , quo ratio ANB, ad N B, vel ABCDEF ad GHlKLM, est facta multiplicando,

CX coinpositione rationis AG ad GN. AB, ad GH ratioque iκλμνξ ad αβγα εἰ est faeta triplicando rationem λ ad α, per seipsanis ita etiam ratio NH ad AN B,vel GHIKLMad ABCDEF,fit dividendo rationem G ad A Nper seipsam ratioque α δε ἡ ad ιυ fit dividendo bis rationem h ad θ per seipsam. Sit enim in eadem figura XIX ut A ad G sic Nad P. Et rursum, ut θ ad ι , sic k: ad hir, ad στ.

Ut ergo AN adHP, sic AN B triangulum ad GNHtriangulum ' vet,ut AN ad ΗΡ, si ABCDEF ad GH- IKLM: vice versia, ut GNH ad ANB seminad vel ut HIKLM ad ABCDEF , se P ad AN Ratio autem NH ad ANB, vel GHIKLM ad ABCDEF est subduplicata rationis N ad AN, ut

Jam demonstravimus ergo ratio H P ad Am est subduplicata rationis G ad AN At ratio subduplicata est factoa ex divisione rationis illius in se, cuius est subduplicat ut jam indiCavimus, atque antea plenius exposuimus. Matio ergo Pada est fa

G ad AN. Eodem modo, ratio cad.i est triplicata rationis λ ad Nam ut in. ad αβγ ij, sic had i. At μνξ ad αβγM, est triplicata rationis A ad h. ergo' ad P erit triplicata rationis θ ad h. Dico vero vice versa, ut, αβγδρύη adHiκλμνε, sic ad A. Sed ratio αβγ ad α ι, est subtriplicata rationis. ad ρ .

295쪽

xitPOte, Opposita rationi ii λανξ ad αβγδε η ergos restio iri ad λ, erit subtriplicata rationis es, ad Ratio vero subtriplicata est facta ciuiterata divisione rationis data per seipsam divisaea ratio ergo si ad λ est facta ex iterata divisione rationis ιη ad λ. Atq; e histiquet,quod, quamvisEuclides,nusqua, quod ego sciam, divisionis rationum meminerit e perbonam tamen consequentiam, illa doctrina, ex ipsius principiis c demonstrat1onibus, deducatur ac probetur. Unde etiam patet, quomodo definitiones X ScXI libri quinti, rationis nempe duplicatae , triplic

tem tres magnitudinesDroportionale uerint, prima, ad tertiam, duplicatam rationem habere dicitur , Ius quam habet adfecundam. vando autem quatuor magnitudi- Cessuerint proportionalesci prima, ad quartam, triplicatam rationem habere dicitur, pus quam habet ad cundam issemper deinceps, lapsus, qCoadproportio processerit. Nempe si in figura XIX , tres linea AN GN. HP fuerint continue proportionalesci crit ratio

296쪽

A ad ΗΖ, duplicata rationis A ad GN. ratio autem HP ad AN, subduplicata rationis Nada , ut

jam fuit demonstratum , adeoque, &subduplicata rationis HP ad G cum H P ad G aequetur rationi G ad AN. Eodem modo ratio λ ad iri est triplicata rationis θ ad ιν, sumptis quatuor continue pro 'Ortionalibus λ ρσ: Ratio autem tria est subtriplicata rationis αι, ad λ, Vel r ad eir.

Illud etiam ex his clarum sit , rationem A ad H Pseri componendo , ex ratione A ad G per rationem G ad HP adeoque , rationem G ad HPfcri, dividendo rationem NadHP, per se hoc est, inveniendo mediam proportionalem inter AN M P. Sicut enim, AN adHP, cst duplicata rationis , NadHP ita, G ad Hri cst subduplicata rationis

Ita etiam ratio ij. ad j est subduplicata rationis θ ad , , Vel οι, ad- tum quoque ratio j ad iri, subtriplicata rationis θ ad iri, inventa nempe per duas medias proportionales inter θλ i. Quod si quinta continue proportionalis Mor in eodem schemate sumatur erit ratio j ad j subquadruplicata rationis cad στ, venta nempe, per tres medias proportionales inter ψ no et constitutas. Atque hoc modo additis quotcunque continue proportionalibus aut pluribus mediis proportionalibus inventis e ratio excessus vel componitur, vel dividitur.

297쪽

DE VLα1TAT GEOMETR. 1 A. II. 28sInversa autem methodo rationes defectus, additis quotcunque continue proportionalibus , dividuntur inventis autem mediis proportionalibus , augentur ac multiplicantur. Ex iis enim , quae antea

fuere demonstrati, ratio HPad AN est subduplicata rationis GN ad AN, adeoque ratio G N ad AN, vel HP ad G , est duplicata rationis H P ad AN. Sic

monstratum. Unde ratio j ad ,est duplicata rationis ad λ.6 eodem modo iri ad j est triplicata ration1s

Ex quo id etia intelligitur,quid ratio illa rationis Ll, quam Archimedes iρ vocat, Latine sesquialteram: quae potius, ad differentiam illius quae addendo fit, sesquiplicata foret dicenda in sic sesquitriplicata sesquiquadruplicataci novis quidem vocibus , sed ad disserentiam rerum necessariis: Vas tamen ita propono, ut mi quis alias retinendas Velit, cum eo disputare nolim. Nempe, alio et adest triplicata rationis , ad λ ratio autem et χ ad η, est duplicata rationis et ad θλ ratio ergo p cad hir, sesquiplicata Graece . sese viastera rationis ψ-α, . Una enim ratio est ut , altera ut 2. Sic ratio ψχ ad σα, est quadruplicata rationis et ad θλ adeoque erit duplicata rationis i adessen sesquitriplicata autem , vel si vis , sesquitertia, rationis φ- r. Ita , si in eadem hac figura, sumantur octo continue proportionale πυ-ύν ς . δ. , crit quidem ratio ad ir septuplicata ratio-

298쪽

a 86 1LMEL MI LANGLonis G ad Ore ratio autem re ad 4 erit scXtuplicata rationiSπυ ad ι . Unde ratio adjicrit sesquisexta belsi mavis sesquisexplicata rationis πυ ad C. sunt enim, ut ad 6 Forro ratio re ad. est quintuplicata rationis mi ad μ, adeoque subsesquiquintupla, vel subscsquiquintuplicata rationis j ad ιβ Ratio enim re ade est sextuplicata rationis πυ ad μ . ratio autem re ad α, est quintuplicata ejusdem rationis re ad Ou, Ergo

ratio πυ ad β est sesquiquintuplicata rationis V ad perc0nsequens, ratio dirua est subsesquiquintuplicata rationis πυ ad β. indeoque ratio re ad

componitureXratione πυ adora, multiplicata per rationem' ad αγ Vel ex ratione Vad multiplicata per rationem πυ ad M. Eadem Vero ratio πυ, ad Hesia asia per rationem re ad v, dat factam, ad υ civis a per re ad γ, dat aes am τυ ad ia. Quoniam Vero antea demonstratum fuit, rationem ipsa πυ, esse subtriplicatam rationis ομ ad ι ratione ad τυ, esi subduplicatam rationis uad . erit ergo ratio a triplicata quidem rationis cadau: duplicata Vero rationi ad πυ. Et eodem modo,cacem ratio uadrru, erit'Vadruplicata rationis θ ladib quintuplicata rationis ad & si quousque continue proportionales fiterint ordinatae. Quod cx iam

dζmonstratis liquet. Erit ei seri 'mratio sit ad v, est composita, ex rationes ad tripli

catas

299쪽

DE VERITAT GEOMETR. LIB. IL SI Cata, de ex rationes ad res quadriiplicata sic in infinitum. Omne autem compositum in ea dividitur

Unde componitur. Ratio ergo ad 10 in treS aeqVales rationes divisi dat aes am, rationem ς ad πυ in quatuor, rationem ad reb. sic in coeteris. Adeoque in rationibus defectus , quo plures continue proportionales firmantur, O magis prima ratio dividitur; quo plures autem medii continue proportionales habentur magis ratione defectus componuntur. Si enim inter terminos rationi Gad: unica media proportionalis sumatur, nempe o, erit ratio ad res vel δ aio duplicata rationis Gad πυ. in dratum enim ec , ad quadratum eXπuine habet, ut ad πυ. At Vero quadratum exodi, seu minus, ad quadratum ex reb, seu majus, es in subduplicata ratione laterum. Majus enma quadratum , ad minus, es in ratione duplicata laterum adeoque minus, quadratum ad Mus, erit in ratione subduplicata laterum hoc est, ratio quadrati eX V, ad qVadratum X πυ, quae est ratio θ ad dies est subduplicata rationis laterum, hoc est, rationis ad reb. Ratio ergo ν ad πυ , est composita ex ratione δ' ad res duplicata. Quod si inter ps bris, vel alterius cujuscunque rationis defectus terminos, sumatur media proportionalis ratio prioris termini ad

mediam bel mediae, ad consequens , erit composita ex ipsa ratione defectus data duplicata. Cujus demonstratio e priori dependeta Sive enim inter&ib, sive inter V sumatur media proportiona-

300쪽

288 Wi L MEL MI LANGI.lis, eadem erit demonstratio , cadem utrobique ve

Si vero inter et g απυ, sumantur duae mediae proportionales, nempe in ore erit ratio ς ad , vel ad velo uadreb, sae enim tres rationes sunt invicem aequales triplicata rationis p ad πυ. Solidus enim

cubus ex ιμ, ad solidum cubum CX πυ, se habet ut is ad eb. Est vero cubus e , ad cubum e re , in subtriplicata ratione laterum. Major enim cubus , qui est ex πυ ad minorem eXομ est in triplicata ratione laterum esset, ut, πυ ad, sic cubus enm , ad cubum exo α. Adeoque minor cubus ad majorem erit in subtr1plicata ratione laterum εα ad πυ. Est vero ratio minoris cubi adis: Orem, ut, et g ad diu. Ergo ratio ζε ad πυ, erit subtriplicata rationis os ad res ideoque ratio οα adstu, triplicata ratiotiis ci ad r0. Porro ex priori demonstratione, si inter ωre sumatur media proportionalis se erit ratio. ad res, duplicata rationi ad πυ. Ratio autem ad dir , antea

fuit demonstrata duplicata sic rationis ad b. Ergo ratio μ ad πυ, est quadruplicata rationis ad U. Et scin inlinitum progrediendo, quo plures medii proportionales inter terminos rationis defectus sumantur eo magis ratio illa componitur si una sum tur media proportionalis, duplicatur; si duae, triplicatur si tres, quadruplicatur, c sic in infinitum. AtratioqVadruplicata, magis est composta quam tripli

cata: