장음표시 사용
321쪽
29 Ex iis autem quae hucusque de compositione divisionc rationum , diligentius atque accuratius dis. putavimus hoc inter alia liquet , auctis antecedentibus quarumcunque rationum; ipsas rationes augeri: antecedentibus imminutis etiam ipsas rationes diminui. Nempe, Vocunque modo, antecedens augetur , eodem retento consequente ratio ipsa componitur: 'VocunqVe modo, antecedens imminuitur ratio ipsa dividitur. Mutato autem ordine, in ea compositione quae fit multiplicando, si consequentia diminuantur, antecedente eodem retento ratio ipsa diminuitur: si vero consequentia augeantur ipsa ratio imminuitur. In ratione enim , ad para antecedens augeatur, fiatque aequalis ipsi αμ erit ratio eadem quae ad et c. tui ad σε est duplicata rationis A ad ψή, adeoque major. Unde aucto antecedentenvi aeqvali constituto ipsi μ erit ratio ipsa aucta. Quod si in eadem ratione, ν ad ψε, consequens imminuatur, fiatque aequale ipsi δ, erit ratio facta aequalis rationi ad δ. Haec autem dupla est rationis , ad ψή, adeoque major.
Eodem modo in ratione defectus , ad , si taantecedens terminus augeatur , fiatque aequalis ipsin erit ratio ad μι, duplicata rationis γε ad v, ut capite XII demonstravimus isdeoque major ratione: ad isti. Si vero conse ens imminuatur, etiam ra-
322쪽
3 1o rLAEL MI ANGLtio aucta erit. Ut, in ratione ς ad μ si consequens terminus imminuatur, fiatque aequalis ipsio, erit rat1o facta seqvalis I a ad O. Est vero ratio a ad obduplicata rationis γε ad α. ut demonstratum fuit cap. XII ergo & ratio facta erit major. Quod si antecedens imminuatur, aut conseqVens augeatur ipsa ratio minor fiet. In ratione enim excessus μ ad φε, si antecedens terminus imminutus, aequalis fiat ipsis, erit ratio facta aequalis rationi ad pa. Est vero ratio ad ps minor quam, ad a, utpote ejusdem subduplicata. Ergori facta hoc modoratio minor erit. Aucto autem conseqVente φὴ .aequato ipsi se, erit ratio facta aequalis o ad 5, quae minor est ratione M ad la , utpote ipsius subduplicata. Hoc ipsum in rationibus defectus locum habet. In ratione enim salo, si antecedens imminuatur, fiatq; aequale ipsi Et, crit ratio facta aequalis rationi gado, quae minor est ratione ς ad se, utpote subduplicata e
jusdem Si vero in eadem ratione 4 ε ad , consequens terminus o augeatur, fiatoue siqvalis ipsi oti ratio facta erit aequaliS rationi φε ad ομ quae minor est ratione
ς ε ado, utpote subduplicata ejusdem. Atque hoc in
omni antecedentium augment , Consequentiumve decremento tum qVoque in omni antecedentium decremento , conseqVentiumve augmento , codem
modo sic habet. Id ipsum enim, quod in ratione duplicat subduplicata contingit , etiam in ceteris
323쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. II quam qXadruplicata, sesquiplicata, sic in infinitum: cujus rei demonstatio ex capite XII petatur Quibus explicatis , facile intelligitur , quae ratio
major sit: quae minor Nemp si dataeqvβecunque rationes, ad idem consequens reducantur. Cujus antecedens infus est illa ratio major cujus vero antecedens minus est, illa ratio minor. Sumantur enim in figura XI duae rationes , β ad ψε, ad reducanturq; ambae ad commune Consequens, nepe φε, sitqhut ad m,sic M ad pa erit ergo ratio β ad φεminor ad Φε,cum antecedens illius, minus sit antecede-xe huJus adeoq; ratio, ad p. nor erit ratione, ad . Est ergo haec brevissima atq; expeditissima methodus inveniendi , in datis quibuscunque rationibus
quae inter eas major sit,in quae minor. Reducantur ambae ad idem consequens in tum illa ratio minor erit,imus antecedens minus illa autem major, cujus antecedens majus. Atquo hoc non tantum verum est, quando duae ratione excessus, aut duae rationes defectus comparantur invicem sed etiam, quando ratio excessus comparatur cum 'tion e defestus, contra. Eadem enim ratio obtinet, neque minori id evidentia demonstratur. Cum enim in omnibus rationibus Xcessus antecedens majus sit consequente in rationibus vero defectus antecedens minus sit consequentela ergo reductis binis talibus quibuscunque rationibus ad idem consequens, erit ratio excessus semper major ratione defectus. Equidem, quamvis
324쪽
3a WILHELM1 LANGI hoc ipsum per se satis clarum sit alia tamen demonstratione , id ipsum clarius explicabo. Constat ex is quae hucusque fuere demonstrata , in omnibus rationibus, tam excessus quam defectus, quo majora fuerint antecedentia, eo majores este rationes: quo minora fiterint antecedentia, eo minores esse rationes.
Adeoque ratio dupla minor est quam tripla, haec quam quadrupla : Eodem modo, ratio subdupla m jor est quam subtripla δε haec, quam subquadrupla.
Subdupla enim ratio est, quando antecedens consequentis dimidium fuerit, adeoque, consequens antecedentis duplum Subtripla autem, quando antece . dens tertia pars seu triens erit consequentis, ademque consequens triplum antecedentis Sic in ratione subquadrupla consequens antecedentis est quadruplum . A quo majus consequens , eodem retento antecedente eo minor ratio. Subquadrupla ergo
ratio, minor quam subtripla & haec, quam subdupla. Sit enim , t ining XI dupla ipsius λ, tripla autem
ipsius , quadrupla autem ipsius κη. Matio ergo οι, ad p , minor erit qVamo ad χ Moad 4 minor erit quam h ad cpχ cum α η antecedens sit minus Mam o, cantecedens minus quam θλ. Est vero . , ad cp subquadrupla, autem adit e subtripla, denique λ ad ψχ
subdupla. Ratio ergo subquadrupla est minor quam subtripla &haec minor quam subdupla. iniquo scin infinitum. Comparentur nunc invicem rationeS duae, una excessus, altera defectus nempe, tripla cum
325쪽
DE VERITAT GEOMETR. 1 B. II 3I3 subtripla rac dupla cum subdupla, seu dimidia. Jam
neminem ego adeo mente captum arbitor; ut d1midiam rationem seu subduplam dupla majorem dicat: adeoque nec subtriplam tripla Marcus quidem
Meibomius, contra communem mentis intellectum,
dimidiam rationem seu subduplam aequalem ait ese duplae majorem autem dicere non audet. Et sane, quis mortalium , istum hominem sana mente praeditum, arbitretur qui, dimidium alicujus magnitudinis, ejusdem, vel aequalis magnitudinis, duplo, aequale majusve diceret Verum de ista Meibomi absurda opinione postea agemus. Nunc illud tantum supponimus, rationem dimidiam seu subduplam non esse majorem ratione dupla neque subtriplam, majorem tria pla, sic in infinitum. Dico autem, rationem subduplam , neque aequalem esis duplae neque subtriplam, triplae. Ideoque, cum neque aeqvalis sit; neq; major ergo minor erit , Et subtriplam quidem rationem tripla esta minorem, ita demonstratur. Cum
enim ratio subdupla, ratione dupla major non sit , sed vel minor, vel ex falsa Meibomi sententia cidem qualis erit utique ratio subdupla, minor ratione tripla . quandoquidem ratio dupla, minor est ratione tripla Atqui ratio subtripla minor est ratione subdupla e quandoquidem hujus antecedens , ambae
rationes ad commune consequens reducantur, majussit, antecedente alterius 4 At quarum rationum an
326쪽
Wi LAEL MI LANGI.jora illae etiam rationes sunt majores: quarum antecedentia sunt minora illa etiam rationes sunt mi nores ut principio hujus capitis demonstratum fuit. Ratio ergo subtripla cum minor sit ratione dupla etiam Onor erit ratione triplari cum subdupla ratio minor sit ratione tripla. Eodem plane modo ratio subdupla demonstratur, minor esse ratione dupla. Sumptis enim binis rationibus, una excessus, altera defectus, nempe sesquialtera&subsesquialterari erit ratio sesquialtera minor ratione duplari adeoque &subsesquialtera minor erit ratione dupla Ratio autem subdupla, minor est ratione subsesquialtera , cum hujus antecedens, respectu ejusdem consequentis,m jus sit antecedente illius Ratio ergo subdupla, minor est ratione dupla. Facile ergo ex his perspicitur quidaequalis ratio sit, quae major, quaeve minori Nempe, reductis, datis quibuscunque binis rationibus, ad idem consequens si antecedentia aeqValia fuerint ; erunt rationes aequales si vero inaequalia illa ratio minor, cujus antecedens minus illa Vero major , cuJus antecedens majus. Quod in omnibus omnino rationibus verum esse, hucusque demonstravimus Euclides autem , vel si mavis Eudoxus jujus, librum quintum Elementorum esse, auctor scholi1 illius m V. librum testaturi aliam plane definitionem rationum aequalium S inaequalium nobis dedit longe quidem ea obscuri-
Orom, Mam proposuimus veram tamen ac minime
327쪽
D VERITAT GEOMETR. LIB. II. Is falsam,prout contra Meibomium nunc monstrabimus. Et de aequalium quidem rationum definitione, quas Euclides vcl EudoXus easdem vocat, nullam nobis litem movet Meibomius. Quoniam tamen posterior definitio rationum inaequalium, seu majorum minorumque ex illa debeat explicari . utramque Geometrice demonstrabimus.
In eadem ratione, magnitudines esse dicuntur ulm-ma adsecundarai, O tertia ad Fanam , quando I ritiae tertiae θίemultiplices , ecundae ct quartae aeqv multiplices, uxta quamcunque multiplicationem , utraque utramque, vel unasuperant, vel una aeqίales sunt 2 Rr zel
328쪽
316 11 MEL MI LANGI. vel una deficiunt inter se comparatae. Uvae vero, andem habent rationem, magnitudines,proportionales C centur. Avando autem aeque multi cium, multiplex idem primaesuperaverit multiplicem secundae , tiplex ero tertiae non superaverit multiplicem Cartae, tunc prima adsecundam majorem rationem habere dititur, quam tertia ad quartam. His verbis definitio rationum aequalium&inaequalium ab Euclide libro .
Elementorum concipitur. Notandum autem est, ea verba, quae in priore desinitione rationum, nempe, aequalium seu earundem,reperiuntur,ucθ' miλ πολλοὶ πλαυσιασμά juxta quamcunque multiplicationem, cNjam in posteriore desinitione esse repetenda cum albas ipsi definitio nimis sit angusta quod ipse quoque Meibomius verum supponit. Id vero lai satis nequeo, quid, et Euclidem, vel Eudoxum moverit, ut desinitionis loco haec supponeret alia vero hinc demonstraret longe his clariora. Qua quidem in re utidem criminis accusari potest, cujus in priore libro reum ex Proclo peregimus Apollonium ' nempe quod dum res manifestas demonstrare conatur, aquae magis obscura sunt, quorum Veritates minus perspicuae , cogatur supponere. Desinitiones enim Geometrica eXplicant paucis tantum verbis, istune
perspicuis , quid illud sit quod desinimus. Et tu es
nostrae sunt, capite huius libri II. et ast ra
329쪽
DE VER UT AT GEOMET . In II II minores. Ratio autem, altera ratione major dicitur, qua aeqCalem excedit.Minor vero quae ab aequali deficit.
Quod autem antecedentia aequalium rationum juxta quamcunque multiplicationem sequemultiplicata simul eXcedant consequentium aequemultiplices inaequalium vero rationum non item : id demonstratione
quadami explicatione fatis operosa indiget. Santem, obscurius hoc est, quam illud, quod inter propositiones V libri Elementorum demonstratur, qvalia ad idem eandem habere magnitudinem. Atque hac quidem in parte non ab omni culpa liber est auctor hujus operis, sive Euclides is est, sive Eudoxus. Neque tamen haec movet Meibomius sed unam ex hisce definition1bus falsam esse ait, nempe rationum insequalium Equidem Euclides solam majorem rationem definit minoris vero naturam eX opposito intelligi vult. Quod autem male falsitatis a Meibomio
accusetur, id nunc demonstrabimus. Et ut haec quoque ab Euclide praeter leges Geometricas allata ce tam demonstrationem habeant tres hasce Propositiones in medium adducam 3 quae si Geometris placuerint Euclideis pro explicatione adjungantor. PROPOSITIO I.
Si duae quaecunque finitae magnitudines aequemuriplicentur, habebunt earum aequemultiplices eandem interse rationem, quam magnitudo ad magnitudinem imulti umprimae magnitudinis, adprimam magnitudi- Rr 3 nem
330쪽
318 W1LAEL MI LANGI.nem, eandem habebit rationem, qCam, multiplum secundae magnitudinis ad ecundam. Sint enim, in diagrammate hujus libri XII, AES: AD quaecunque magnitudines , quae, aequemultipli-plicatae, faciant quascunque magnitudines, v. g. AF
quatur ipsi AD , vel non aequatur. Si sequatura ergo per Axioma VI. libri I. Elem aequemultiplicia eorum ter se erunt aequalia. Eodem enim jure, quo ejusdem vel aequalium magnitudinum dupla, inter se sunt aequalia, etiam tripla erunt aequalia;&qudrupla decupla, millecupla in sic in infinitum. Si vero inaequalia fuerint unum ergo majus erit, alterum minus Sit A major magnitudo; AD autem minor erectaque e D perpendiculari quacunque ita ut angulus ad D sit rect hic conjungantur AE, AD circari ita ut faciat, cum perpendiculari, triangulum AEDMultiplicetur nunc linea AD, ita ut duplum ejus sit AG triplum AI quadruplum AL,in sic in infinitum. Producatur AEversus infinito v. causa in M. educ-
se E L ' pQi pondicularibus usque dum se
cent A M. infinite ductam dico singula segmenta, dare duplum, triplum, quadruplum, quintuplum ipsi