장음표시 사용
331쪽
DE VERITAT. GEOMETR. LIB. II. 379
AZ, sicut Adrast tripla ipsius AD, Atque eodem ino
do perpendicularem ex L. secare AM in Κ ita ut ΑΚ sit quadrupla ipsius AE. rursumque perpendicularem ex B secare AM in , ita ut C sit quintupla ipsius ΑΕ Quoniam enim DE GRI H. LΚ BC sunt perpendiculares ejusdem recto AB AErgoanter se omnes sunt parallelae adeoque erit, ut AD ad AG sic AEad AF: ut AD ad AI, sic AE ad AH:&sic in sequentibus Vel, alia methodo,jungantur EG& DF quoniam ergo triangula haec EFD, EG D sunt in eadem basis , desinter easdem parallelas ED FG erunt triangula invicem aequalia. Est vero triangulum AED, etiam aequale triangulo EGD, utpote in eadem altitudine,&m aequalibus basibus. AG enim dupla est ipsius AD, adeoque DG aequalis ipsi AD. Quae autem eidem aequalia, etiam invicem sunt aequalia. Est ergo triangulum EF aequale triangulo AED.Sunt vero
in eadem altitudine erunt ergo bases aequales per
L Sexti Elem adeoque EF aequalis ipsi AE Tota ergo AFerit dupla ipsius AE Jungantur porro EI&DH. quoniam ergo triangula EID, TH sunt inter eas dem parallelas ED ML,in super eadem basi ED, erunt invicem aequalia. Est vero triangulum EI duplum trianguli ADE. Iunt enim in eadem altitudia
ne adeoque, se habent invicem, ut bases , DI autem, dupla est ipsius AD. tota enim AI, tripla est ipsius AD. Triangulum ergo HE erit duplum trianstuli ADE. . Sunt vero haec triangula in eadem alti
332쪽
tudine. Ergo & basis HE baseos A dupla erit : deoque , totam , tripla erit ipsius AE. Eodem modo iunctis EL. DK demonstratur E esse tripla ipsius E, adeoque ΑΚ, quadrupla se ipsius AE. Et sic AC ipsius A quintupla. Rectae ergo AF AG sunt sequemultiplices AM A D. Tum quoque AH MAL, rursum AK A L. χcn1que AC4 AB sequemultiplices ipsarum AE, AD Est autem, ut AD ad AG, sic AE ad AF.&ut AD ad AI, sic AE ad AH. vel, ut AD ad A , sic AG ad AF,&AI ad AH,&AL ad ΑΚ,&AB ad AC. Rectae enim
DE, GF, HI, KL, CB , sunt parallelae , utpote eidem rectae perpendiculares. Ut ergo magnitudo ad magnitudinem , siciaequemiultiplices ad seque multiplices. Rursum ut AF ad AE, sic AG ad AD, it AH ad AB, sic AI ad AD. Ut ergo , aequemultipleX primae, ad primam magnitudinem sic , aequemuitia plex secundae, ad secundam. Qu9d erat demonstran
stamdam, eandem habet rationem, quam tertia ad qCartam, antecedentia vero quacunque multiplicatione modo ambo eadem multiplicentur e tum quoque conseqzentia, quacunque multiplicatione,sed ambo eadem, multiplicentur dico se multiplumprimae , excedat multiplumsecundae, etiam multiph tertiae, excedere multiplum quartae:
333쪽
D VERITAT GEOMETR. LIB. II. 32 I
ctsi deficiat , descere aequetur aeqUari. Et
vice versa , si antecedentibus aequemultiplieatis, o conseqtentibus etiam aequemultiplicatis , multiplicia antecedentium, simul excedant multiplicia consequentium; more ab iis desciant, aut simul aequentur, in omni mu tipli tione tum primam adsecundam, sandem habere rationem, qzam tertia, ad quartam. Sint enim in figlirinum XXI. magnitudines AB.
AC. .&AE: desit, ut, AB ad AC sic AD ad AE. Equemultiplicentur Bac AD,nempe vintuplicentur, faciantq; FN AG AC autem & E.
consequentia etiam aequemultiplicentur , faciantque duplicata AH& triplicata autem, A II AL dico, si , multiplex primae, seu , superaverit AH multiplicem secundae seu AC etiam imit1-plicem tertia superare in multiplicem quartae. Et si AF multiple primae , minor fuerit quam is multiplex secundaeci etiam multiplicem tertiae , minoremisse L quae es multiplex AE, seu quartae: fvetur, sequari. Useniam enim demons ratum fuit praecedent propositione , aequemultiplices duarum magnitudinum eandem invicem habere rationem, quam magnitudo prima adseCundam erit ergo,
ut AB ad AD , sic AF ad G Sunt enim Fi maequemultiplicia magnitudinum AB M . Et rursum, ut AC ad AE si AH ad AI Sunt enim AH 5 iaequemultiplicia magnitudinum At vero ex constructione, est, ut, AB ad AC, sic Dys ad
334쪽
ad AE: vel, ut AB ad , sic C ad Erit ergo, ut AB ad AD, hoc est, ut AF ad 4 se ad , hoc est, sic AH ad AI, vel Mad L. Si
ergo F multiplex primae, se , superaverit II multiplicem secunda: etiam a multiplex tertiae superabit multiplicem quartae Est enim,
multiplex primae, minor fuerit quam multiplex secundae setiam multiplex tertiae, minor erit quam multiplex quartae Est enim, ut F ad
9M , sic G ad AL Denique, si multiplex
Caequalis fuerit multiplici stiam multiplexe V, aequalis erit multiplici D. Pro altera autem parte propositionis demonstranda, si FAEMG aequemultiplicia antecedentium D, quae quidem juxta quamcunqVemultiplicationem , simul excedant sequemultiplicia, consequentium C& simulq; deficiant, aut simul aequentur dico ad C C eandem habere rationem, quam AD ad AE. Qiis in omni hac multiplicatione verum est. Si enim adversarius hoc negaverit, dixeritq; antecedentia quidem aequemultiplicatajuxta quamcunque multiplicationem, simul exedore aequemultiplicia consequentium &c non tamen ideo rationes esse easdem seu aequales sit ergo una quidem ratio AB ad AC , altera autem AP ad AE , quarum antecedentia ex adversarii hypotest Kquemultiplicata juxta quamcunque multiplicatio
335쪽
nem initi excedant aeque multiplicia consequentium nec tamen ipsae rationes sint aequales. Quintupletii AP sitque AQ. Retentis ergo prioribus, quintuplum quidem AB, unius antecedentis, es AF: quintuplum Ver alterius antecedentis, nempe AP;
est Ex prioribus autem, duplum ipsius AC, pri-
Oris nempe consequentis est , AH duplum vero AE posterioris consequentis est AL Excedit autem AF aequemultiplex unius antccedentis ipsam AHquemultiplicem sui consequentis A lutem aeque-
multipleX alterius antecedentis, non excedit A sequemultiplicem alterius consequentis e ergo non simul excedunt aequemultiplicia antecedentium eque- multiplicia consequentiumri quod est contra hypothesin. Supponitur enim aequemultiplicia simul excedere. Quascun4ve ergo rationes inaequales sumat adversarius , s atim demons ratur aequemultiplicia antecedentium, non simul eXcedere aequemultiplicia consequentium juXta quamcunque multiplicationem:
adeoque aliquid concludi, quod est contra hypothesin. iique ergo, propositum verum esis. PROPOsITI III. Si fatuor magnitudinum prima se tertia qCacunq; multiplicatione aequemultiplicentur , csecunda is quarta etia- quacunque multiplicatione aequemultiplicentur quemultiplex autem primi, excedat aequemultiplicem cundi sed aequemusti ex tertii non excedat aequemultiplicem
336쪽
3, ME LM i L ANGI.quarii erunt duae Le rationes inaequales; iEaqvidem major, cujus antecedentis aequemultiplex, consequentis aequemultiplicem excedit: Ea aurem minor, cujus antec dentis quemvis sex, consequentu aequemultiplicem nomieaecedit hoc est, prima magnitudo ad secundam majorem habebit rationem , quam tertia ad quartam, Sint in figura XXI. quatuor magnitudines AB, A. AP, AE. quarum primat tertia quintuplicata dent AF
Ain secunda vero vivaria duplicatae dent AH, AI: dico , quoniam AF , multiplex primae superat AH
multiplicem secunda: AQ autem multiplex tertiae, non superat AI multiplicem quartae , quod ratio AB
ad AC in or sit quam AP ad AE. Quod enim ratio AB ad A C diversalit ab ratione AP ad AE, adeoque,
binae hae rationes inaequales priecedenti propositione
demonstratum est. Cum ergo rationes AB ad AC, AP ad A sint in quales ergo una necessario minor erit , altera major. At illam rationem majorem esse , cujus antecedentis multiplum , Mus est multiplo consequentis cillam autem minorem, cujus antecedentis multiphim minus est multiplo consequentis ipsi recta ratio lana hominis mens dictitat. Quis nimianus contrarium statueritZaut qua veritate, vel in mediu illud adduci, vel sapientibus viris probari potest. Inio vero, re ipsa rationem AB ad AC majoremisse, quam AP ad AE, iride liquet. Reductisciana ambabus rationibus ad idem consequens AD
erit quidem, ut AB ad AC, sic AD ad E. Ratio
337쪽
ergo AD ad AE aequalis rationi AB ad AC, est major
ratione AP ad AE. Est enim antecedens A majus antecedente AP ideoque illa ratio major hac , per ea, quae sunt demonstrata capite. XIV pag 3II. Quibus demonstratis , ipsa definitio VII. libri V. Elementorum Euclidis verissima deprehenditur falsumque omne illud quod Meibomius in contrarium
movet tum qVoque, ea omnia Vera , quae Propositione VIII. .X. libri V. Elementorum sunt propositi, cum eX hac definitione, demonstratio eorum uX-ta Euclidem procedat. Hinc ver , si haec definitio
omitteretur harum tamen Propositionum veritas facillima methodo demonstraretur Est enim VIII. Propositio haec Inaeqίalium magnitudinum mavor ad eandem, majorem habet rationem, quam minor is eadem ad minorem, majorem habebit rationem suam a morem Nempe tribus quibuscunque magnitudinibus datis , eadem, vel utraque datarum major est, vel minor, vel alterutri equalis , vel denique una quidem major, altera minor Ut in figura XAII. Sint duae datae AB major, CB minor, quae quidem conserantur cum alia, nempe, vel AK, ita ut AK utraque datamMox sit,uel AF, quae utraque data, minor sit, vel AI aut A quarum illa ipsi AB, haec, ipsi Dest aeqvalis, vel denique AH, qtiae neutri datarum qualis est, sed minor quidem quam AB, major autem quam CD. In
omnibus ergo casibus, ratio majoris ad eandem major est . Quam minoris ad eandem cum retento codem , Ss con
338쪽
3 6 ILHELMI LANGI. consequente, antecedens illius rationis sit majus. Datae enim rationes,quae invicem Onaparantur, sunt, AB
co rationibus semper priorum rationum antecedentia sunt majora antecedentibus posteriortina . cum illic antecedens sitia o magnitudo,hei minor consequens autem idem. Rationes ergo majoris macrnitudinis ad eandem magores sunt, quam rationes minoris magnΗ udinis ad eandem quoniam illic antecedens majus est, hic minus juxta demonstrata capitis XIV. Pag. 11. V 't Vs' O Xusdem principiis constat rationem e-3usdem ad morem magnitudinem majorem se ratione 3usdem ad forem magnitudinem hoc est, m
ad AB, sic EI ad CD inforem rationen habere ovam EΙ ad Am eodemque modo EH, vel EG, ve EF Morem habere rationem ad CD quam ad AB
Si enim eodem antecedente retento, consequens ait xeatur ipsi ratio imminuitur juxta ea quae demon
itrata sunt capite XIV pag. aio: Unde uini rom-
rubus his cerationibus dem sit antecedens, unum autem conseqVens iustis, alterum minus serit tiam id a
ta. - Τ ς' η'HV deoque ratio e iusdem adminQrem magnitudinem , major, qu in e uidem ad
339쪽
DE Εα1TAT GEOMETR. LIB. II. a majorem magnitiidinem. Unde tota Propositio VIII certissime ac brevissime demonstratur. Sed& decima propositio hujus libri ex hoc eodem principi demonstratur. Verba Euclidis simi.
mae ad idem rationem habent, eorum majus idem iliud est quod majorem habet rationem ad qCod autem idemma orem habet rationem,i d minus ent. Nempe, cum
duae magnitudines antecedentes idem habeant conse-qVen ; unum autem antecedens, majorem ad idem habeat rationem, quam alterum seqVitur, hoc antecedens majus es . Etenim emonstratum antea est: majorem illa rationem habere, quorum antecedentia cum eodem consequente comparata sint majora mianorem Vero , quorum antecedentia minora Vide capite XII. .XIV. Haec ergo tam certa sint, ac
solem meridie lucere, aut nos homine es . Unde falsum ac vanum omne illud quod a Meibomio in contrarium adfertur. Videndum tamen, quibus a gumenais haec oppugnet Meibomius M an illa suapiente viro, aut Veritatis amante digna
Ipsum ergo Meibomium nunc disserentem audia mus libro suo de Proportionibus pag. a 6 Falsa igitur
ei Husa Propositio libri quinti Estmentorum Euclidis
340쪽
3 a WILAE L MI LANGLedi decima, quas pag. 32. 46. retuli is mi tae aliis. quae ab Aspendent. Falsa ergo eu uti postea amplius endam libriissint de uitio)eptima, Cam pagina 3 o. 4 retuli , qua tanquam basio Iasa iis Propos itio nititur. Multae autem Propositiones eterum quamvis fas non mi , mal tamen ex his elem Putarabus demon- rataeprobantur. Male enim Euclides hac oriDCa quin ut usus demonsrauit Osdem libri Propositiones XIV. XX XX Male quoque disinus Archimedes ex eadem demon stravit secundam propositionem libri primi de Sphae-rao Cylindro, quam pagina adduxi, ad quem Eu-
tocius commentando multas errone, Propositones , se octava quinti deduritas, protulit, Gas ante ipsum Papsus produxerat Mathematicorum Code faneorum lib.
VII ex quo desumptas , libriqίiuti Elementorum ni Puniores in adtexuerunt. Ex Ea quoque E et aqίint , propu lavit in ignis si paralogismorumse/ es, insecunda demonstratione Vm. Propos tram libr. II. de Sphaera cylindro quae paginae 8 versuris his vertabis incipit , niκmo Lam τ ὰ re ΓΘ Monserandum igitur qGadratum a CHinis minus esse rectangulo aBHC in HG. quod idem e t ac monserare quadratum a
CH ad refctangulum, a BHC minorem rationem habere, Cam re fam GHadHI Nempe 6 ad et . minorem habere rationem quam habeat o ad sh, vel Iad 3I. cum contra tuendumst 16 ad 2 . forem habere rationem, quam habeat ri. ad 3i oviam enim e I, ut Id. ad a , ita ari ad Il, a re esu di antia inter 2I.