장음표시 사용
341쪽
DE VERITAT GEOMETR. 1 B II. 32021 .e 3 i , hoc L 16 ct et , qCam inter I ct 3I. Nulla a tem ex omni antiqCitate Mathematica illustrior Proposito proferri potest , Cam haec it octast Ar chimedis in Catoties dicatur , quae ratio major si quae minor quae alterius duplis, quaesesqCialtera, in quo
cum Theon uniores omnes binprima Gregorius a Sact. Vincentio tam ample errarunt. Ideoque Eutoci commentarium , quo fustissime haec Tros Vitio is Euclidea doctrini, id eu, libri Cluti Propositiones VIII. O .
enarrantur, totum proterendum ut i ut, zid et eres, hic docuerint, clare omnibus consaret. Ita autem haec cohaerent, ut omnes Puniorum errores, nisi perspectis Ceterum erroribus solide judicari neqGeant. Mare, inquiebat Euthymius, cum is praecipi us hujus narrat Io-χris mihi scopus si, ut, totam antiqUitatem, ignora cinquibusdam Elementis Geometriae convincam deinde autem, Pliniorum prava explicationes monstro fas harulucinationes demonstrem antiqCis hunc honorem habebo, uiprimi, demonstrationum Ciribus ada fA eritati, omnium rerum antiquissimae , ictoriam concedere cogantur Agite ergo, opraeclari Mathematici, is omnesis nil neruos contendite, ut is acute omnia quae porror laturussum inspiciat s , alacriter vestra rationibus
ad infestis defendatis. talpam dixi qCinti libri Propυι- tionem, Ianam. od si illa quae inprincipita, paulo ante exposui, bene ob perpensa essent sapiatu alioque causas perspectas haberetis uobus autem modis illius falsiitatem ostendam Prim alsa Euclidis principia δε-
342쪽
WILHELMILANGLmonstrando Altero , vera Euthymi principia cono mando. Ita autem dc contra Euclidem porro argumentaturi sua probare conatur. res autem hujus Proposition scasu ses possit t. Vel enim tertia D inempe adhibeatur diagramma Euclideum ad hanc Propositionem a Commandino allatum Lutrauis reliquarum P, C minor est, et major vel mayore , minor minore autem C,major Primo casn primum hujus Pr positionu membrum, quodpagini a relatum est his er- ιι ι Inaequalium magnitudinum major ad eandem majorem rationem habet, quam minor Euthymius verum pronunciat falsum autem membrum cundum, reuertendo aduersam priori sententiamproferens, quod ibidem his verbis conceptum attulimus eadem adminorem, majorem rationem habet, quam ad majorem.
Atque hujusprimi casu illud exemplumponemus , quod .Graeci codices editus is manuscripti ad erunt: quod is Commandinus retinuit, Graeci odicis refigiosus interpres, quem sine causa hic deseruit Clauius, dum tertiam D secunda posuit,forem,propositionum XI . XX. Lejusdem libri demoni rationes, utputo, cuius Rerum igitur In primum membrum, ad T , seu majorem rationem habere, quam addo , se cadas falsum membrum sic dum, nempe D ad C,seu . ad , majorem rationem habere, qua D ad P, si ad . Secundo casiu, ' imum membrumfalsum e di verum autem secundum. Falsum enim II ad 6 , majorem
343쪽
DE VERI AT GEOMETR. LIB. II. 331 rationem habere , quam 3 ad 6 sedverum ad 3, jorem habere rationem , quam Artihfalsum en utrumque membrum , quippe is hoc sum est ad 3 , majorem habere rationem, quam et adnue istud; ad a,m orem hasere rationem, quam 3 ad .quod diuer generi rationes inter se comparari nequeant. euare ex tribin hujus Propos itionis casibus, unus verus est, reliqui duosa i , ut statim demonstrabimus. Haec ipsius Marci Meibomii verba sunt, in quibus praeter
stolidam quandam vanitatem atque arrogantiam , insignis quoque se monstrat falsum dicendi libido. . quidem capite X hujus libri accurate plene demonstraVimus, quam turpiter Meibomius Lectori imponat, dum Theoni aliisque juniorum errorem assingit, quem non commiseres quam falso hunc ipsum Theonem autocium accuset, cum ris, coeteri post ipsum Mathematici optime ea omnia scivermi, quae Meibomius pro suis oraculis vendita pagina 68. Unde haec tam cruda rursum Lectori apponere opus non erat. Equidem, in iis quae antea attigimus , ita se pessit Meibomius, ut fraus non ab omnibus tam facile animadverteretur Quotusquisque enim est, cui Theonem veteresve legit. In his autem , quae contraEuclidem moVet,ipsa Veritatis principia singulis omnibusque hominibus innata, convellit, ut multo u vide helleboro ipsi opus sit, ad tam crasib humores cerebro pellendos 'Vibus occupata mens, dueli norat, vel respuit, quod nemo sanus vertim esse non per
344쪽
332 ILHELMI LANGI. pervidet nemo, nisi mente motus, pro falso unquam habuerit. Falsam dicit Octavam dec1mam Propositionem V. Elementorum Euclidis falsam VII. desinitionem ejusdem libri quas omnes veras es e, nunc dicimus , d antea clarissime demons ravimus. Unde nugae sunt, quae de erroribus falsis explicationibus Veterii in pariter ac recentiorum hac in parte somniat Meibomius. QT enim hisce fundamentis nituntur, atque hinc solide demons rantur, certissima sunt , cum ipsa fundamenta sint optima ac certissima. Illi vero, qui exis imant nos Melbomi nihil contrarium diceres, advertant huc animum. Is enim falsam octavam iecimam Propositiones libri quinti Elementorum dicit e go utramque veram si demonstro. Is rationem 16 ad a. , majorem esta ait ratione et ad h. ego minorem dico. cis falsium esse ait, ratione ab ad 6, minorem ege quam 3 ad 6. ego idipsum verum esMamrmo. Miuid magis contrarium , quam uerum falsum' nirmatio&negatio Θ majus&minus pSed conseramus invicem Euclidis,hoc esst,nost ramasertionem , cum hac ei bomii: primo quidem in tertio Meibomii casu, ubi AB, seu unam datarum magnitudinum, tertia seu D majorem ponit , autem seu secundam, Cadem tertia minorem. Sitque ita figurinum XXII. hujus libra, AB Mei bonati, seu prima inaequalium, Ctiam nostra AB C. autem cibomii seu secunda inaequalium, si nostra CD, deniq:
345쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II 333 tertia seu eadem quae est Me1bomitri Euclidis D sitiaostra EH. Dicit autem Euclides rationem AB ad EH , majorem esse , quam CD ad EH. Tum quoq;,EH ad CD, majorem habere rationem, quam ad AB.
Utrumque falsum esse ait Meibomius e nos autem VC-rissimum esse antea certissime demonstravimus. Perca enim, quae capite XIV. .XiΙ. fuere proposita, manifestum fecimus reductis binis rationibus , ad idem consequens, tum illam majorem esste, cujus antecedens majus cillam vero minorem, CUJUS antecedens minus. Retento autem eodem antecedente, illam rationem majorem , cu)us consequens minus; illam vero minorem, cujus consequens majus Ratio ergo AB ad EH, major erit, quam CD ad DH cum antecedens AB, majus sit, antecedente CD. rursus, ratio EH ad CD, major erit, quam ad AB, cum illud consequens minus sies; hoc majus Videndum vero, quid contra manifestam hanc veritatem adferat
Meibomius 2 Dicit utrimque membrum hoc casu falsum esse , quod diversi generas rationes excessiva. δε- sectis inter se comparari nequeant. in vero unde
probat Meibomius hasce rationes comparari invicem non posses Creditne nos adeo fungos este, ut fidem habeamus contra claras ac manifestas demonstratio.
ne sine probatione quicquam proponent 8 At si in Geometricis disputare velit, saltem principia ipsius cognita habeat. Demonstravimus autem in pr1 ribus, nihil in Geometria supponi deberes nisi quod
346쪽
Wi LAEL Μ LANGI. communi omnium hominum notione vertim deprehenditur . . Sicut illa Geometrarum Xiomata vere
talia sunt vae eidem questa etiam inter se sunt qualia. Et totum majus sua parte. At vero talene hoc est principium cibomii. Eationes excesCae defectivae comparari invicem nequeunt Quis unquam
mortalium hoc concesssierit , praeter cibomium δContrarium docent omnes Geometrae, omnes Mathematici. Imo reipsa comparant invicem rationes cXcessus&defectus. At si impossibile esset rationes excessus&defectus invicem comparare neque id fecissent Geometrae. Mupd enim impossibile est, aut fieri nequit, id nemo mortaliu facere potest. Sane, id quivis ratione praeditus perspicit quod ea quae fieri nequeut ab nemine fiat. At revera comparatur invic erationes XCes sus&defectus. Ergo comparatio taliu rationum fieri
potest, neque est impossibilis. Sed video facile , quid Meibomium in hunc errorem praecipitaverit Fando forte audiuerat, es quaedam apud Geometras , quae comparari invicem nequeunt. Crediderim quoque ex verbis hisce Euclidis in Definitionibus rationum, λογς ες M. μγαθῶν μυογενων κλ Ratio est duarum magnitudinum ejusdem generis c. erroris si fundamentum traXisic Verum quidem est, nullam rationem pos sumi inter aliquidis nihil. T-όνος eo Γν ita λον, 'όου Ratio enim rei alicujus seu centis ad nihil nulla est Unde hac quidem in
347쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. ILParte verum ait Meibomius pag. 46. quamvis nihil novi adserat diuitum bona , cum pauperum bonis, quae nulla sunt, conferri non posse. Sed unde probat Meibomius, rationes excessivat ut ille loquitur aliquid esse , desectivas vero nihil ρ Sane, rationem aequalitatis vocat rationem nihili. An vero rationes defectus etiam sint rationes nihili ρ id autem ignoro. Quod si has quoque tales fecerit, jam non video quid inter rationes aequalitati. defectus discriminis siet. Equidem inter ocoseria narratum mihi aliquando fuit, vaccam sine cerebro vixissse per spatium aliquod satis longum, craniumque apertum nibit cerebri momstrash, sed vias quidem ductusque omneS, tum quoq; pulpam ipsam in lapidem mutatam. Quod ego Mei-bomio evenisse nollem. um enim facile fieri posiet, ut cui nihil in capite cerebri esset illi quoque ipsa rat1o adeo defectiva foret, ut plane instar nihil fieret. Sed meliora speramus optamusque Tantum id ajo, male argumentari Mei inium, pag. 46. qui principium suum, nempe rationes excelsus is de ectus non posse iu-Cicem e parari hinc probat , quod bona diuitis euentis, seu qui nil possidet, nequeant conferri verum enim est , si quidem Titius nihil plane possideat,
tum bona Lucii, cum illius bonis, comparari non posisse cum nulla institui possit collatio, inter aliqu1d
nihil oc autem contra comparationem rationum exces ij dcfectus nil concludit cum, rationes defectus vere sint aliquid ideoque, collatio ista sit re1
348쪽
ῖ; , ILHELMI LANGI. alicujus ad aliam. Ut autem curiosi, Lectori, gratam, hac in parte Operam praestemus paulo accuratius de iis disputabimus , quae comparari in Geometricis invicem nequeunt inter ea Crgo ratio in Geometricissum non potest . quae communem aliquam mensuram non habent. Cum enim ratio proprie atq; accUrate loquendo, sit mutua duarum magnitudinum relatio secundum quantitatem hoc est, ratio si1 1lla habitudo, quam una magnitudo habet ad aliam nempe, quod vel aequalis alteri sit, vel dupla , vel tripla vel centupla, Sc sic porro in infinitum haec autem relatio seu habitudo , non cognoscatur sine communi mensura ergo, ubi nulla communis mensura ibi neque ratio. Ubi enim nulla fuerit communis mensura ibi neque dici potest, an unum alterius duplum sit , an triplum , an dimidium , unde nec ipsa ratio haberi scirive potest. Equidem, in magnitudinibus inessabilibus dicere nequeo, unam alienus duplam triplamve esse : certam tamen harum linearum mensuram
habeo , ita ut in quibuscunque datis lineis candem
mensuram exprimere possim. Inter lineam vero quadratum quodcunque, in Geometricis nulla ratio datur quia nulla horum perfecta communis mensura. Longitudo quidem totam lineam mensurat, sed quadratum cubumve non nisi secundum unam mensuram. Coeterae uicin mensurae in latum nempe Scirc fundum, in linea non sunt. Ideoque, cum mensurariCO
modo linea nequeat , utique nec dici potest , quota
349쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 337 pars , aut quotupla quadrati cubive sit. Hanc ob causam , neque ratio inter finitum, infinitum datur: Infinitu enim illud vocatur, cujus nulla est menstri
sicut neq; inter magnitudines, pondera aut numerOS. Neque enim magnitudinis alicujus numeri, communis menstra datur. In magnitudine enim quacunque , quicunque numerus amitur cum omnis magnitudo in infinitum dividatur adeoque AE ,-num,&mille, centum mille numeri illic concip1antur. Eodem modo in eodem pondere d1versi numeri diversaeque magnitudines considerantur. Si enim cubus ferreus cum cubo plumbeo comparetur: si magnitudo cadem fuerit, pondus diversim erit: si pondus utrinque idem , magnitudo erit diversa. Cum ergo nullam communem mensuram habeant magnitudines, ponderari numeri, neque comparari invicem postunt secundum magnitudinem' adeoque nec inter illas ratio dari Euclides, aliis quidem verbis explicuit naturam eorum Mae comparari invicem possunt. Definitione IV libri quinti. Λογia χινωος ἄλληλα Δῆγεθη λεγ tuus, aut ναὶ α πολλαπλασιαζοφναῖ' - λων Ἐμερε χιν Nationem iuGicem magnitudinesia redicuntur, quae multiplicatae se inzicem possunt excedere. Unde, rationem invicem non habebunt , quae multi-olicat: e se invicem excedere nequeunt. Atque ita
videm, infinitum ad finitum, nullam habebit rationem quandoqVidem, quodcunque finitum, quomo-Vu docunq;
350쪽
33S II HELMI LANGI.docunqtie inlitiplicetur, semper sinitam habeat magnitudinem , ideoque infinitum Xcedere nequeat. Nescio tamen, an haec definitio fatis sit accurati inter lineam enim de cubum ratio non datur. Et tamen haud pro certo dixerim, saltem, non tam clarum dc manifestum id esse arbitror,ut supponi debeat lineam, quocunque modo multiplicetur , quadratum tamen, cubumve excedere non posse. Certum quidem est excessum lineae ultra quadratum aut cubum non dari. Verum id deo contingit, quod nulla sit
mensura, qua excessiis iste mensitiretur Omnia ergo, quae communem mensuram nullam habent, sunt plane irrationalia, hoc est, nullam ad invicem rationem habent scio aliter vocem imationalis Geometris quibusdam usurpar nempe, pro eo, VOdnOS ineffabilem rationem dicimus sed haec propria a tutae accurata vocis significatio est. Quae ergo communimentura carent, ea neque comparantur invicem secundum quantitatem. Moetera autem possunt Sic linea cur ad rect a comparantur invicem. Linea enim parabolica, hoc est, curva, aequatur alteri recitaedi linea cum meis, pondera cum ponderibus, numeri cum numeris comparantur. Id autem , quod demensura hucusque diximus , accuratius adhec nobi q