장음표시 사용
351쪽
DE VER 1TAT GEOMETR. LIB. II. 33stem, in hisce tribtis consistit; nempe,ut antecedens terminus conseqIlenti, vel aequalis sit, vel major , vel minor Atqui hoc sciri nequit, nisi per commianem mens iram , quae quidam indicat, an ambo termini,
reqvales sint, an unus in OT, alter minor. Quae ergo hac communi mensura carent, in illis neque sciri potes , an : eqvalia invicem sines an majora, minorave' adeoque, nec cita, quam a ii ii invicem habeant unde nec ratio inter talia datur. Si autem communem
mensuram habuerint , facile cognoscitur quis dato - 1ima terminorum major sit, quis mori nisi ambo fuerint aequales. At si cognitum est terminos , vel aequales esse, vel majorem unum, alterum minorem, idque certo modo, ut unus alterius, vel duplus sit, vel triplus , vel subduplus, vel denique, ut linea ad lineam, quae omnia mensura cognoscuntur ciam quoque ratio ipsa datur cum ratio nihil aliud sit, quam haec ipsa κεσις quam unum quantum habet ad aliudjuxta datam
quantitatem. At Vero omnes rationes communem habent mensi ram , nempe antecedentium terminorum. Id enim quod quantitatem exprimit ac definit, mensurat rem. Sed antecedens exprimit definit quantitatem rationum. Si enim antecedens duplum
fuerit consequentis , ratio est dupla si antecedens triplum, ratio tripla si antecedens subduplum, ratio subdupla atquc sic in infinitum Cum ergo in omnibus rationibus, tameXcessus quam defectus ante. cedens exprima ac definiat quantitatem rationum, Via r ergo
352쪽
3 o I LAELΜ1. ANGLCrgo communis rationum mensura datur , adeoque invicem possunt comparari.
Sed aliud forte argumentum opponet Cibomatis nempe , cum ipse Eucl1des fateatur, eas solas magnitudines mutuam rationem haberes, atque invicem comparari posse , quae , multiplicatae se invicem CXcedunt, ergo&illa solum rationes comparari invicem debent, quae multiplicatae se invicem potiunt eXcedere. At vero rationes defectus , si in infinitum in se
multiplicentur, nunquam tamen CXcedent rationem quamcunquC excessus datam. Si enim rationem quamcunque defectus duplicaverim, triplicaverim, deniq; millies, aut centies millies 11 se multiplicaverim: semper ratio facta erit ratio defectus, adeoque , mi-Iaor quacunque data ratione eXcessi Cum enim demonstratum antea sit, capite XII 4 XIIII. rationes excessus multiplicari , quando media proportionalis multiplicationi respondens , inter extrema seu terminos investigatur ratioque antecedentis ad mediam, est facta ex multiplicatione quae quidem priore major est,&tamen semper ratio defectris ideo ratio defeci us non potest excedere rationem datam excessus. Verum si hoc omnino ita se haberet, certumque adeo foret, non possiurationes defectus eXcedere rationes CXcessus , neque ullo modo invicem comparari
non ideo quicquam , vel contra Euclidem , vel
353쪽
DE VEαITAT GEOMETR. LIB. II. y Icontra Veteres Geometras proficeret Meibomius. Etenim, vel verum est id quod proponitur rationes defectus cum rationibus excessus comparari non posse; quod illae multiplicatae,has Xcedere nequeat vel falsucst Si falsum est omnis controversia est finita, solusq; Meibomius erroris convincitur. Si verum est utiq; id non ignorauit Euclides,qui ea tantum comparari invicem osse tradidit, quae se invicem multiplicata excedunt. Sane, nec in VIL definitione, neque in VIII vel X. Propositione V libri quicquam tradidit, ex quo demonstretur Euclidem rationes excessus Mefcchus invicem comparas e Post enim, e mente Meibomii, rationes excessus defectus invicem comparari non posse, quoniam istae multiplicatae has non
excedant cum ultimum hoc sit principut Eucli- deum dicendum omnino, si prius Verum est, neque
illud ignoratum fuisse Euclidio cum nihil disertis verbis contra hoc dogma scripserit . Ubi n1m Definitione VII. rationes inae ales, nempe majores minores desinit, ita loquitur, ut Verba quidem ipsius facile explicari possint, de rationibus ejusdem spec1-
eici si quidem supponatur, rationes eXcessiit cuma tionibus defectos non comparari. In demonstratione
quoq; Propositionis VIII verba illa a Iinas e ἀδ
alia et ero magnitudoqitcaemo Δ. ita explicari possunt, ut eadem magnitudo; nempe x, et major sit, utraque data, vel minor Si enim Euclides existimasset a tioncseXcessus cum rationibus desectus omnino non
354쪽
I ILAE L MI L ANGI. comparari ; ne ille necessarium fuisset de eo heic monere, quod eadem seu D media inter utramque datam sumi non posset quandoquidem , di alio principio cognitum es et eo nempe rationes Xcessus defectus non posse invicem comparari , quod se invicem excedere nequeant. Atque ita quidem constat, si verum omnino foret id quod Meibomius supponit:
nempe, non posse rationes excesssis 3 defectus invicem comparari, non tamen ideo ullum Euclidis principium a Meibomio versum esse cum is nusquam rationes Xcessus d defectus invicem disertis verbis
Sed nec argumentum hoc cibo mi ullo modo verum est . Definitio enim Euclidea quae de iis agit, quae rationem invicem habent, tantum de magnitudinibus loquitur: si ipsis quoque rationibus necessa rio applicari deberet, nihil tamen contra hoc certum principium concluderet quandoquidem rationes simvicem addantur, tandem, quamcunque aliam rationem Xcedant ratio quaecunque defect d positper aliam quandam rationem , nempe CXcessus cita multiplicari ut datam rationem excessus omnino X- cedat. Atque in additione res clara est. Detur enim quaecunque ratio defect is, nempe I ad 2, alia autem excessus 3 ad a. Si prior ratio quater addatur in-VIcem, erit ratiosa ista ad a, adeoque major, quam 3 ad a. Cujus rei demonstratiocX capite X pag. al& Qq petatur. Nerum , in multiplicatione, tiam
355쪽
DE VERITAT GEOMETR. 1 B. II 3 3 idipstim liquet. Datis enim binis hisce rationiblis, ades, ad a. si priorem militiplicaverim per rationem 7 ad D prodit ratio facta fas , quae major est ratione 3 ad x, seu 6 ad . Id vero, quod principio dixi , non posse rationes defectos in se multiplicatas ullam rationem excessus superares nihil impedit, quominus rationes ideo invicem comparari queant. Etenim antea demonstravimus , ea tantum invicem comparari secundum magnitudinem non posse , quae communi mensura carent. Rationum autem mensura e antecedentiti termino-nim quantitate dependet' quae facillime cognosci- tua, ubi ambae rationes ad idem consequens literintre lud hae. Tum enim facile perspicitur, quotuplus, aut vota pars consequentis antecedens terminus sit
adeoque communis mensura rationum datur. Sintcnim in gura XIX. rationes ομ ad , αγ ade invi cem cornparandae reducantur ambae ad idem consequensu a, fitque, ut ad o sic ad la Cum ergo
ratio ad ta, hoc est, u ad OV comparatur cum ratione es, ad et ca facile perspicitur, antecedens αλ partem esse consequenti antecedens vero ob totum ali quod esse, cujus pars sit ζε adeoque illic esse rationem partis ad totum heic autem, totius ad partem. Unde , communis mensura harum fationum datur. Ipsae enim rationes, nullam, proprie loquendo, quantitatem habent. Sunt enim seni relationes quantitatum, quoad quantitatem, Uantitas autem ipsarum
356쪽
sarum ex quantitate antecedentium terminorum simpliciter dependet. Si enim anteceden terminus, consequentis duplus fuerit ratio est dupla si itiplus, tripla: sic in infinitum. Nihil ergo obstat , quominus, rationes excessu si defectus invicem conferantur. Quod enim defin1tionem aliam Euclidis attinet, ea nempe comparari invicem debere; ae ejisdem smigeneris , nullo modo nobis adversatur Rationes enim eXcessus defectus, non genere differunt , sed specie Genus autem commune habent, nempe rationes. Eodem enim modo, quo animal genus hominis& bruti, dividitur in rationale, irrationales quae quidem divisio , diversias Musdem generis species dat: ita etiam ratio dividitur in excessus, aequalitatisi defectus, ut diversas species ejusdem generis. Atque hae veritates tam clarae sunt e ut ipse quidem Melbomius, quamviS contrarium verbis doceat, re tamen&opere eas ipsas probet Passim enim in libro suo, ac sigillatim pag. Io 6. IO . ait ration duplam
aequalem es e subduplae, seu dimidiae is sesquialteram subsesquialterae quod, quamvis ineptum plane ac falsum sit id tamen, quod proponimus , clare in-2ς't: uin nempe eit omium, rationes eXcessus
Uefectus invicem comparare secundum quantitatem. Ucquid enim aequale alter dicitur , id cum illo necessiari comparatur secundum Vantitatem. V ua enim sunt, quorum quantitas est aequalis. 1 Heidomius rationem duplam seu cxcessus, eqValem esse
357쪽
DE VERITAT GEOMETR. LIB. II. 34 cse ait subduplar, seu desectus dessesquialteram et-jam excessus , subsesquialterae, seu rationi defectus:
ergo rationes Xcesius S defectus secundum quantitatem invicem comparat. Adeoq; possim invicem comparari. Unde nullus hic lapsus, aut erro , vel Euclidis , vel aliorum Geometraruma sed solius ei bona ii, qui ea fieri pose negat, quae omne Geometrae faciunt, imo ρος ipsemet facit Meibomius quamvis hic falsam illi veram dc rectae rationi consormem comparationem tradant de quo plura sequenti capite. Hoc enim clare demonstraVimus, rationes excessus cum rationibus desectus vere conferri post e, ideoque male agere Meibomium, qui Euclidem Geometrasque hanc ob rem erroris insimulat.
Duos vero reliquos casus Meibomi quod attinet, primum nempe secundum , in iis quidem hoc unicum observandum est quod Euclides in comparatione rationum defectus,eas minores ponat, quarum antecedentia sunt minora ea vero majores, quarum antecedentia, reductis rationibus ad idem consequens, majora fuerint. Qu9d etiam verum esse, antea capite XII S XIV. hujus libri, accurate demonstravimus. Neque aliter communis omnium hominum intellectus, ipsumque veritatis lumen in natura residuum dijudicare potest . Si enim res mihi cum hoste quodam essset, qui exercitum sexaginta millium arma-
358쪽
torum Contra me duceret ego autem geminu haberem cRercitum, unum XL millium armatorum, alterum XX certum est, si duos exercitus conjungerem tum, quoad numerum bellatorum, rationem utrinque esse aequalitatis. Iuncti enim ambo mei eXercitus darent LX. Marmatorum, qui numerus alterius numeroqvalis est. Si vero propter alias causas , ambo exercitus colligere, locove movere nequirem mihi 'ero necessarium foret, uno exercitu hosti obviam ire, maximeque rebus meisiqnducere judicarem, si illum mecum eXercitum ducerem , qui majorem ad hostis CXercitum rationem haberet crediderim, nullum inter omnes duces, omnesve milites futurum, qui non eum eXercitum , majorem ad hostem rationem habere diceret , in quo quadraginta millia armatorum sunt; quam eum, in quo viginti millia adeoque, rei opere testarentur, rationem quadraginta ad seXaginta majorem esse, quam viginti ad sexaginta. Eodem modo, si Princeps decretum aliquod in quibusda urbibus qua citissime propositum vellet, eamq; ob rem,quinq; vel sex tabellarios emitteret , qui mandata ad quatuor vel quinque urbes praecipuas eodem intervallo a metropoli vel regia sede remotas deferrent, unaque in pagis , icisque per quas singulorum iter instituendum crat, eadem iudicarent. AdeXcitandum vero studium ac diligentiam cursorum, praemia singulis proponeret,pro ratione itineris quo vis die facti dico majora praemia eum habiturum, qui
359쪽
DE VER UT AT GEOMETR. 1 A. II. majora spatia confecerit adeoque rationem itineris
ipsius majorem csse. Si cnim in Ig. XXIII. hujus
libri A sedes regia. B. C. D. E. F. Urbe Sprimariae regni, eodem interuallo ab A disti tae . decurrant autem plures tabellarii, unus quidem versus B , alter versus G, tertius versus D, quartus versus E, e quintus Versus F. Primo autem dies, perveniat cursor AB in G: cursor vero AC, in H cursor AD, in I: cursor AE, in K: denique cursor AF, in L. dico , cum qui est in G, Mus praemium accepturum, quam eum, qui est in H, aut in I, aut in K, minus vero quam eum, qui est in L. eo quod plus itineris confecerit , quam vel H, vel Ι, vel Κ, minus vero quam L. Accipiunt
autem praemia juxta rationem itinerum suorum ad totum. Est autem ratio itineris ejus, qui est in , ut AG ad AB, ratio autem itineris in H, ut AH ad AC.& ratio itineris in I, ut Arad AD. sic itineris in K, ut A ad AE denique ratio itineris in L, ut AI ad AF. Quoniam ergo majus praemium accipiat is, qui est in G, quam is qui est in H, aut L aut ς minus vero quam is, qui est in L singuli autem, pro ratione itineris sui , quovis die peracti, praemia accipiunt, ergo ratio AG ad AB, major erit quam AH, ad AC, vel AI ad AD , vel AK ad AE. Eadem vero ratio AG ad AB, minor erit quam A ad AF. Sunt vero AB AC, ADt AF aequalia. Reductis ergo omnibus
rationibus ad eadem, seu aequalia consequentia ratio 1lla major esse dsprehenditur, cujus antecedens ma-
360쪽
W1LHELMI LANGI. illa aute* minor , cujus antecedens minus: quod quidem antea X claris certisque Geometricis principiis cap. XII. XIIII fuit demonstratum, unde Lector plura petat. Quid autem contra haec Meibomius Principium quidem tale supponit , quod non manifeste verum est , sicut illa quae in Geometricis supponuntur, hic quibus sua demonstrauit Euclides, aliique post illum Mathematici sed quod manifeste falsum Mineptum est. Ponit enim pro principio, rationem duplam aequalem esse subduplae seu dimidiae, sisesquialteram subsesquialterae. Verba ejus Pag. Io . Itaque ratio aequalis eu rationi subdupla
dupD. At si aequales sunt hae rationes, dupla nempe dimidii; dabunt proportionem Geometricam: eritque adeo, secundum cibomium , ut 4 ad M, sic ad , vel 16 ad 8. Hoc enim ex ipsis Melbomio liquet. Haec enim verba ipsius sunt pag. 184. Itaque omnium optime proportionem Ari toteles pini vi rationum aeqCalitatem Her Da illius ex V Ethicorum Nicomachi orum adponam. αλογα ο τη-λογουὼ τεβαρ- σν ἰλα χέ οις. Proportio eri rationum aequalitas cte..Dico autem, si haec definitio analogiae seu proportionis omnium optima est , ut ipsemet cibomius ait ergo convertitur. Omnis enim bona definitio debet converti simpliciter ut omnis homo est animal ratia Onale: omne animal rationale est homo. Dicendum ergo est, omnis proportio Geometr1ca de hac