Wilhelmi. LangI De veritatibus geometricis libri 2. prior, contra scepticos & sextum empiricum & c. posterior, contra Marcum Meibomium

41쪽

cemus quod falsea is non probabilia contingat esse ipso

rum artis rincipia. Statim ergo nos docent tanquam primum quod maxime accedit ad naturam elementi, quod corpus si id quod habet tria intervalla seu dimensiones longitudinem, latitudinem O profunditatem

Uuarum quidem prima dimensio es per longitudinem superne deorsum Secunda autemper latitudinem a de Ytris ad nistri tertia autem per profunditatem anteis retro Si ergo punctus suxerit, di cunt feri lineam, linea autem,superficiem in verosuperficies, cor passolidum i scribentes igitur dicumpune tam essesignum

carens partibus, is quod nullum suscipit interVadum, aut terminum tineae Lineam autem longitudinem carentem latitudine, aut terminum superficiei. Supers ciem autem terminum corporis, aut latitudinem caren- 3 tem

42쪽

3o 1 LAELM LANGI.temprofunditate. Atque haec quidem refutare conatur, ac evincere nec punctum, nec lineam, nec superficiem Geometricam quicquam esse Verum satis clare his demonstrat, non se veritatem qUzerere, sed tantum quomodo possit veritati contradicere. Etenim dari res quasdam quae longitudinem , latitudinem iro funditatem habeant, non minus clare patet, quam Solem lucere, aut me nunc respirare Imo de eo quidem ctiam illi judicare possunt, qui haec vera esse certo dicere nequeunt. Nam interdiu clarum esse caecus non dicet. Neq; caecus aut surdus accurate judicabit quod

ego respirem. Sed quod longitudinem latitudinemri profunditatem habeam uterque probe novisse potest, S de seipso aliisque rebus idem judicium ferre. Talem vero rem corpus Mathematici vocant. Si ergo datur res quae longitudinem latitudinem, profunditatem habet, datur etiam illud quod Mathematici cor-PUS Vocant. Datur preterea longitudo Hatitudo

profunditas, it res distinctae tam separatim, quam conjunctim considerari possunt. At si longitudo consideratur sine latitudine, est quidem id linea Linea enim definitur Geometris απλατο. Longitudo si ne latitudine. Sunt enim res distinctae longitudo&latitudo, ideoque facile unum sine alio concipi potest. Qxiis enim negaret insuperficie ABCD sig. n. I. cujus longitudo sit AB latitudo AD post solam longitudinem, utpote rem a latitudine distinctam, per se concipi. At vero longitudo ita considerata, quoad latitudinem

43쪽

D VERITA Τ. GEOMETR. Inem dividi nequit, nec ullas partes in latitudine habet. Est vero talis linea terminus superficieii extremum

illud quod non tam Oculis incurrit, quam mente concipitur, in quo superficies illa desinit. Si ergo extremum superficiei integra linea tam separata concipi possit , ut nullo modo diVisionem in latitudine admittat; quidni etiam extremum lineae hoc modo concipi possit, ut nullam longitudinem habeat. Extremum enim id est quo nihil est exterius at in superficie quidem, quodcunque ullam latitudinem habet, id dividi potest. se consequens una hujus pars exterior erit, altera interior adeoque neque illud extremum erit.

Ita etiam in longitudine,id extremum erit quod dividi secundum longitudinem non potest. Si enim dividi potest, partes habebit, quae ambae quidem extremum

illud constituere non possunt, unum enim est eXtremum. Quoniam ergo exitemum quod est in longitudine, seu terminus lineae iusso modo divisionem in Iongitudine partesve habeat, utique omnino erit indivisibile. Est enim extremum non superficiei sed lineae Atlinea antea demonstrata fuit nullas in latitudine partes habere atque ex eodem principio constat neq; secundum profunditatem posse dividi. Punctus ergo lineae terminus neque in longitudin neque in latitudine, neque in crassitie seu profunditate ulla partes habet, adeoque est indivisibilis. Sexti vero argumenta quod attinet ne hili quidem sunt. In puris enim cata

villationibus consistunt. STU η, φρασι D laeta ν

44쪽

νον - μῶιαν-αυν Mγώ. unctus igitur quem Inum esse dicunt nultam habens interCa uis aut compus concipitur esse, aut incorporeum. Sed corpin quidem sec dum Vos non es se enim intersa a non habent neque corpora unt. Re tergo ut incorporeum dicatur Mod rursum es absurdum Incorporeum enim nihil potes generare, cum minime tangi posit. In- te igitur autem puactus gignens lineam Non es eraeo punctus gnum, num labens intersam Sed dii-plicem hei quidem committit errorem, primum in Voc generationis, secundum supponendo falsum me dium terminum. Neque enim Geometrae Voce penerandi eo modo utuntur quo Physici in generatione u-mvoca aut aequivoca sed illiid quod aliud quocunque modo efiicit etiam modo sensibus plane impercepti l tantum intellectui obvio. Ideoque quando hac in

re adhibent vocem γ yems solam nudamque constructionem intelligunt. Sed neque absolute crum est, 1 quod in argumentatione pro medio termino sup-

p qVod generatur debere humano

45쪽

D VERITAT GEOMETR.

junctione viderit, non dicat id quod generat tangi necessario deberc. Sedi multa animalia sunt pulice minora, quae ViX integra tangi possimi,neduna partes tamcxiles, quibus tam generant de quibus postea accuratius. Sed ut ad rem revertamur, non de factione,aut generatione Physica heic sermo est, sed de Geometrica.

Posse aute lineam ex puncto cireuducto produci,is minime negabit qui aliquid in rebus ad sapientia spectantibus noverit. Sit enim planu quodda ABCD in tig. n. i. cujus basis sit A Beredhu stiper aliud planu AQ ad angulos rectos. Cu ergo superficies DC AB ulterius in latitudine dividitio potest, remanet linea AB indivisibilis, cu)us eXtrema simi A m puncta,quae post infinita

lineae AB divisionem remanent indivisibilia Maneat punctum B immobile, punctum vero A circumducatur certum est extremum lineae AB, hoc est punctiim Α, describere lineam circularem AE. Si vero ambo puncta aequali motu erantur, tum utrumque lineam

describere rectam δε punctum quidem B lineam BE, punctum vero A rectam AP atque eodem tempore totam lineam AB integram supersiciem AFBF formare qua quidem tam clua sunt ut ab nemine negari possint, qui modo recte haec conceperit. Quoniam ero dubium aliquod heic haerere posset quo modo linea in infinitum ita dividatur, ut semper in minores minorosque partes secetur, idque in infinitu quomodo etiam extremum illud, quod punctum Mathematici dicunt, indivisibile sit aliamque naturam habeat de

hoc sequenti capite agemus.

46쪽

Dicimus ergo lineam quamcunque termina tam in infinit una dividi posses: terminum vero lineae esse indivisibilem. Quod ut demonstretur, suppono cognita demonstrata ex Euclide lineam posse dividi bifariam, de quo postea d duo latera cujus is trianguli rectilinei majora esse reliquo. Sint nunc infigura n. I. extrema dilorum planorum rectae lineae A WAB quae quidem jungantur

invicem circa A tam concurrant. EXtremitateS PO

rosarum C i jungantur invicem recta CB. Divid tu CB bifariam in E. in linea autem A ponatur re-

a CF aequalis ipsi CE &4nAB recta BH aequalis BE

dico CF JH non concurrere. Si enim concurrerent.triangulum constituerent, una cum recta linea

hujus trianguli, csset ae- tCribus ejusdem trianstuli quod est absurdum ergo FC HB non concur uni Ducatur porro abi ad A recta, atq; illa duidatur bifa-r1am in . in recta autem AFUumatur recta linea FK aequalis FG,&in recta AH,aequalis ipfi H recta HI

non tamen concurrent KF ωHI. Si enim concurre rent constituerent triangulum una cum linea FH at si duo latera trianguli rectilinei KF IH ess enta - , qualia reliquo, quod est absurdum , sunt enim necessario ma lora Cum ergo KFΛHInon concurrant,

in idaturque bifariam in L in recta AK sumatur linea KM. aequalis ipsi KL, kIN

aequa.

47쪽

DE VERITAT GEOMES R.

aequalis ipsi L. ut ambae M MI aequentur toti I

dico recta. Mi I non concurrere. Si enim On- Currerent,facerent cum linea KI triangulum, sesic duo latera ejusdem trianguli rectilinei, non eston majora

reliquoied illi equalia, quod est absurdu. Si igitur progrediar coim ungendo MN,÷ndo rectam bifariam in , iumendo partes aequales PM. ipsis OMac N, neque concurrent PM S Qt , neque si jungatur PQ recta, atque m R. dividatur bifariam, Partesque PS insumantur aequales P ...ipis S, T concurrent. Neque enim duo latera ejusdem trianguli rectilinci reliquo vel minora vel aequalia esta possunt, sed necessario sunt majora Atqile illud sicut semper, in omnibus rectis lineis verum est,

ita etiam manifestum reddit lineas rectas in infinitum dividi posci, eisdemque in infinitum partos detrahi auferri sicut line1 AC, AB, partes CF FK. KM MP. PS,SX. α. αδ QDH. HI IN. Q T TY.Yβ β sic in infinitum progrediendo, detrahuntur. Lineae vero quae inter FH. KI. N. PQ ST XY.αβ sic in infinitum ducuntur, etiam bifariam in infinitum secantur. Si enim linearum intermediarum una dividi ulterius nequiret, non dicam quoad

sensum, sed quoad intellectum tum linea ulterius non esset, sed illud quod Mathematici punctum appellant, cujus pars nulla Si vero punctum esset, tum lineae quae ad latera sunt concurrerent ut verbi causa si quis i dice-

48쪽

36 1LHELMI LANGI diceret lineam δε non posse secari, non ergo linea esset, sed punctrina adeoque αδ οβ in eo puncto concurrerent, tu αβ triangulum facerent. At arquatur dimidiar αε,&εβ etiam aequatur dimidiae αβ ideo que tota aequatur duobus lateribus ejusdem trianguli rectilinei αδ quod est absurdum. Non concurrunt ergo αδ&εβ. ideoque neque punctum illic est, sed inca in quae ideo secari in partes potest. Atq; hoc ita in infinitum procedit. Quod si dicatur non posse in infinitum parte auferri a lineis AC&AB, sed lineae quidem AB,post ablatam ultimo loco β, ipsi vero A post ablatam δα, nihil ultra tolli posse nihil rgo xlineis AC S AB residuum erit. quamdiu enim aliquid est, tolli potest quod

'Cro non est, neque tollitur ergo terminus S CXtre

etiam fuit principio incas AB MAC concurrere circa

CXtrema versus A. ergo concurrent circa ἐξ adeoque lincae ορδ&β' partes linearum AC, AB concur-rcnt circa ε. Unde triangulum erit constructum ceruαβ βε sed ruist dimidium ipsus αε, βρ etiam dimidium ipsius αβ crgo latus unum trisinguli cctilinei erat aequale binis jusdem trianguli lateribus, quod est absurdum. Non ergo concurrent CA BA circa

49쪽

D VERITAT GEOMETR.

puncta ideoque ista puncta neque eorum Xtrema sitiat unde adhuc aliquid ipsiis auferri potest. Et hoc

ita in infinitum procCdit Ex quibus manifeste demonstratum est, priino, lineas rectas in infinitum dividi posse,&a quacunque linea recta semper partem aliquam posse auferri secutido, duas rectas concurrentes scinVicem in puncto necessari mntingere.

Clim enim ACI AB non concurrant in eo qu*d dividi potest, sed indivisibili ergo concurrunt in puncto Atquandiu pars dimidia lineae intermediae lineis

vel AB vel AC demi potest, non concurriant PariCS enim quae demuntur, aequales sunt lineae intermediae ideoque si concurrerent, triangulium rectilineum haberet unum latus reliquis duobus lateribus aequale, quod est absurdum. At linea AB, AC in infinitum dividi possunt, partesque iis in infinitum detrahi ergo neque in infinitum concurrere possunt, quatenus lineaesiuit, hoc est divisibiles sed necessarium est, ut concursus fiat in indivisibili,hoc est in puncto . Habemus ergo neces ario aliquid indivisibile quod nullo modo dividi potest: habemus praeterea illud qnod in infinitum dividi potest. Neque enim ulla in recta linea divisio concipi potest, quin statim alia harum partium divisio sequatur. Si enim id non stet

concurrerent latera per consequens trianguliunconstituerent cujuS duo latera tertio aequalia. Nulla

ergo linea quamvis in infinitum dividatur, in puncta a divi-

50쪽

33 4 1 LAE L MI UA NGI. dividet tr. cque ulla tam imita lineae pars stimi potest, quae quamvis in centum mille partes secetur, unquam punctum ier. Si enim fieret, tum esset indivisibile at si indivisibile,ulterius dividi non posset. Ergo linea in finitum non divideretur At demonstratum 'ineam in infinitum dividi. Cum ergolinea in puncta dividi non possit, neque e punctis componitur. Ex quo enim aliquod componitur, in idipsiam resolvitur ac dividitur. At linea in puncta nullo modo dividitur ergo neque e punctis componitur Punctus quidem unicus fluens aut motus gignit lineam non tamen jungendo se cum aliis punctis, sed simpliciter motum suum peragendo. In quacunque ergo linea, infinita puncta sumi possitnt Nam omnis divisio fit npuncto ergo,cum cujuscunque lineae infinitae sint divisiones, etiam infinita in quacunque linea erunt puncta. Neque in majore longioreve linea plura erunt puncta quam breviori minori. Quod ut telligatur, sequenti capite demonstrationem quandam Geometricam huius rei proponemUS.

CAP. VIL

Suppono in hac demonstratione circulum, si super planum aequaliter ac perpendiculariter circumvolvatur,etad easdem semper partes, a puncto quoda in periplieri usque ad idem punctum, describere lineam rectam aequalem circuli peripheriae quod etiam quivis fatis Perse intelliget, modo figuram . . paulo diligentius speXerit Circulus enim ABD concipiatur