장음표시 사용
71쪽
Et hactenus Sexti dogmata examinaVimus quae contra Desinitionem puncti protulerat nunc ad .i, qua de linea & superficie dicit pergamus. Ac primum quidem negat, lineam esse puncti fluxum quod neq; nos dicimus. Aliud enim es dicere linea est iuncti fluxus i aliud linea fit ex fluxu puncti Linea cr-go neque punctum est quod fluit neque fluxus puncti sed id quod fluxu puncti describitur. Hoc ergo argumentum nihil contra Geometriae principia concludit sicut neque illud quod subjungit, non esse lineam multa signa locata per ordinem id enim antea demonstravimus lineam non componieX punctis, neque in puncta dividi posse. Fit enim linea, ex fluxu vel unius puncti, vel plurium sicut illa quae in plano
ex circum gyrato circulo describitur, ex plurium punctorum fluxu nascitur. Aliud enim est quod ossicit lineam, aliud ex quo eficit punctum enim emcit linea, non ut materia lineae, sed ut instrumennim potius velessiciens. Cum ergo haec Omnia contra Geometrice
principia lineaeque definitionem nihil concludant his missis ad ea pergamus quibus absolute evincere conatur lineam non esse longitudinem sine latitudine. Ait vero Σκεψαμενοι in ημὼ λκριβῶς ἴεἰ τοῖς in θῖς, ill ista ἐν τοι λιβηοῖς πε ταροὶ λάcω is ceris, ος,
72쪽
mus, neque in iis quae cadunt sub intel gentiam, neque in sensibilibus inveniemus urum sumi posse latitudinis expertem longitudinem. Et insens bilibus quidem, quandoquidem quamcunque umpserimus ensilem longitudinem, eam omni ratione omnino memus cum quanta
Latitudine. In iis autem quae cadunt 'inteLigentiam, quod aliam quidem alia angustore os a men te concisere longitudinem Euando autem ex aequo eandemser .antes longitudinem cogitationescindimus latitudinem , aliquatenus quoque idem facimus, ac latitudinem minorem ac minorem concipimus. Postquam aute meleotervenerimus, ut latitudine prisemus longitudines, tune longitudine ulterius coprehendimus, sedi us etialongitudinis cogitati multossitur. Sed quonia Sextus longitudine sine latitudine concipere nequit; ageduc claris demonstrationibus eam deducamus, atq; intellectui comprehendendam propona natis. Nam sensibus haec velle percipere, id vero insinum foret cum
non fallaci sensuum judicio ae censurae sed acutissimi ingenii perspicacitati haec sint committenda.
73쪽
sit ergo planum ABCD in fig. 6. super hoc autem
Perpendiculariter erectu sit parallegrammi rectangu tu AGEF. Aliud aute parallelogrammii huic sequoad singula latera, quoad angulos aequale in hoc eodem plano ABCD sit erectum perpendiculariter ita quia demit una extremitas FE tangat CXtremitatem parallelogrammi AGFE. diC extremitates horum parallelogrammorum tangere se inuicem in linea recta.
Cum enim E latus parallelogrammi AGFE sit perpendiculare plano ABCD ergo si ab altera plani parte,ab eodem puncto E,educatur recta linea,eidem plano ABCD perpendicularis, jacebunt istae duae lineae sibi invicem in directum per x IIII. Primi Elem. Rursus cum latus FE parallelogrammi BHFE sit perpendiculare eidem plano ABCD. ergo recta a puncto Eab altera plani parte educta ad rect os angulos , in directu jacebit ipsiEF.Latus ergo parallelogrammiAGER
Una cum latere parallelogrammi BI FE, eidem recidae in directum jacebunt, adeoque unam eandemque rectam lineam facient. Euclides libro XI. Proposit. 111. demonstravit, si duo plana se invicem secent, communem ipsorum sectionem fore rectam lineam. Sed alia
methodo usus est, illudque supposuit, quod nos nunc demonstrare volumus, rectam nempe lineam omnis latitudinis esse expertem λ Duo ergo haec plana tan-punt se invicem in recta linea ideoque ilanum seu Parallelogrammum AGFEtanget planum ABCD in recta linea AE planum seu parallelogrammum
BHFEian et planum ABCD in recta linea BE. Sunt
74쪽
vero AE&B bases tangentium se invicem parallelogrammorum ergo ipsae rectae lineae AE in se invicem tangent, angulumque rectilineum effcient
gtu horum planorum, in recta linea ad AB AG.
iaciet. 'res AB.BE. EA. triangulu.Tum Quoa: IGF mangulum erit aequa his EB,&GF&EB etiam latera opposita eiusdem
feratur portio aequalis ipsi AI KG parallegrammo &
Parallelogrammorum ablatorum. Dico
75쪽
DE VERITAT GEOMETR. 63 alitem parallelogramma AGXO AEPHM inclinare
quidem invicem, nec tamen concurrere. Si enim concurrerent, utiqueri bases eorum BP AO.4 summitates HM VH se invicem tangerent. At vero tum lineae istae cum lineis GH Ma triangula duo similia,
aequalia facerent, in quibus duo latera non majora essent reliquo BP enim a latera aequalia sunt ALωLB lateribus, hoc est toti AB. Hoc vero est absurdum. Cum ergo nec Ao tangat BP nec G tangat HM. neque planum AOG tanget planum BHMP. Jungatur termini ipsoru PM .XO plano parallelo ipsi HGAB.sitq; planu illud parallelogrammii MPOX dividatur hoc quoq; parallelogrammum o1 fiunt itidiaὼ parallelogramma, singulisque horum, equalia duo alia parallelogramma auferantur a marallelogramimis XOFEM PFE, inique parallelogramma ablata XO &PMST. dico neque haec parallelogramma post se invicem tangere nisi S lineae in PT se invicem tangant. At hoc est 1mpossibile latera enim OQA PT tum triangulum cum P facerent, in quo ambo latera simul sumpta aequalia essent tertio quod est absurdum. Quod si ergo termini RS QT, parallelogrammo quodamjungantur, illudque dividatur bifariam, aequalia semissi hujus parallelogramma utrinque auferantur ne illa quidem se invicem an entpropter dictas causas. Superficiebus ergo AEGF BHFE in infinitum partes demi posituat, ac parallelogrammum ABHG in infinitum dividi. Si enim progrediendo ut carptum est, eo quisquam veniret ut no
76쪽
W1LAALMI LANGI quoad sensium, sed quoad ilitellectum nihil ultra ipsi parallelogrammis auferri posset utique haberet eo
rum extrema. At in eXtremis se tangunt inficem. Si vero parallelogramma se contingunt lineae AF. BF se contingent. Si vero se contingunt, faciunt utique, cum basii proxinae antecedentis parallelogramini, triangulum, in quo duo latera erunt aequalia uni,quod est absurdum. Atque hoc ex demonstratione antea
allata de puncto liquet. Concludo igitur superficiem in infinitum dividi posse. Tum quoque dia parallelogramma nusquilin superficie aut div1sibili in latitudine cocurrere. Quadiu enim illic superficies aut divisibile est, tamdiu no concurrunt. Concurrunt ergo in indivisibili, seu in eo, quod nullam latitudine habet Demostratu vero antea fiat contactu horti parallelogrammorum fieri in linea. Ergo linea erit indivisibilis, neque ullam habebit latitudinem quod erat demonstrandum. Patet ergo ex his non tantum longitudinem sine latitudine concipi possie, sed etiam in naturacs e longitudinem sine latitudine, quamvis sensibus comprehendi nequeat nempe incana, quae in duorum planorum contactu est, omni latitudine carere. Sicut autem antea demonstratum est, lineam secundum longitudinem in insnitum dividi posse nec tamen unquam partes his fore puncta Ita etiam nunc demonstramus supersiciem omnem, S quoad longitudinem, 'uoad latitudinem, in infinitum posse secari; neque tamentali sectione unquam ad lineas perveniri. Adeoque, sicut in omni linea, infinita puncta ac
77쪽
D VERITAT GEOMEΤR. scipi posse demonstratium est nec tamen ideo lineam expunctis compotat ita hinc etiam concluditur in superficie infinitas lineas accipi posse nec tamen stipe ficiem e lineis componi quod ut rectius intelligatur, sequenti capite Geometrice demonstrabimus.
Concipiatur in figura num VII. planum aliquod quadrangulare ACX. rectangulum, in quo situs sit cylinder rectus Ad SD cujus basis sit circulus Adi dico primum , cylindrum contingere planum hoc in linea recta. Etenim si cylindrus plano quodam per a-Σemita secetur, ut idem planum, in extremitate cylindri , tangat planum in.quo cylindrus est erit planum secans cylindrum, ad aliud planum , perpendiculare. Sit enim planum TF secans cylindrum per a-Xem in eXtremitate autem seu termino sectionis, ci
ca AT contingat planum ACX erit planum AFZad planum AC perpendiculare. Cum enim planum hoc secans cylindrum per axem, si pallallelogram-mum, per ea quae a Sereno sunt demonstrata lib. I. de Sectione cylindri, propositione II basis vero paralleloo rammi,nempe rectaAZ,st diameter circuli ABZ qu ideo ipsi AC rectae est ad angulos rectos per XV11 I. HI Elementorum ac per eandem, etiam basis altera parallelogrammi quae est diameter circuli baseos cylindri sit perpendicularis eidem plano totum ergo
parallelogrammum, quod cylindrum per axem secat, erit
78쪽
erit perpendiculare plano A CX per propositionem
xv 111. lib. XI. Elementor Tangit autem planum hocce planum ACX in linea, per propos 111. XI. lib. Elem vel per ea, quae praecedenti capite a nobis fuero demonstrata ergo , c cylindrus tanget planum in li- nea. Si enim non tangit in linea, utique tanget in superficie Habet vero superficies latitudinem, adeoque terminos latitudinis. Si ergo in superficie tangit: utique per axem cylindri duo plana educi possunt, contingentia planum in quo cylindrus est, in Imea. Id autem est impossibile Demonstratum enim est, omne planum, quod per aXem cylindri ita ducitur, ut in CXtremitate cylindri planum tangat, in quo cylindrus cst, necessario ad illud planum este perpendiculare. Si
ergo aliud planum v. g. .b per mem cylindri educatur, tangens ACX in in extremitate cylindri ergo
angulus B erit rectus, adeoque in triangulo AFBcrunt duo anguli recti quod est absurdum Tangit cr-go cylindrus planum in recta lineari quod per axem ipsius planum ducitur,ad contactum plani, in quo est, rectos angulos cum plano codem facit. Idque in omni cylindro tam naagno quam parvo ab lute verum est. Manifestetim autem est, si cylindrus super planum aliquod libere circumvolvatur, aequale planum describere parti circumgyratae suae silperficiei. Circum-VO vatur ergo tali modo cylindrus ADTS,planuq; describat L. aequale quarta parti superficiei ipsius cylinuri Sit porro alius cylinde minor, cujus basis circulus
79쪽
DE VERITAT GEOMETR. 67EGP moveaturque in plano aequaliter , usquedum quarta pars superficiei suo circumactu descripserit planum EI. Planum ergo EI, minus erit plano AL cum hoc, describatur a quadrante superficiei majoris cylindri illud vero, a quadrante superficiei minoris cylindri. Sit nunc minor cylinde ita majori insertus,
ut ambo communem aXem habeant, motoque majori cylindro, minor etiam circumrotetur. Quando ergo,
quadrante superficiei majoris cylindri peracto, Morcylinde tetigerit planum AC in rectalinea LY, minor cylinder,circumgyrata quarta parte suς superficiei, tanget planum EH in recta Rd adeoque duo hi cylindri aequalia plana describent , cujus bases erunt aequales, rect ae nempe AL MER. Plana enim quae per aXem cylindroru transeunt, tangunt plana in quibus cylindri
moventur, ad angulos rectos ut demonstratum fuit.
Tanget ergo planum FG planum E ad angulos rectos. 8c planum FB tanget planum AL ctiam ad angulos rectos. Jacent vero duo plana FG4 FB sibi iiivi
cem in directum adeoque FG planum est pars planis B. Si enim ducatur .planum quoddam ei. tangens cylindium FGE in recta repraesentata puncto G planum hoc erit parallelium plano per Xem ZFA. Contactus enim cylindri ilani fit ad angulos rectos. ut antea probatum adeoque angulus GF sequalis angulo PFG, rectus, recto. Sed eodem modo si ad contactum foris cylindri in linea e B tangens planum ex g. y constituatur; erit planum eris h. paral- a le-
80쪽
lelii plano per axena cylindri, cingulusgBF, aequalis PFB angulo, rectus, recto atque per eandem rationem GBaequalis BG angulo anguli ergo GB FGe aequales duobus rect is, ideoque FG, GB bases planorum, in direct um sibijacebunt per XIIII. I. Elem. adeoque ipsa plana in directumjacebunt. Quando ergo planum FB ad planum A fuerit perpendiculare etiam FG eidem plano erit perpendiculare. Et
cum AL VR sint plana parallela, quando ergo planu
s G, perpediculare fuerit AI plano, etia perpendiculare erit ER plano, perporisma Xui propositioniSinversae libri XI. Elementor At si FG planu perpendiculare est K plano, etiam FB erit perpendiculare idem plano hic adeoque E parallelogrammum aequale AL parallelogrammo Pars ergo quarta cylindri minoris, describet planum ER, aequale plano A L. Sed antea per se motus cylinde describebat planum EI.minus plano 'G Ergo eade cylindri superficies aequaliter circite rata, modo majus describit planti, modo minus adeos amminus cylindrus, perexiguum describit planum ἰά maXimuacavastissimii, pro diversitate cylindri maJOrsSin quo movetur. Describendo autem plana haec cylindex, semper planum tangit in linea. Et cum in umque circumgyratione aequaliter circum retur, non . At si superscies ex lineis componeretur, id