장음표시 사용
101쪽
gὰ Elementorum Geometria Εκ eentro A duc AB , AC. Per praeced. anguIus B Λ C ad centrum duplus est singularum B Q C , BFC. Ergo omnes BQC, BFC sunt a aequales.
l. r. Quod erat demonstrandum. Fig. 3 . Sit deinde segmentum BQFC aequala, aut minus semicirculo. In triangulis BQI, CFI, quia . Per as. anguli ad verticem I oppositi b aequales sunt, etiam. summa reliquorum R, & R summae reliquorum e Peleo. F, &o c aequalis erit. Quare si ab his aequali- OL QP-bus summis auferantur anguli R, &Ο, qui per primam partem aequales sunt, utpote eidem areui QF insistentes, qui remanent Q , F aequales runt. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXII. Fig as. Uadrilateri circulo inscrip ABCF vpositi anguli duos rectos conficiunt. Ducantur B F , C Α- Angulus A B C cum Peraa. duobus O, R X facit a duos rectos. sed O est. F., , , . aequ/lis I, quia insistunt eidem areui BC ; dii. . X c est aequalis Z, quia insistunt eidem arcui ΑΒ ...d V Ergo ABC cum duobus etiam I , Z , hoc est
cum toto opposito angulo AFC facit duos recto Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO& XXIV. XXIII. Non μηt necessaria , ct agitur de segmentis ilibus, qua non possunt fine proportionibus
102쪽
tiber Tertius. 83 PROPOSITIO XXV.
ris 3α Subtendantur utcunque duae rectae ΛΒ, CB quas biseca in I, & L. Ex I,& L duc perpendiculares sibi occurrentes in puncto O: Hoc erit centrum Circuli, cujus portio est areus ΛBC . Nam a centrum est & in recta IX,& in re.. νεcta LE. Ergo in communi ipsis puncto o. OL et Praxis. Cenetro B sumpto in arcu describe cir- LI αrulum , eodemque intervallo, aliis in arcu eentris, describe duos alios circulos , quorum singuli priorem bissecent. Per interfectiones ducta rena sibi mu
tuo occurrentes in O dabunt centrum.
. subtendunt arcus aquatis; ct si arcus Iuni aquaiei, etiam subtens aquales erunt. Is . Ad centra Α,&B ducantur CΛ, ΕΛ, id. Qina triangula CΛE, FBI sibi mutuo
Rqvilatera sunt, etiam erunt sibi mutuo c aequi- e Per s. gula. Ergo cum circuli sibi mutuo imponentur, k' iangulum FBI congruere poterit triangulo HE , ac proinde centrum B incidet in centrumh; ..ti V s I in puncta C , E . Cum igitus
103쪽
n Elementarum Geometria Ap. , CSE , ac proinde aequales b erunt etiam ipsi.
Niom. . Pars a. Quoniam circulorum aequalium arcus
FLI , CQE ponuntur aequales , sibi mutuo im, , positi eongruent, punctaque F, I incident in pumcta C, E. Ergo & subtensa F I congruet se, aper a. tensae CE. Ergo FI, CE d aequales sunt.
Fig. in circulis aqualibus anguli sise ad centis
I sint aquater, etiam arcus I BXC, FZI quibus insistunt , sunt quales et oe si arcus sunt
aquales, etiam anguli aquales erunt. Pars T. Quoniam Iatera AB, AC aequantur LF, LI ; sunt enim aequalium circulorum semidiametri & anguIi Α, L ponuntur aequales , erunt a Per . bases a B C, F I aequales . Ergo arcus B XC, ι- - FZI etiam b aequales sunt..te Ponantur jam anguli BOC, F SI ad ambitum Per ao. aequales. Quia igitur e horum dupli sunt Brita, FLI, etiam illi aequales erunt , ac proinde, ut jam ostensum , etiam arcus BAC , ELI sunt a, Pars E. Ex aequalitate arcuum BXC, FZI h betur per 27. aequalitas subtensarum BC , FI. Er o, quia etiam BA, AC aequantur ipsis FL, . Per s. LI', erunt e anguli Λ , & L ad centrum aequa-
104쪽
Liber Tertius. ' η PROPOSITIO XXX.
dicularem duc ΟΒ occurrentem arcui in B. D, eo factum .
Iungantur enim AB, CB. Latera ΛΟ, ΟΒ per constr. sequantur lateribus Co, OB ,& anguli ado sunt aequales, quia recti. Ergo bases AB, BCa aequales. Ergo etiam b aequantur areus ΛΒ, CB. ; y
Praxis. Centris A , ct C describe pari intem vallo arcus se secantes in punctis F , ω I, per qua ducta recta arcum ABC bisecabit . .
PROPOSITIO XXXI. Amului BCF in semicirculo rectus es: in F;-
Iegmento majore minor recto : in segmento minore major recto.
Pars. Ex centro Λ duc AC. Quia aequales o B , AC, anguli O, B AE aequaleS erunt. a Pat s. Ub eandem causam aequales erunt I, F. Ergo to- ι tus BCF utrique B, & F aequalis est . Cum igi- b tres simul eonficiant duos rectos , semissis ι pej eo.
πιum, angulus BCF, unus rectus est.. τοι-7 P
, Sit segmentum L OBF semieireulis 3φ' se Ud majus , in eoque FOL angulus, & duea- OB. Angulus FOL minor est angulo BOL,
per T. partem rectus est. Ergo die. Pars . Esto segmentum LOX semicirculo i
105쪽
M Elementorum Geometria LOB minus , in eoque angulus X O L erit his majus , quam BOL, qui rectus est. Ergo M.
PROPOSITIO XXXII. . ν recta circulum tangat , ct alia ex o eoni tu AB eundem secet, intam gulus a lavente, suame factus par angulo , - sit in 1egmento alterno. Nimirum angulus CAB erit par angulo L , qui fit in segmento ΑLQB; & angulus FAB parangulo O, qui fit in segmento ΑOB. FGg o, Transeat primo secans AB per centrum. Per 8. CAB rectus est . Et per 3 I. rectus est L. Ergo CAB, & L aequales sunt. Fig. 3. Transeat deinde secans AB non per centrum. Dueatur igitur per centrum recta Λ , & jun. σatur Bin Quia ΑBQ in semicirculo rectus est, - 2ς 3 getet BQΛ eum BAin a rectum unum. Sedi petis. etiam CΛQ rectus , est. Ergo BQΑ eum BA 3 3' aequatur CΑχ. Λblato igitur communa ΒΛ e-e Pet 1i. rit BQΑ hoc e est L aequalis CΛB. Quod
arenas. Deinde, d FAB, C AB faciunt duos rectos ;. & in quadrilatero ΒΟΑL e oppositi L, & o edi' iam faciunt duos rectos. Ergo duo FAB, CAB aequantur duobus simul O , & L . Λblatis ergo hine quidem CAB , inde L , quos jam ostendi aequaleS , erunt aequales reliqui P ΛΒ , & o,
106쪽
. Liber Tertius. HPROPOSITIO XXXIII. S re data recta RC se mentum circuli com
struere capiens angulum dato parem.
Fig. sSi detur anguIus acutus ABF, ex B due BL perpendicularem ad AB, & ad terminum C datae rectae BC fac angulo CBL parem a BCI , a Periaceujus latus secabit BL in I. Centro I per B de i' 'seribe circulum , hic transibit per C quia ob t qualitatem angulorum ad C, & B etiam latera CI, BI , aequalia sunt, capietque segmentum ι per BQC angulum parem dato ABF. . a. Nam, quia AB diametro BL perpendicularis est , ' ΛΒ tanget d circulum , quem secat BC . dphiit Ergo e angulus in segmento BQC aequatur an-l-3. gulo ABF. e Pea Quod si detur angulus obtusus R B C ; eadem construe, eritque segmentum COB quaesitum.
A Dato circulo segmentum auferre capieris an- m. s. gulum dato parem. 'Λd eireuli diametrum FΛ due ierpendictaarem BAL; ducatur item ΛC , s quae faciat an-fν.,
107쪽
Fig. ε. I in circulo dua recta cra, se secueris 76 rectangulum COLὶ sub segmentis unius aqua ta est rectangulo BOF sub segmentis alterius
comprehens. Fig. 6. Si se intersecant in centro Λ, res patet. Si ima C L transit per centrum Α , & relua Per a. quam BF secat bifariam, secabit quoque a per- Φ Τ' pendiculariter , ac proinde quad. Fo est rectangulum FGB. Ducatur ΑF. Quoniam CL bis lia est in Λ, ct aliter in Ο, erit
COL AE. quad. Fo: hoc est Tect. FOB. Si una CL per centrum transit, & reliquam BF secat inaequaliter in Ο ; ex centro Λ ducta recta seeet idiam BF in R bifariam. Igitur ammius Λ a rectus erit. Iam , quia CL his Aa est in Α, & aliter in O , eriti xest COL AE. e quad. ΛL: hoc est
108쪽
Dempto igitur communi quadr. AR remanent
Atqui etiam quadratum BR aequatur recta, gulo i FOB cum quadrato OR, quia FB secta . ph, . est bifariam in R, S aliter in o. Ergo I. a.
Dempto igitur communi quadrato OR , erit rere. COL. 2E. rect. FOB.
Quod si neutra rectarum CL , FB per Cen- Fig. s. triun transeat, Per communem earum sectionemo per centrum Λ ducatur recta XL . Per modo demonstrata tam rect. COL, quam rect. FOB aequantur rectangula TOX . Ergo etiam COL, FOB aequalia sunt a inter se. a Axi r
SI a puncto BP extra circulum dato ducantur Fig. o. a recta, una tangens BF, altera secans so sta
iam interiecta comprehensum quale quadrato tam
Si secans BC transit per emtrum Α, junge AF, Fig- --ἡt haec a cum FB angulum rectum. Quoniam νς
109쪽
rest. CBO IE. quad. BF. Fig-s . Quod si CB non transit per centrum Α , d - ' eantur ΛΒ, ΛF, ΑΟ; & AL ex centro ducta H Per 3. bisecet OC in L . Ergo angulus ALO d rectus operis. erit. Item ΛFB e erit rectus. Quoniam vero Coi- a. bisecta est in L , eique adjecta est OB, erit
Addatur utrinque quadratum ΛL, erit
Fu s . et ab eodem extra circulum puncto B, quo O vis ducantur secantes BC , omnia rectamigula
110쪽
Liber Tertius. 'reula C B o inter se aequalia sunt. Singaea enim
aequantur quadrato tangentis BF. a Quae ex eodem puncto circulum tangunt BF, Boaequales sunt ; earum quippe quadrata aequantur ungula eidem rectangulo CBG.
PROPOSITIO XXXVII. SI milian eum sub CB, fit aquale quadra- FIs.11ἰ
ro BF, hac circulum tanget in F . , Εκ B ducatur tangens B , & ex centro ductis ad F rectis Eu, EF jungantur B, E. Quinniam rectangulo C B O aequantur quadratum BF per hyp., & quadratum B per 36 , haec inter se aequalia sunt, adeoque & rectae Bin BF aequales. Igitur triangula FEB, QEB sibi mutuo sunt aequilatera. Ergo b anguli Q , F aequales erunt. : '' Sed Q e rectus est. Ergo etiam F rectus est. Emer .