장음표시 사용
111쪽
c liber totus Problematicus est. Docet, quo artificio figura prasertim ordinata circulo inscribantur , ct circumscribantur. Amplissimus es illius usus in munitionibus extruendis , ct ex illa quasi fontes eximia illa sinuum, tangentium , Osecantium tabula ingenti bono Matheseos fluxere. DEFINITIONES. . x π Igura rectilinea circula inseripta est, vel Γ eirculus figurae circumscriptus est, Cum
singulorum angulorum vertices in circumferentia existunt. a Figura rectilinea circulo circumscripta est, vel circulus figurae inscriptus est, cum singula la
3 Figura ordinata, seu regularis est , quae inquilatera, & aequiangula est.
PROPOSITIO PRIΜΑ. Fig. r. Iressi s BD J rectam datam L A J diametro
'' o non majorem inscribere. Λccipe in peripheria quodvis punctum B. Cem tro B intervallo datae Λ describe arcum circulo
112쪽
Liber uuartus ἰ 'Ioeeurrentem in C . Due rectam BC Dico factum a
PROPOSITIO II. Cisculo triangulum inseribere dato X aqui. Fig.α.
angulum Circulum tangat EF in D. Fiat angulus EDSpar a angulo C, & FDH par B, junganturque yς δ 3-R H. Dico factum. Nam angulus H aequatur b. Per sa--gula EDG, hoc est c angulo C; & G aequatur .' phid FDH, hoc est e ipsi B. Ergo etiam GDHs const. aequatur Λ. Factum est igitur, quod petebatur. Ly φ'
Thculo circumscribere triangulum aquiangulum Latus IK utrinque producatur, ut fiant eκte ni anguli Ο,& N. Fae in centro A per 23. lib. r. angulos GAB, BAF pares angulis O, N. Deinde in punctis G , B , F circulum tangant tres Testa coeuntes in C, E, D. Triangulum CDE est cireulo circumscriptum, & aequiangulum dato ILK. In quadrilatero CGAB anguli G , & B sunt. ,.
duo a recti. Ergo reliqui GΛΒ, & C conficiunt l. a. simul etiam duos b rectos , ac proinde aequantur ic yς . duobus simul O, I. Ablatis igitur GAB, & Ο sehbi ' aequalibus per constr. remanent aequales C, & I. 't 3 Eodem modo ostenditur E aequalis esse K. Ergo D, & L c etiam aequales erunt. Factum est igi- ζ ςψ tur, quod petebatur. Da i. Quod autem tangentes concurrant, sic ostendis
113쪽
- Elementorum Geo etriatur . Anguli O, I, & Κ , N sunt aequales e rectis. I, Κ sunt minores duobus f rectis. Ergo Ο, Ν hoc est per construct. G ΛR , & BAF sunt majores duobus rectis . Ergo G AF est mitior duobus fi rectis. Ergo recta G F cadit inter Α, dc D . Ergo cum ΛGD, AFD sint recti , erunt D GF, DFG duobus rectis minores . Ergo i CGD, EFD concurrunt versus D. Simili ratione
demonstrabis concurrere Teliqua.
I Riangulo circulum inscribere. Duos angulos C, dc E biseca rectis CA, EA
coeuntibus in Λ. Ex Λ duc perpendiculares ΛΒ, AG, AF . Circulus centro Λ per B descriptus transibit etiam per G, dc F, tangetque tria latinra trianguli. In triangulis enim CAG, dc CAB, quia an
Constri aequantur , & Iatus quoque Λ C est commune, etiam Λ G, AB AE aequalia erunt. Pari m do ostendam, paria esse ΑΒ, ΛF. Circulus ergo
descriptus centro Λ transit per B, G, F ; dc quia anguli ad B, G , F sunt recti, tangit b omnia trianguli latera. Fecimus ergo, quod petebatur. PROPOSITIO. V. I tantulo circulum circumscribere : si e per tria data punci a s B, C, D J non ad unam rectam posita circudum describere. Puncta data B, C, D binis rectis BC, CD
114쪽
Lober uuartus. 93eonnecte, quas biseca perpendicularibus ΟΛ, EA concurrentibus in Α . Hoc erit centrum circuli per B, C, D transeuntis. Ducte intelligantur rectae AC, AD, AB. Pereonstri latera DO, AO aequantur lateribus OC, DA; & anguli ad O sunt recti. Ergo AD a ae. Per quatur ΛC . Eodem modo ΑΒ aequatur AC . Em kgo etiam AD, ΛΒ b aequales . Ergo circulus cen- Per atro A descriptus per B transibit etiam per C,& ' δ' D. Quod petebatur. Ad praxim tantum opus es , centris B, C, D describere tres quales circulos se mutuo interscam res, O per interfectiones dueere rectas, ha sibi Oecurrentes dabunt centrum quasitum.
PROPOsITIO UL de VII. Circulo quadratum inscribere
Ducantur diametri B D, CE se mutuo secantes perpendiculariter: rectae, quae harum terminos iungunt, circulo quadratum inscribunt. Demonstratio patet eX q. lib. I. Rex 3 r. lib. 3. Ducantur deinde quatuor tangentes circulum in B, C, D, E concurrentes in I, F, G, H. Figinra quadratum est circulo circumscriptum. Demonstratio patet ex I . lib. I. ex coroll. 2. pr. 36. lib. 3. ex 28. & 3 . lib. 1. Scholium.
DUadrat/- circumscriptum circulo duplum est Fig. s. inscripti. Nam, quia angulus BCD in semicim με restus d est, eris quadratum ex DB s hoc est quin d Per 3 a.
115쪽
ρε Elementorum Geometria. νεχ ιν. dratum I IJ quale quadratis e DC, BC, proinde dia. I. . plum quadrati DC , hoc est quadrati CD .
Fia... Uadrato BEFC J eirculum inscribere, O cim cumscribere.
Ducantur diametri in quadrato se secantes in A. Centro A per B descriptus circulus transibit etiam per E, F, C. Deinde ex Λ duc AD perpendicularem ad CB. Centro A per D descriptus circulus tanget omnia quadrati Iatera. Pars I. Quia ex hyp. CB, EB latera sunt se- a per s. qualia; erunt anguli ACE, BEC a aequales. An- gulus autem CBE rectus est per l, up. Ergo BCE, ι νε, eo. BEC b sunt semirecti . Eodem modo ostendam rol. ri. CBF,& reliquos esse semirectos, adeoque aequa. 98 φ' Ies inter se. Ergo in triangulo BAC , cum duo sint aequales anguli CBΑ , & BCΛ, erunt ΑΒ, & AC c aequales. Eadem ratione AB, AE , AFaequales erunt . Circulus igitur centro Λ per B descriptus transibit etiam per E, F, C. Pars a. Ex Λ sint perpendiculares insuper ΑG,
AH , AI. Quoniam in triangesis GΒΑ, & DBA anguli ad D , & G , itemque ad B inter se aequa-
.ritas. les sunt, latusque AB commune; latera e AD, AG aequalia erunt. Eadem ratione aequalia sunt ΛG , ΛΗ , AI. Circaeus ergo centro Λ per D transiens transibit etiam per G, H, I, tangetqueFPer Io. latera f omnia quadrati , quia anguli ad D, G, in ' H, I sunt rem a Fecimus ergo, quod petebatur g
116쪽
Sumatur quaevis recta AB , quam ita seca a in v Per HaD , ut rectangulum ABD sit aequale quadrato . Tum centro A per B describe circulum , eui inseribe BC b aequalem DA, & junge AC. . Per τὸ Erit triangulum BAC quaesitum . . i' 'Ducatur enim recta DC , & per C, D , Α describe c circulum. Quoniam rectangulum ABD r Per s. aequatur quadrato AD, hoc est BC , liquet BC Φ'' tangere a circulum Do , quem secat CD. Ergo P a cangulus BCD sequatur e angulo Λ in segmento p: i , . alterno; additoque communi DCA , erit BC Λ ira. aequalis duobus Λ , & DC Λ. Sed quia latera AB, AC sequantur, ABC aequalis f est BCΛ.fPers. Ergo etiam ABC aequatur duobus A, & DCA Sed etiam externus BDC, g aequatur duobus in- Per a. ternis Α, & DCΑ . Ergo ABC, & BDC se in k- quales sunt . Recta igitur DC aequatur h BC, O Per εἰ hoc est per const. D Λ . Ergo anguli , Λ , &DCAs sequantur . Quare angulus ABC, qui ι Per s. duobus ostensus est aequalis , duplus erit unius Λ. δ' Factum igitur est, quod petebatur. Corollarium.
sesceIio jam eonstructo sunt duae quintae duo-mda rectorum, seu quatuor quintae unius recti, &reliquus A est una quinta duorum rectorum, G seu
117쪽
og Elementorum Geometria seu duae quintae unius. Patet ex propositione hae ct ex 32. lib. I.
praeca a Per a. I A Per 23. I. 3. e Per 28. . a.d Per 29. I, sa
O pentagonum ordinatum inscribere, Describatur a triangulum BAC habens ang'Ium ad basim duplum anguli ad verticem . HuIC aequi angulam C A D e inscribe circulo. Λnginios ad basim ACD, & ADC seea bifariam rectis CE, DB occurrentibus circulo in E , α .Puncta A, B, C, D, E rectis lineis connexa dabunt pentagonum ordinatum circulo inscriptum . Nam ex constructione liquet quinque angulos I. N . Ο S Ο aequales esse. Quare etIam arcus
quales . Itaque rectae subtenis arcubus etiam se. quales e erunt . Pentagonum Igitur aequilaterum
est Est vero etiam aequiangulum, a quia ejus anguli BAE, AED &c. insistunt arcubus aequa. libus BCDE, ABCD , &e. Factum est iratur, quod petebatur. Corollarium.
νig. 3. Ngulus pentagoni ordinati facit sex quin I. tas unius recti, seu tres quintas duorum . Nam tres anguli ad A , cum sint sequales , utpote aequalibus arcubus BC, CD , DE insistentes, cemedius per coroll. praeced. sit duae quintae unaus rem , tres simul , hoc est ipse pentagoni anginius, conficiet sex quintas unius recti.
118쪽
I missa est Euclidaa pentagoni inscriptis, sed
multo expeditior illa Ptolomai, l. I. magesti tradit, or es ejusmodi . Ducantur diametri ED , BF β minuo perpendiculariter intersecantes in A. Radium AD bis ea in Cr Centro C per B describe arcum diametra oeeurrentem in G. Recta GB est latus pentagoni, Gr AG decagoni . Demonstratio his dari nequit; pendet enim a LII Euet. Eam vide apud Clasium in scholis pos
Siser data recta AB in pentagonum ordinatum Fig. s. ita ronstrues. Seca es AB Ac , ut rectangulum ABC sis aquale quadrato AC. Ex Asi utrinque producta aufer AD, BE aquales majori segmento AC. Centris A, CV D intervallo AB describe -- . s duos se secantes in F. Item centris B, O Eredem interealis se seantes in s. Rursum centris F, O G intervallo itidem AB alios se secantes in I. A, HI, G, B rectis lineis juncta dabunν pemtagonum ordinatum hoc est aquilaxerum , ct mwκVulum super data es B. AEquilaterum esse patet ex constructione; qui angulμm esse , sic demonstrabitur. Dueatuν - .Patet ex constructione, triangulum A se φο- sceles. Et basis AD est malus segmentum lateris
DF extrema , ct media ratione secti es enim DF aequalis AB, ct AD aqualis AC. Ergo .
Angulus o D AF est dua quinta duorum recto Corol.p.r-. Ergo reliquus FAB p tres quinta duorum rectorum , sive sex quinta unius recti ; ac proinde l.i. st q angulus penta oni ordinati . Eodem mo a , ' G a sen- I.
119쪽
5 Per 8.1. Id e Per 23. I. 3. 4 Per IsI. 3. e Per 26. I. I.
ostenditur an ulum GRA esse sex quintas unius recti, ac proinde parem F AB . Unde necesse jam e , reliquos F, G, I his quales esse, ut patet ex z. lib. I. A concipiatur subtendi recta FG. PROPOSITIO XII. Cisculo pentagonum stainatum circumserib
Inseribatur pentagonum ordinatum per praec. G H I Κ Μ , ducanturque tangentes in punctis , G, H, I, Κ, Μ, quae concurrant in B, C, D, E, F, dieo factum. Ex centro duc rectas AG, AB, AH, AC, AI. Quoniam BG , BH ex uno puncto B tangunt Circulum, aequales a erunt. Trigona igitur GAB, HAB stibi mutuo aequilatera sunt . AEquantur
ergo b anguli O, P, item in S; ac proinde totus B duplus est ipsius P, ct totus GAH duplus est S Eadem de causa anguli C , & H A I dupli sunt ipsorum T , &Ν . Sed GAH ,& HAI aequales e sunt, quia insistunt arcubus aequalibus GH, HI per conit. Ergo etiam eorum dimidii S , N quales erunt . Quoniam igitur in triangulis BAH, CAH duo anguli S, N aequantur, itemque duo ad FI d recti, latusque Λ H est comminne, etiam e BH, CH , itemque anguli P, T aequase Ies erunt. Eodem modo ostendam, rectas BG , FG esse aequales. Igitur CB, FB duplae sunt aequalium BG, BH, ac proinde aequales. Eodem modo ostendam , reliqua latera pentagoni circumscripti esse aequalia . Illud igitur aequilaterum erit. Est vero di aequiangulum, quia , cum jam ostensum
sit, angulos B , & C duplos esse aequalium P,
120쪽
A T, etiam ipsi aequales erunt: eodemque mossi & reliqui . ordinatum igitur pentagonum circinio circumscripsimus. Quod erat faciendum . Eodem artificio circulo circum scribitur oriunata
Aura quacunque , si prius illi similis circulo Ἀ-
BEntagono ordinato circulum inscribere, O tam rig. 13acumscribere. Duos pentagoni angulos B , C biseca. rectis BN , CS concurrentibus in Λ . Ex Λ duci Pe pendicularem AL. t Circulus eentro A per L descriptus tanget omnia pentagoni latera ; circulus vero descriptus centro A per B transibit etiam per C, D, E, F .Pars x. In trigonis D C A, B C A, quia latera DC, CA a lateribus BC, C A ; itemque , angin a perli P, & o aequantur, etiam G, & I aequale. c ιη runt. Sunt vero a etiam toti B, & D aequales. eonst. mare cum d angulus G sit dimidius anguli B, I ῆς etiam I erit dimidius ipsius D. Igitur D quoque Perbisectus est recta DΜ. ob eandem causam reli- ς'' qui pentagoni anguli E, F sunt biseat; ac proinde omnes dimidii anguli inter se aequales erunt . Ducantur insiuper perpendiculares ΑΜ, AS, AN, AR .Quoniam igitur in trigonis LBA, ΜΒΛεnguli G, &-sequantur ,& latus LB lateri ΜBe aequale est, latusque ΒΛ commune , etiamfAL, o Peteo ΛΜ aequales erunt. Pari modo ostendam re uas ΛΜ, AS, AN, AR inter se sequari . Circulus ergo Mςqntro A transiens per L transibit etiam per Μ, s,/' '