장음표시 사용
131쪽
ira Elementorum Geometria quae existit inter magnitudines incommensurabiles, & nullis numeris explicari potest.
Porro commensurabiles quantitates sunt, quas aliqua communis mensura metitur ; incommensi rabiles, quas nulla metitur mensura communis.
similes, aequales , eaedem, cum unius antecedens
Λ seque , seu eodem modo hoc est nec magis , nec minus continet suum consequens B , quo altarius antecedens C continet suum con
Vel quando unius antecedens Α eodem mindo continetur in silo consequente B , quo C in antecedens alterius in suo D. 6 Duae rationes sunt dissimiles, sive una ratio est major altera, quando unius antecedens I )magis continet suum consequens L , quam ab terius antecedens Ο contaneat suum consequens ; vel quando antecedens unius minus coni,netur in Ibo consequente , quam antecedens alterrumi contineatur in consequente suo. Proportionum aqualitas, ct inaequalitas explicatur. OUM porro fit unum antecedens aque , vel magis continere suum consequens , quam antecedens alterum contineat suum , si proportio
nes flat rationales, definiri , ct explicari ulterius potest per numeros, ut si A sit triplum B, ct Ctriplum F, perspicuum erit quid fit, A que,seu
dem modo continere B , quo C continet F : vel
si I sis triplum L , o vero duplum constabit russum , quid fit I magis continere L , quam O
132쪽
Liber Quintus. Pars I. HI Gntineat m At, si proportiones fuerint irrationαIes ; ea res explicara miserius nec potest, nec debet. Dentur magnitudines incommensurabiles A, B,
perspicuum es, A non solum majus Use B,sed etiam certo quodam modo esse maius, Γ A quippe aliter
continet B, quam alia quatibet major , minorve, quam A: J neque tamen ulterius quari, aut explicari debet, quis sit certus ille modΜs, quo A continea B, quia per nullos numeros explicabilis est. Itaque quemadmodum datis binis incommenuerabilibus quantitatibus, non debet ulterius quari, quid sit mnam certo modo continere alteram, ita neque, cumdantur quatuor proportionales incommensurabiles, quari debeι ulterius,quid At C eodem modo contin re D, quo A continet B. Sicuti enim modus, quo Acontinet B, ulterius es inexplicabilis ' isa plane e iam identitas modi, quo A continet B , cum modo, quo C continet D, ulterius inexplicabilis est . Quod vero cuicunque proportioni irrationali A mit. . ad B dabiles sint in ita alia proportiones irrationales aquales, maiores, minores, diversis terminis constantes, facile poterimus intelligere hunc in mo-d m.Sumatur quacunque q antitas C, oe aufera-xur B ex A incommensurabili secum quantitate,
qμρtiei potes, puta ter, resupersit EF. Sis deinde orertia pars ipsius C,st insuper quapiam X ipsi C in commensirabilis, qua major sit, quam O. Quoniam
Ptur A continet B plus quam ter C vero continet Xm n ι quam ter nam C continet praecise ter o minorem quam X erit ratio irrationalis C ad Xminor ratione irrationali A ad B. Accipiatur jam V quam
β pars C, ct quapiam em Z Vs C incomm Uu -- . , qua minor sit, quam Q. Quoniam igitur A
simrnet B minus, quam quater, C vero continet a
133쪽
Elamentorum Geometria maiorem, quam Z , erit ratio irrationalis cad Z maior ratione irrationali A ad B. Iam vero , quia C ad aliquam X minorem Umtionem habet, quam A ad B, ct rursum, quia Cad aliquam Z majorem rationem habet, quam Aad B. manifestum est etiam C ad aliquam D m diam inter X ct Z eandem habere rationem, quam
A ad B . Quod quidem perinde clarum est lumina naturali, atque istud: dabile est maius, quam P, cor est minus, P, ergo dabile est aquale aliquod ipsi P . in proportionum qualium desinitione Euellisa desideretur. OLM ad Euclidem attinet, is duas proporti nes A ad B , C ad F aequales Q. Heis.
anteeedentium quacunque aeque multiplices I,
consequentium quibuscuηque aque multiplicibus L. R, vel ut majoressunt, vel ut minores, A. aquales, hoc est, I superat L, raram semper superat R;σ eum I superatur ab L. etiam semper superatur ab R; oe cum I est aequalis L edisam Memper est aequalis R. Ubi bene notandum est, Euclidem non assumere aque mutiiplicium ex sessus, defectusque proportionales , seu ius, yis inepte idem per idem explicasset; excessu O defutus pliciter. Nihilommas hic aliquνd in summo Geometra desiderari iam supra declaravimus . Nam vel cupit hisce verbis rationes aquales
definire, or Ac rei definita proprietatem pro des Lrione assert: evidens qmne est, hanc mules icium affectionem ex rationum aqualitate profluere; vire adducis tanquam indicium primum, ct infallisse
ιν rationum aqualium ἰ σ A demonstrare deis
134쪽
Liber cuintus. Pars L H rat . eam cum rationum aqualitate ita semper esse connexam, ut hac ex sita certo posset inferri . uua quidem connexio ct perobscura, ct demon. si tu disseisis est: vel denique per rationum aquais ita es nihil aliud intelligit, quamsi uitaneum i Ium excessum, defectumνe multiplicium ; ct ferare quinto, ac sexto libro, cum quatuor magnitudines proportionales esse demonstrat, nihil sciemus aliud , quam dictum exesium, re defectum illis competere, incerti plane utrum magnia rudines , de q ibus agitur, At vere proportiona
Proportionum qualium aliud indicium primum . ct infallibile assignatur. O d si rationum aqualium desideretur laedici- p;nia. um Ψnfallibile, O fastis, stram- , nos rale assignabimus, demonstrisimusque Hor. s. ω quil la
ε. par. 3. , estque eiusmodi. - . tas .
Rationes o aquales sunt AB, ad C F, G Arad, quando ct consequentes ipsa. O conis sequ ntium similes parier aliquota quacunque
antecedentibus aquali semper nmmero conirnenis
Ut si una decima j s CF contineatur in A Bducenties , una quoque decima NOrontineatur ducenties in G M; ct si una centesima C F contineatur millies in A B , etiam una centesima
Inaquales autem rationes sunt, quando aut comsequenter ipsa, am consequentium aliqua Am usH , alia
135쪽
t1ς Elementorum Geomefria aliquota in antecedentibus inaequali numero continentur ; O illa ratio major es, cujus vel consequens, mel consequemis aliquota sapius continetur in ante
Fig. aε. Ut s una centimillesima C F saepius contineat. - - , quam una centimille a No in Gns, eruratio AB ad GF major ratione G M ad .M O, quamvis annumera alia consequentium CF , N smiles aliquota in antecedentibus AB, GM aequali
Porro quati numero contineri die tur , cum ablata quoties pobsunt, aquali numero sunt ablata. Ex hoc indicio . rationum irrationalium aqualitas, ct inaqualitas continus elucescit, cum sic antecedem res consequentibus incommensurabiles per ablata consequentibus commensurabilia, ct proportionalia ex hauriantur . 7 Similes partes sunt, quae in suis totis seque seu eodem modo continentur, ut qualis pars sui totius est una , talis pars sui totius sit altera. Quod sane nihil aliud est , quam partes ad sua tota eandem habere rationem. Similes vero partes aliquotae sunt, quae sua to. ta aequaliter metiuntur, ut si utraque sit sui totius una tertia, una decima, &c.
FIs. 6. 8 Magnitudines A B C D continue proportionales dicuntur, cum medii termini s B, C bis
sumuntur; hoc est , cum sunt consequens respectu praecedentis , & antecedens respectu sequem
Continuas rationes se esserimus, A es ad B, ut B ad C loe B es ad C , in C ad D , Ursic deinceps.
136쪽
' Liber Osinius. Pars I. III Discretas rationes sis efferimus: A est ad B, ut Cis F. Cum plures fuerint proportionales magnitudines , quam tres , se proportionales dicantur, semper intelligitur discretim. ro Cum magnitudines ABCD in suerint co Fig.Gtinue proportionales, prima s Λ ad tertiam C habere dieitur rationem duplicatam ejus rationis,
quam eadem prima A habet ad secundam B di prima A ad quartam D rationem habere
dicitur triplicatam ejus, quam eadem prima ha
bet ad secundam B , ct sic deinceps.
Ir Homologae, seu similes ratione magnitudines dicuntur antecedentes antecedentibus , consequentes consequentibus . Ut si Λ est ad B , ut pilo
C ad F; homologae erunt A, C, & B, F. WReliqua definitiones commodius ex ipsis propositis
Γuintus liber propositiones complectitur x s. Ex his Io. non alium usum habent, quam ut reliqua earum ope per multiplices demonstrentur. Illis igitur pratermissi Is reliquas proponemus solas Euclidis ordine non mutato. Porro hujus libri theor mala non solis lineis, sed omnibus omnino quantitatibus eonveniunt. Linea igitur, quibus hic utimur, omne genus quantitatis repraesentant. Axioma ,
DAtis tribus quantitatibus Α, Β, C, dabilis est
quarta Z, ad quam C eam proportionem ha-bςt, quam Λ habet ad B.
137쪽
tis Elementorum Geometria PROPOSITIO 1.2.3. s. 6.
IN nostra methodo sunt super a.
Haec propositio, ut & sequentes quatuor, sunt merissima axiomata , ac proinde nullo modo de monstrari debent.
ris. s. OI quantitates s C, oe F 3 fuerisis inaequales, o C ciertiam Z majorem habebis ratio minor F habeat ad eandem A. Et Z ad majorem C minorem habebit rationem, quam eadem Z habeat ad F, minor est, quam C.
ris. ν. I A, ct B ad Z eandem habeant rationem , a
138쪽
SI Cad Z majorem rationem habeat, qua F ad Fig. r. Z, erit C major, quam F. Et si Z ad F majorem rationem haseat , quam eadem Z ad C, erit F minor quam C.
RAriones, qua eidem rationi sunt quales, em my- .
dem, Amius, s idem omnia Agni cani J suae '
quales, eadem, Amiles inter se. Ut si tam ratio A ad B, quam ratio C ad F sint aequales rationi X ad Z, erunt quoque rationes Λad B, ct C ad F sequales inter se. Sive si A sit ad B, ut X ad Z, dc C sit ad F , ut X ad Z ; erit quoque A in B, ut C ad F. Eodem modo rationes, qua qualibus sunt aqua. Di, inter se sunt quale .
Is uti magnitudines quascumque s A, B, C I
eandem habuerint proportionem ad fingulas i
iidem Γ F , I, L, J quam proportionem habent sis Pia ad fingulas, sue una L A J ad unam F, Jeaudem habebant omnes s A, B, C J simul δεμ ad omnes s F, I, L J Amui sumptat.
per se manifestam exemplo tantum aliquori ratio
139쪽
rho Elementorum Geometria rationali declaro; ut si singulae ABC singularaim F, I, L sint triplar hoc est, si singulae ad singulateandem habeant rationem quam 3 ad I , etiam Α, Β, C simul sumptae simul sumptarum F, I, Liriplar erunt) hoc est, etiam Λ, B, C simul sumptae ad F, I, L simul sumptas rationem habent eandem, quam 3 ad I. In proportione irrationali res aeque clara est.
PROPOSITIO XIII. XIV. IN nostra methodo sunt super a. PROPOSITIO M.ALiquota similes s F, I eandem inter se rintionem habent, quam tota s A, B. JEt universim partes similes s C, FI sunt inires ut tota s A, B - J . Vere instar axiomatis haberi potest, si recte intelligatur , quid sint partes similes . Vide de
sCJ ad quartam sF, J etiam permutando di
xit prima Γ A J ad tertiam s C , 3 ut secundas B J ad quartam s F. I
sonantur B, & F esse minores , quam Λ , & C, nam si aequales sint, res patet. Quoniam A ponitur esse ad B, ut C ad F , erunt her desin. 7. B &
140쪽
Liber suintus . Pars I. iis F totorum A, & C partes similes, ac proinde per praeced. quam proportionem inter se habent totae A, C , eam quoque habent partes similes B, F; hoc est, A est ad C , ut B ad F. Scholium.
SI A est ad B , ut C ad F, etiam invertendo erisus B ad A, H F ad C. Per se patet. Apud Eselidem hoc es corollarium prop. q. quaeum in nostra methodo tanquam super a sis omissa, visum est corollarium illud hoc loco ponere
PROPOSITIO XVII. SI antecedens unum L AB J sit ad consequens
s C BJ ut antecedens alterum s F IJ ad conis quens alterum s LI; J etiam dividendo erit L AC Iexcessus antecedentis primi supra suum consequens ad idem consequens s CB, J ut PT, J excessus antecedentis secundi supra consequens secundum ad secundum consequens s Id. I
Axiomatis instar assumi potest: si tota AB, FIeandem rationem habeant ad X, & Z, etiam similibus partibus mulctata eandem ad X, & Z pergent habere rationem; hoc est , adhue Λ B sic mulctata erit ad X , ut FI sic mulctata ad T. Id vero est, quod asserit propositio . Nam quia ponitur ΛΒ esse ad CB, ut FI ad LI, erunt a CB, LI similes partes totorum ΛΒ, FI; & AC, FLerunt tota similibus partibus mulctata. Cum ergo tota habuerint ad CB, LI eandem rationem, etiam
AC, FL, s hoc est tota similibus partibus mulcta pergent ad CB. LI eandem inter se habere r