장음표시 사용
91쪽
PAElementorum Geometria Corollaria. Fig. ro. 1 T I1nc rursum patet, contactum rectae sineta
It & circularis esse punctualem.
Fig. 11. 2 Si centris in eadem linea recta in infinittimprotracta acceptis describantur per B infiniti est culi tam minores primo BS quam majores, mnes tangent rectam IF in eodem uno puncto B. 3 Circuli igitur in amplitudinem quacumque data majorem excrescentes propius semper , ac propius in infinitum tangenti appropinquant ,
nunquam tamen ei , praeterquam in unico contactus puncto , conjunguntur , quod quamvis evidentissimum sit , est tamen re vera admirabb
Fis iν. Ex his manifestum est, lineam quamcunquE in infinitum esse divisibilem. Ducatur enim ab liquo diametri puncto ad tangentem recta A Q. I, finiti circuli centra habentes in recta BA sine temmino productam rectam IF per coroll a. hie dc se mutuo per coroll. p. I 3. tangunt in uno e demque puncto B, ac proinde nusquam vel intexio, vel cum recta IF conjunguntur, praeterquam in B. Ergo necesse est, ni rectam Λ dirimant in partes infinitas, hoc est in non tot, quin plures. Fig.ro. 3 Angulum contingentiae, seu contactus LBQ eum nempe, qui tangente, & peripheria continetur nulla recta linea potest dividere. Fig. i . 6 Per circumferentias tamen in eodem puncto tangentes. secari potest, ac minui in infinitum. Atque in hoc , & tertio corollario latet totum mysterium asymptoticum, hoc est lineae rectae ad Hyperbolam una secum in infinitum productam accedentis ad intervallum quocunque dato minus ,
92쪽
nunquam tamen concurrentis, quod praeclare ob servavit, & demonstravit Μarius Bettinus noster in Apiariis, & ante illum Barocius, atque Ca danus ex Rabbi Μoyse Narbonensi, cujus demonstrationem refert Cardanus de subtilitate lib. I 6. Soholium. Demonstratur, dc solvitur fallacia paradoxorum, quae ex angulo contactus deduci solent.
hac quidem ex I 6. prop. hactenus deauri ducta oe mira, ct certa sunt. uua vero deduci ex eadem solent praeterea, omnem captum humana mentis excedunt. Quare suspicari aliquando coepi latere hic aliquid, cujut agnoratio subt libus etiam ingeniis illuderet, ct paradoxis illis immanibus afferendis ansam praeberet. Et plane, Mod suspicatus sum , ita se habere, mihi tandem videor deprehendi se . Paradoxa, qua ex I6. insemri solenι ex aliis multis, has fere praecipua sunt. I Anguias contingentia L OAC J omni acuto Fis. i. minor e . Acutus esto PAC, ab hoc auferri potest dimidius, CP a re so iterum dimidius, oe sic deinceps sine termino. Quo paeto acutus siet quocunque dato minor ; quantumvis tamen in infinitum miri atur, semper tamen resdui anguli ex. gr. σnguli QAC , latus unum uA a intra circulum lyςx cadet, ac proinde angulus contactus OAC intra Mutum continebitur, ejusque pars erit, ideoquo
a Angulus semicirculi, licet recto minor fit, est ymni acuto major. Quia ob eandem causam acu-- quantumvis magnus B A Q intra semicircus
93쪽
Elementorum Geometria angulum BAο comprehenditur. Hac duo in ipso textu propositionis inferuntur :Quamois nonnulli dubitem, Euclidis ea sint, an ab aliquo adjecta. Apollonius certe magnus geometra, cum eandem affectionem in ellipsi, hypembola, ct parabola demonstrat, has illationes pr
s Angulus rectus OB, s acutus quicumque CAa J coniinet insinstos aquales angulos contactus, ac proinde infinities illo est major. Nam angulus CAB dividi potes in acutos infinitos minores semper, ct minores, quorum nihilominus sis-ι νε, pa. guti sunt majores b angulo comantus O AC. rad. . 4 Angulus contactus CAO es vera pars anguli recti CAB; eundem quippe una cum semieirculi angulo OAB eonstituit: nequis tamen ulla sui multiplicatione suum totum adaquare; ac proinde hicis ita aqualia i addita non e iunt infinitum. s Transitur a minori ad maius, ct per omnia
media, neque tamen per aquale . Sive datur majus, aliquo, ω datur eodem minus, neque tamen da-
te puncto A moveatur, donec congruat cum tangente, describet acutos angulos BAP , BAZ. σomnes alios possbrus, qui quamvissemper augean
a Per pa. tur a semper tamen eruxi minores c semicireali δ d-δ. angulo B- - quamprimum vero AB congrue
tangenti C A, immediate habetur rectus C AB maior angulo semicirculi. Hac, σ plura alia ex hac Is propositione deduci siqni, qua profecto,s ita, ut proponuntur, sese habeant, merito incomprehensibilia videri possient. Pe-ιetarrus, ut his paradoxisse expediat, negat, a 'gulum contari I esse quantum. Rem confecer ἔ, si
94쪽
Liber Tertius. 7s dixisset, nullum angulum esse quantum. Sed is v hementer errat, cum inde infert, omnes semicirculi angulos esse aequales, quod plane non inferret, flintelligeret, quod de contactus angulo seruerat, omnibus angulis convenire. Neque tamen Gavi' nostro in sua alia adversus Peletarium apologetica, disputatione assentior. Mea quidem sententia utemque falles uri hic dum omnes omnino angulos esse putat quanti tem , ille, dum omnes, prater angulum contingentia . Alii,se, existimant, hac una responsione omnes dissicultates solvere, si dicant, curvilineos angulos, ct rectilineos esse incomparabiles .ro ais vero, cur t 3ncomparab3les, respondent, quia angulus contactus quantumcunque multiplicatus nunquam potest aquare rectum, vel acutum . Atqui hoc est paradoxum omnium maximum, mius explicatio petebatur, qui nimirum fleri possit, ut
angulus contactus angui recti pars sit, ct tamen quotiescunque multiplicatus eumdem superare nequeat. Regpondent, angulum comactus non esse pauerem recti, quia eum non potest adaquare. At para doxorum a fertores replicant hinc solum sequi, non else partem recti aliquotam, veram tamen esse pa εςm,eo quod cum semicrrculi angulo rectum componat . Unde qui hac via dissicultates propositas volo-baηt disso ere, debuerant ostendere, angulum con-ractus nullo sensu parrem esse reinlinei anguli. que addito i semicirculi angulo rectum com ne re: id σωοu facturi deinceps nos sumus.
Mihi videιur res omnis ex Euclidaea desivisione anguli pendere. Hac enim, s penitus expendatur, manifeste docet , nullum angulum esse quantum , quo uno errore sublato , paradoxa omnia evanes t. Sentio igitur x NM-
95쪽
16 Elementorum Geometria 1 Nullus angulus es quantitas sed modus quam litatis . Sic enim habet desin. 8. lib. I. Angulus planus est duarum linearum , M. alterius ad alteram inclinatio. Atqui linearum inclinatio non es quam ritas,sed modus quantitatis: cum enim curvitas non si quantitas, cur inclinatiost, qua ab illa non m
gis differt, quam in xis, ct fractio ρ Deinde . Si
angulus eset quantus, foret vel linea, vel supersietes, vel corpus. Non esse lineam, aut corpus patet. Sed neque superficies est, ea enim ablatιone partium Fig.11. C. B , minuitur, non angulus. Neque potest dici, angulum esse superficiem indeterminatam, cum amotus quilibet determinatus sit. a Quoniam anguli non sunt quantitas, sed modus quantitatis, eorum ἱnter se comparatorum relisio non est aqualitas, ct inaequalitas, sed Amilitudo, O di militudo. 3 Cum igitur anguli inter se comparati aquales dicuntur, aut i quales, non aliud intelligi potest, quam eos similes esse inter se, oe dissimiles. Maluit
ramen Euclides aequales, ct inaequales dicere ob multas horum serminorum in angulis rectuineis commoditates. Quem proinde loquendi modum e=
4 Similes porro anguli sunt, quorum ambo la Dra superimposita congruunt. Di miles, quorum non congruunt latera . Antulus enim nihil est aliud, quam inclinatio linearum alterius ad alteram. Ergo similes anguli sunt inclinationes linearum simiales . Non sunt autem inclinationes linearumsmiles, nisi amba sibi muttio imposita congruant . Ergo similes anguli sunt, quorum congruunt latera , dis smiles, quorum non congruunt. s Itaque manissum est, nullum angulum cur-οili-
96쪽
milineum aqualem dari posse ulli angulo rectilineo. Nam aqualitas angulorum non aliud est, quam βmilitudo D per conclusa. oe 3. J Similitudo angulorum est seia laterum congruentia sper conciai q. JLaterum congruentia haberi nequot, dum angulus curvilineus imponitur rem tineo. Ergo c. Errat
igitur Proctus, dum descriptis aqualibus semici cutis ita ratiocinatur e AEqualium semicirculorum anguli EAD, CAB aequales βnt. Ergos his adda- Fig. ia: tur communis angulus CAD, erit angulus E AC curvilineus aqualis rectilineo DAB. Fallia ne ergo axiomas aqualibus addas, vel demas aqualia, tota, vel reliqua erunt aqualia λ Nequaquam; hoc Gnim ad res quantas selum pertinet ; anguli porro quanti non sunt. Axioma, ut in angulis valeat, ita
formari, ac intelligi debet. Similes angulis apponantur ilibus angulis similiterque positis,qu3 tum
Orientur, erunt simιles. At Proclus comparat angulos miles quidem et sed communis, qui utrisque additur , cum ab una parte habeat latus rectum. ab altera curvum, dissimiliter utrisque additur. 6 Uuare, cum tota essent a anguli sit linearum se tangentium inclinatro, non erre unus angulus pars alterius, una siquidem inclinatio pars alterius inclinationis non est, neque angulus auferri ab angulo poterit; inclinatio siquidem una auferri nequit ab altera, ct c. Hac enim non laterum inclinationibus, qua quantitas non sunt. sed superficiebus inter latera consitutis conveniunt. 7 Postremo ex iam dictis couigemus, quomodo intelligi debeant illa locutionum formae, quibus Geometra prism, atque ipse in primis Euclιdes, utun-rηr , cum angulos secari, augeri, imminur, alterum AElterius durum, triplum, aliaque similia asserunt. Hac
97쪽
8 Elementorum Geometria Hac sane existimabimus , eos non proprie, sed mnalogice tantum angulis tribuere ς itaque eos loqui voluise, quod id commodius, ct expeditius esset;
neque tamen obnoxium periculo, modo in angulis rellilineis maneatur. Angulum itaque divadi rosea DA, non aliud erit, quam inter latera E A, CA aliam interponi lineam . qua novas duas C mutroque latere inclιnationes, hoc est duos novos an-σulos efficiat. Angulum υero E AC ebse duplum anguli EAD. nιθit rursum aliud erit, quam im ter lineas relitas EA, CA atiam interponi, qua ad utramque smiliter inclinetur, unde sat, ut recta EA, DA rectis CA, DA inclinationibus non mutatis imposita congruant. Quod si ita ratiocinen
tur: s Angulus EAD est aqualis angulo ILQ, DAC est aqualis Q L R. Ergo totus E AC toti R aqualis est. J Idem erit ac si dicatur: Inclis
natio rectarum EAD similis, seu eadem es inci, nationi rectarum ILQ, ct inclina io recitarum D AC similis est inclinationi recta,m QLR. EDgo etiam inclinatio rectarum E AC smiiis erit inclinationi rectarum ILR , vel certe L quod rec, det in idem, ex assertione quarta supra J collecti nem illamsic intellige. Latera E A D congruuηt lateribus usi, O latera DAC congruum later, bus Q LR. Ergo latera quoque E AC congruent lateribus ILR . uua quidem sonsecutis aque clara est, atque si aqualibus addas aqualia, tota aqualia esse. Ad eum modum locutrones cateras, quae , cum
snt quantitatis proprιa , ad angulos transferun-ιur , facile, Neritate theorematum ubique salva,
His ita constitutis, facile paradoxa angularia .dissolvemus, qua Due non aliunde enata sunt,quam
98쪽
Liber Graius eodem, ceteras quantitates , --
loco. Ut igitur simul omnia expedia dιco, paradoxa slla, se in proprio verborum sensu accipiantur, ad unum omnia essesalsa . Sic enim accepta non conveniunt nisiquanto anguli autem quan-rs nonsunt, ut jam senamus. Itaque angulus contactus neque minor es quovis acuto , neque pars est anguli rectilinei, neque in re-efrlineo conisnetur infinities, imo ne semel quidem nihil enim Borum linearum inclinationi potes competere, qua tota anguli essentia est. Si vero non pro- prae, sed analogice accipiantur, iam nihil eoni nem, quod a communi sensu, ac ratione alienum sit. Sic enim angulum eomactus O AC se minorem Fig. at quovis acuto. O semicirculi angulum OAB acuto omni majorem, non aliud significabit, quam infra tangentem C A nullam posse duci rectam ad conta ct m, quissecet periphersam. uua quidem circuli proprietas es omnino digna , quam homines admi remur, est tamen ejusmodi, quam possimus inteli , O qua nih3l cum ratione pugnans involvat. Non alius paradoxi tertii, quarti. σ quinti sensus erit . Atque ita unius Euclidaea definitionis 'ductu,
rixe perspecta natura anguli, omnes immanium parauoxorum tenebra evanescunt.
AP αο ιιο s B I rectam ducere, qua datum Fig. circulum s OQ J tangat.
Aata circuli centro ducatur ad datum pum
di d recta AB secans peripheriam in o . Centro
cribe per B alium circulum BS, &exo duo peti pendicularem ad AB , quae occurrat circulo
99쪽
go Elementorum Geometria BS in C. Duc CΑ occurrentem circulo Orici I. Ex B ad I ducta recta tanget circulum Oin Quia latera BA , ΙΛ aequantur lateribus C Α, ΟΛ , angulusque Λ communis est in trigonis a Per . ΙΛΕ, ΟΛC, etiam a an uli ΑΟC, ΛΙΒ aequa- : m. les sunt. Sed b ΑΟC rectus est. Ergo etiam re .const. ctus est ΛIB. Ergo BI e tangit in I.
Scholium. Fig. et . UX 3 I. sequi pulchre ex dato puncto soJ e, tur tangens circulum datum L BR JCentrum A, ct datum punditum o iungens recta b scetur in P. Tum centro P per A, cto describe circatam occurrentem dato in B: recta OB tanget. Nam juncta AB angulus ABO in semicirculo rectus est per 31. ergo per 16. OB tangit circulum
PROPOSITIO XVIII. Fig et . Q Icirculum tangat recta linea s CL, J qua ex centro AJ ad contactum s B J ducitur, tangenti per
pendicularis es. Si negas, sit ex A centro perpendicularis alia a per i. quaedam recta AF a secabit ea circulum in o. Quia D r.P.16, ergo angulus AFB rectus ponitur, erit , ABF acu lpei eo tus. Ergo AB, hoc est Λοὶ major c quam ΑF,
. Si negas, sit centrum extra AI in L, ct ab eo ad
100쪽
Liber Gisias grad contactum ducatur ΖΛ, erit d angulus ZAC ὸxectus, ac proinde par angulo IAC pei hyp. rm p ricto, hoc est pars toti . .
A'ulus ad centrum BAC duplus est an- Fig. aia guti BFC ad peripheriam, cum idem am 33 33 oui AC es basis angulorum. Triptiu est casus. In primo latera BA , BF rie laeminodunt. Tum vero, quia ΛF, AC ex centro ductae aequantur, erunt in triangulo Z anguli F, Ac C a aequales. Sed BAC b aequalis est duo. a Per s.
s F, & C. Ergo BΛC duplus est unius F. lIn casu secundo, B A, C Λ cadunt intra BF , CF. i. i. '' Tum vero ducta FAX, per casum primum XAB est duplus XFB, &XAC duplus XFC. Ergo totus ΒΛC duplus est totius BFC. In tertio Casu, BF, secat AC, & anguli BΛC, BFC sunt extra invicem. Ducatur FΛL; percasiam r. totus LM duplus est totius LFC, & ab- Iatus LAB duplus est ablati LFB. Eroo & reliquus BAC duplus est reliqui BFC . Quod erat
PROPOSITIO XXI. A'Hi S, Bre, qui in circulo insistunt Fig. 33. eidem arem BOC flve qui in eodem se mento BQFC exsunt, inter se omnes sunt