장음표시 사용
81쪽
punctum κὶ ex segmenti terminis C B d,
Angulus C R insistere dicitur periphe
riat si DC , quae illi AE ppomtur .. 8 Sector est pars circuli a duobus semidiametris
midiametri intercipiunt , comprehensa.
Aii circuli centrum invenire. Ducatur in eircula recta BC utcunque, quam
biseca in in Per duc perpendicularem L F.
Hane biseca in A. Em A centrum . Si negas; centrum ello Ο extra rectam FL, nam in FL esse non poterit, cum ubilibet extra A dividatur inaequaliter; ducanturque Bo, uis, Co. Quoniam igitur vis o centrum esse, erunt Bo, Co aequales . Triangula igitur Bo , C sibi matuo aequilatera sunt , cum etium
communis. Ergo a angulus O . aequatur a into G QR .i Ergo OQC , rectus est, ac proinde angulo LQC per conlir. recto aequatur, Pars toti . Quod est absurdum.
EX demonstratis patet, si in circulo recta sLF aliam sBC ὶ bisariam , & perpendiculariter
secat, in secante esse centrum.
Facssi e per normam invenitur centrum sertices ad circumferemtiam applicato. Si enim recta DEjungentem puncta D, ct E. in quibus norma lateramripheriam secant , Ascetur in A, exis A centrum. Demoviira ν pendet ex 3 1 -- α - - . PROO
82쪽
SI in circuli ambitu duo Mncta fumantur s E, Fig. a. C J, xecta, per Ha dueitin, intra circ
Accipiatur in recta BC quodvis pune tam O , &
ex centro A dueantur AO, AB, AC. Quoniam AB, AC aequantur, etiam a anguli B, & C aequa- a per ι:les erunt. Quoniam igitur externus ΑΟC b ma. i. i. jor est interno B, major erit quoquo, quam C. to l. c. In triangulo igitur ΟΛC latus Α C subtendeps 3λι.1. majorem angulum AOC majus est c latere e pet i, subtendente minorem C. Cum igitur ΛC tantum i pertingat ex centro ad circumferentiam, ΛO non pertinget. Ergo punctum o intra circulum cadet. Idem qstendetur de quovis alici puncto sectae BC. 'Tota ergo BC cadit intra circulum. Ex ipsa etiam notione linea recta , ct cinia ris propositio est manifesta V, a
I in circulo recta per centrum dum t B L I Fig. i. iam Γ CF J non per centrum ductam δε-
cet bifariam, scabis quoque yerpendiculariter. Et, si secet perpeniculariter, secabis bifariam, . . 1 Pars . Ex Α eentro ducantur AC, AF ν gula X , T sibi mutuo aequi latera sunt ; mi O, FO ex hypothesi, de AC, AF, quia ς ςr o, aequales sent; ΛΟ vero communis
83쪽
Elementorum Geometria 3 per deas recti. Quod erat primum. sn.14. i. a Pars. Quia ex hyp. anguli AOC, AOFa rei ιν. sunt , erit quad. AC o aequale quadratis Ao ,/. r. Co; 3c quad. AF aequale quadratis ΛΟ, Fo. Cum igitur quadrata AC, AF aequalia sint, etiam duo simul ΛO, CO duobus simul ΑΟ, Foaequalia erunt. Quare ablato utrinque communi quadrato ΛΟ remanent CO , FO aequalia . Ac proinde etiam reme CO , Fo sunt aequales .
PROPOSITIO IV. Fig. 4. & in circulo dua recta s BC, FL J non a-M per centrum ducta se secent , non seca nes
mutuo bifariam. Nam si una LF transeat per centrum, patet, hane non bisecari ab altera BC , quae ex hyp.
per centrum A non transit. . Si neutra per centrum transit , ex A centroduc ΑΟ. Si jam ambae BC, FL forent bisectae in Ο, angaei quoque ΛOC , ΛΟL essent a re. cti, ac proinde aequales, totum, & pars. Quod fieri non potest.
Fig.ε. ω ' Ireuli se mutuo secantes, aut interius tangen ν' a tes non habent idem centrum. Alias enim ductis ex communi centro A rectis
aequales, quia ambae sunt aequales eidem ΛΒ.. PRO
Diuitiam by Coost Fig. s . Fig. 4. a Per
84쪽
SI in circulo quodvis aliud a centro A J a L Fig. g. piatur punctum L CI, ex quo recta plures C B, CL, ω, CF in circumferentiam cadant.
quod a centro diversum est, ad circumferentiam duci possMnt aquales. Pars I. Ducatur ex A centro recta AL. Quoniam ΑL, AB aequales sunt, addita communi Λ C erunt LA cum AC , & BC aequales . Sed LA, AC sunt majores , quam LC . Ergo etiam BC major, , petro. quam LC. Eodem modo BC ostendetur major i quavis alia. Pars E. Ex centro duc ΑΟ rectam. ΑΟ hoe est AF in est minor e quam AC, CD . Ablata igitur . p., communi AC remanet FC minor , quam Co . eand. Eodem modo erit CF minor quavis alia.
Pars 3. In triangulis COA , CLA Iastra LA, AC sequantur lateribus ΟΛ, ΑC ; Angulus vero LAC major est angulo ΟΛC. d Ergo basis e rei LC major basi OC. Pars A. Patet ex praecedentibus. Nam si tres duci possent aequales CO, CI, C , forent duae C , CI ad eandem partem inter se aequales . Quod repugnat parti S. E PRU-
85쪽
I Earum , ii a in cavam peripheriam incidunt , maxima est A B J transiens per centrum
a Aliarum major est ea, γ' maxima A B Ipropior. 3 Extra circulum minima es qua pr ducta per centrum transit. uuae minima propior, minor es remotiore.1 Non plures , quam dua Ex iacto puncto Ain peripheriam duci possunt aquales , sive intra
s;ι , Pars I. EX centro Z due ZC. Quia aequantur ZC, ZB; addita communi AZ, erunt AZ, ZCipsi AB aequales. Sed ΛΖ , TC majores sunt ,
aperiti. μ quRm AC. Ergo etiam ΑΒ major AC. Em I. I. dem modo erit ΑΒ major quavis alia.
Pars a. Duc TF. Latera CZ , ZA aequantur lateribus FZ , ΖΛ Angulus vero CZA major operio est angulo FZΛ. Ergo b basis CA major basi I r. FΛ. Fig. io. Pars 3. Duc Lin Duae Λ , QT majores ci φ' sunt , quam A L. Ablatis igitur aequalibus Zin ΕΟ remanet Ao minor , quam Ain Eodem modo AO minor erit quavis alia. Pars 4. Due ZR. Rectae A , & QT mino. M Pet 1i. res sunt d quam AR, RL. Ablatis ergo aequa-δ δε libus L , ZR remanet ΛO minor, quam AR,
86쪽
Liber Tertias . Pars s. pater ex quatuor praeced.
quam dua aquales ad ambitum duci possint,
id punctum centrum erit. Patet eX q. parti prop. I.
PROPOSITIO X. Circuli in duobus tantum punctis se mutuo δε- Fig. ra.
Secent enim si fieri potest in pluribus B,C,F,: Ex A centro circuli L Q dueantur ad B, C F rectae AB, AC , AF. Erunt hae aequales . Quoniam esego ex aliquo intra circulum OS puncto A ductae sunt tres aequales ad ejus peripheriam AB, AC, AF, Qxit Λ f centrum quoque circuli ΟS. Ergo eir. f νςεςvli L et , & OS se secantes habent idem ein P 'τxum, quod repugnat propositioni f.
I duo circuli se intus rogant, recta 'er eorum v Centra s A, IJ ducta transilit percontactum
Si negas , habeant, si seri potest, centra eum
ut recta per transiens cadat extra e -
Rctiun B secans circulos ino, & L, sintque cera E a tra
87쪽
Tlementorum Geometriaetra ipsa Λ, & C, ac junge AB, CB. Quoniam
igitur CB, Co aequantur, addita communi AC, ε Q. etiam AC, CB sequales erunt ΛΟ . Sed b AC, . rei dea CB sunt majores , quam ΛΒ , hoc est e quam circ. A L. Ergo etiam AO major est quam AL, pars toto . Quod est absurdum.
rie. , . circiat se tangant exterius , recta conjungens centra per contactum transibit. Si negas sint, si fieri potest, centra ita posita, puta in Λ, & B, ut recta per ipsa transiens per contactum S non incedat, sed circulos secet
sit heptimi maiores, quam tota AB, pars toto. Quod fieri non potest.
ij. Irculi ct sese mutuo, ct lineam rectam pun. a ritualiter tangunt. Tangant enim se intra si fieri potest duo circuli in parte circumferentiae CL. Per centra Λ , & Bs p., i,. ducta recta b transibit per contactum, puta in C. I. a. Ducantur insuper AL , BL. Quoniam igitur ceEhii. ' BL, BC aequantur sunt enim ex centro B ad peripheriam O L C addita communi AB, erunt ἡ ΑΒ, BL aequales ΑC . Sed AC est par AL, sunt enim ex centro A ad peripheriam QLC in . Ergo e iam AB, BL sunt aequales ΛL, contra 2 O. lib. T.
88쪽
Liber Tertias 6 Tangant se deinde exterius duo circuli, si fieri sae. i potest, in arcu o L. Recta AP centra A , & Pjungens d transibit per contactum , puta in D . . p. iii Ducantur insuper AL , PL . Erunt igitur duo l. a. trianguli latera AL, DL aequalia ipsis ΛΟ, ΡΟ,
seu toti AP, contra aci. lib. I. Denique recta BF, & circulus se tangant, si fie- Fig. iis ri potest, in parte aliqua CE. Ducantur ad cerutrum rectae CΛ , ΕΛ. Erunt igitur CA, EA sue quales, ac proinde triangulum C AE est isbsceles; quare e anguli ACE, ΛEC acuti. Ergo perpen- .pere dicularis ad BF ducta ex Λ centro cadet inter f C, rQi xx P.S E, puta in D. Erunt igitur tam AC, quam spere. AE aequales perpendiculari AD, quod est absum 3
dum contra Coroll. Iq. p. 3x. l. I. Corollarium.
CIrculi, qui habent centra in una recta, eam- Fig. r a. que secant in eodem puncto B , se mutuo in puncto illo B contingunt . Ceterum hac propositio liquet etiam ex notione L a linearum, qua comparantur. Neque enim antrecta linea, ct curva circuli peripheria, aut peripheriarum inaequalium diversa curvatura, aut duaconnexa secundum ullam sui partem possunt congruere . Congruerent autem. invicem in tota pam te aliqua tangerent.
Ex centro Λ ducantur AC, ΛF , item ΛΟ, ΑΙ
89쪽
ro Elementorum Geometria a me , ad angulos rectos ipsis BC , FL. Erunt a BC , FLI. a. bisectar in Ο , & I. Cum ergo totae BC, FL ponantur aequales, editam dimidiat OC, IF, adeoque & quadrata ipsa- .F., Tum sequantur. Jam vero quad. ΑC b aequale esti. i. ' 'quadratis CC, ΟΑ; & quadratum AF sequatur quadratis IF, ΙΛ . Cum igitur quadrata AC, AFaequalia sint, etiam duo quadrata OC, ΟΑduibus IF, ΙΛ aequalia erunt . Ablatis igitur quadratis DC, IF quae ante ostensa sunt aequalia
quae remanent, quad. ΟΛ , IA aequalia erunt . Ergo etiam perpendiculares ΟΛ,IA sunt aequa- .F., 44sles . Ergo BC , FL aequales a eentro distantes, 4. l. . qualiter. Quod erat primum. E conver1o si distantiae ΟΛ , IA ponantur aequales , tunc ablatis quadratis rectarum arquaIitim ΟΑ , ΙΛ : Eodem discursu ostendetur, quadrata reliqua OC, IF fore aequalia, ac proinde a per j. & rectas OC, IF aequales esse, quae cum sint dsemisses rectarum BC, F L, etiam illae aequales
HLi. D EG rum circulo inscriptarum maxima es
diameter; -terarum ea major . qua centro propior.
, pisa LEm Au 3 major, quam AC. Λccipe ergo Λυ d a. Parum AC, di per D duc RS perpendicularem
90쪽
rare Tertius . 7s ad Ao, quae o par erit BI, junganturque ΛR, . pei AS , AX, AZ. Quia igitur Λ centrum est, erunt Pr Iatera AR, AS aequalia lateribus ΛX, AZ. Λngulus autem RAS major est angulo XΛZ. Ergo hasis R S , hoc est B Ι, major d est basi X L. a Per a . Quod erat demonstrandum. l. 3.
metri s CBJ perpendicularis est, rota cadit extra circulum, eumque tangit f in B. J Neque inter ipsam, ct circulum alia recta ad contarium
s B J duci potest, quin circulum secet.
Pars I. Aecipiatur in recta IBF quodvis pinctum L , ad quod ex centro A duc rectam ΛL. In trigono LAB, quoniam angulus ABL rectus est per hyp. erit ALB a acutus. Ergo AL op a Pereo. posita majori angulo ABL major est , quam Loi s. p. ΛΒ, quae minori ΑLB opponitur. Sed AB tan- Irεζ ,.
tum pertingit ad circumferentiam. Ergo AL ul- 1.1.tra circumferentiam porrigitur , ac proinde punctum L extra eirculum e1t. Tota igitur IF ex tra circulum cadit. Quod erat primum.
Pars a. Infra BF i sit fieri potest cadat RB tota extra circulum . Quoniam F B Λ rectus est Per hyp. erit RBΛ acutus; ac proinde ΑΒ non est perpendicularis ad BR. Ducatur igitur ex Λ ntro ad BR perpendicularis ΛΟ, quae cadet DPere versus R, & secabit circulum in Igitur ΛΒ , .i.i.' opposita majori angulo, nempe AOB recto, ma- , est, quam ΛΟ, quae opponitur minori, nempe acuto OBA. Sed ΑΒ par est A . ergo et Ao major est, quam ΑΟ, pars toto.