장음표시 사용
121쪽
et ex Elementorum Geometriae νεε ts. eonstr- tanget g quinque latera pentagoni. Quod
Pars a. In trigono CAB, quia anguli Ο, & Giam ostensi sunt aequales, erunt latera AC, AB. 2φν β h aequalia: eademque ratione aequantur etiam ΑΒ, ΛF, AE, AD ; ae proinde circulus centro Atransiens per B , transibit etiam per C, D, E, F. Pentagono igitur circuIum inscripsimus.& cincumscripsimus. Quod erat faciendum .
Fss. ia. FN dato circulo Hexagonum ordinatum describe
Ducatur diameter FAB. Centro B per centrum A describe circulum, qui datum secet in C, &D. Item centro F per A describe circulum, qui iscet datum in E, & G. Sex puncta B, C, E, F, G, D, rectis lineis connexa dabunt quaesitum. Ex centro A emittantur redita AC, ΛΕ , Α G, a rit i. AD. Patet triangula H, I, Μ, L, a esse aequitate. 1- λ- ra deinde quia anguli C Α Β , E A F singuli b
eoro. ii. essiciunt unam tertiam rectorum duorum , ae
proinde simul duas tertias , patet e EAC etiam You. p. esse unam tertiam duorum rectorum. Anguli ig 13 i. r. aur EAC, C AB aequales sunt: sunt autem & latera EA , AC aequalia lateribus BA, AC . Ergo 4 Per .. d basis EC basi CB, hoc est ut jam ostensum
in se radio AC .aequalis est. Quare etiam N aequitaterum est. Eodem modo ostenditur aequilaterum esse K. Quoniam igitur triangula omnia H, I, Κ, L, Μ, N aequilatera sunt, patet, latera singula
CB, BD, D G, GF, FE, EC aequari radio circuli AC, seu AB, ac proinde inter se. Hexagonum igitur
122쪽
: Liber ςuartus. IOIaequilatexum est. Est vero & aequi angulum, cum singuli eius anguli E, C, B, D, G, F constent duobus aequilateri trianguli angulis . Ergo Hexag num , quod circulo inseripsimus, es ordinatum.
a Angialus hexagoni ordinati est quatuor ter tiae unius recti , constat enim ex duobus angulis trianguli aequilateri, quorum singuli conficiunt dduas tertias unius Tecti . . .
3 Si ducatur insuper diameter PS perpendi, cularis alteri FB,& intervallo radii PA centris
P , & S sectiones fiant in R, & Ο, in Ο, & T; puncta P, L, R, F, O, G, S, D, T, B, Q, C rectis
Iineis connexa dabunt duodecangulum ordinatum una circini apertura circulo inscriptum. Id quod magno est usui in Gnomonica. Ex demonstratis elicitur etiam descriptio facillima trianguli aequilateri in circulo . Ductahumetro Fn centro B per A centrum describe arcum C AD . Puncta C,RD rectis juncta dant
123쪽
Η σηρηum ordinatum super data recta CR L
ia construes. Fac r triangulum CAB aequi. laterum supra datam CB. Centro A per B, ct C d scribe circulum. Is capiet hexagonum super daram CB. Patet ex propos cs corolL 1.
O adratum ex latere trianguli aquilateri triplumes quadrati ex semidiametro circuli, cui imsscriptum est, adeoque ad quadratum diametri es, m3 ad 6 . Ducatur semidiameter M. uuadratum aD quatur quadratis s FA, DA, re rectangulo FAXbis. Sed rectangui. FAX bis es par quadrato fomidiametri FA, seu DA snam quia AX, X3 aquales t sunt, recit angulum FAX bis aquatur is bus rectangulis, nempe sub O, AX, Osub FAEXB; hoc es rectangulo u FAB; hoc es quadrat, O . 3 Ergo quadratum triplum est quadrati
ex semidiametro . uuia autem quadratum totius diametri druplum X est quadrari O, patet quadratum Messe ad quadratum diametri ut 3 ad 4. Hinc sequitur latus aquilateri trianguli esse a d metrum, ut radix quadrata ternarii es ad a, radicem nempe quadratam quaternarii, ac proinis esse lineas incommensurabdes. PRO
124쪽
IN cireulo quindecagonum ordinatum describere . Fig. IsrCirculo inscribe a latus pentagoni AC, & triam a Per itigilliba quilateri latus AD. Arcum CD biseca in lς. E. E. CE est latus quindecagoni. rol. 4. P. Nam si tota peripheria statuatur esse Is, erit ar- 'i' 'cus AC 3 , & arcus AD 3, ac proinde arcus CD a, ideoque CE unum. Corollarium. HAc methodo innumerae figurae ordinatae cie. Fis Isἰculo inscribentur. Nam si duarum ordin tarum latera AC, AD circulo sint inscripta, a euum disserentia CD continebit tot latera novae figurae ordinatae, quot unitatibus disserunt denominato-TeS priorum. Denominator autem novae figurae habetur , si denominatores priorum inter se multuplicentur .
Ut si AD sit latus quadrati,& ΛC decagoni,
nominatorum disserentia est 6. Igitur arcus CD continet 6. latera figurae novat. Ea vero est 4o. Ia-terum . Denominatores enim Α, & I o inter se mubtiplicati faciunt 4O.
Nondum reperta ars est, qua solo circino, O re
gula inscribantur circulo figura ordinata lat rum 7 1 9, II, 13,ret, oec. Cum illa inscriptio β urarum dependeat a divisione circumferentia in pam te datas , qua etiamnum desideratur . Licebit immen , circuli circumferentia in 3εo partes divisa, echanice Muras quascunque ordinatas circulo imscribere hunc in modum
125쪽
xos Elementorum Geometria Problema I. .
G Ra i 36o s hoc es totam circumferentiam Idiside per denominatorem postgoni inscribem di s ex. gnaronari WJ :.quot unitatibus consat quotiens s o J tot graduum fac in centro angulum A . Erit AK latus figura quasita sanguia Icirculo inscribenda. , Problema 2.
AT super iata recta quamvis figuram ordis tam describes praesidio tabella sequentis; Angulus rectus es ad angulum Aura.
oporteat igitur super data recta o heptagonum ordinatum describere . Centro X describe circulum, a quo abscinde quadrantem EO. Vide in tabula quast proportio recti anguli ad angulum heptagoni, reper xs, ut 3 ad Io, ct disserentia est 3 . uuadram rem igitur partire in 7 aquales, quorum aviluc tot ipsi adde ex o in N, quot unitates habet diffrentia. Per tria puncta B- describe a circulum , hic capiet heptagonum data recta M. Tabella confecta est ope theorematis a. in schol.
126쪽
Liber Γuartus, Τροst 3 a. lib. I. quo reperitur numerus rectorum angulorum , quos e ciunt anguli cujuscunque rectilianet; qui numerus divisus per denominatorem figura exhibet de minatorem proportionis anguli figura ad
uuoniam vero de figuris ordinatis multa harit nus junt proposita , Miat hunc librum Procli cele-θre Theorema. Theorema.
TRes tantum figura ordinata , videlicet ε. triam gula aquilatera, ε. quadrara , 3. hexagona spatium replere possunt, hoc es unam continuam μ. perficiem constituere. uuod Ac demonstratur . Ut mliquasigura ordinata sapius repetita post replere mrium, requiritur, ut anguli plurium ejus sprete Amrarum circa unum punctum compositi possint conficere quatuor rectos tot enim circa unum punctum possum constitui, Wpater ex coroll. 3. pr. I 3. tib. X. m. v. ut triangula aquilatera psi ι replere spatium , requiritur, ut aliquot anguli talium triangulorum N, M, L, circa punct- A compositi mi. ij. sciant quatuor rectos. Atqui quatuor rectos e iunt ε. anguli trianguli aquilateri s nam unus facit --as tertias b unius redii, ac proinde 6. faciunt 12. spereo.rertias unius recti, hoc est 6. rectos δἰ item 4. an- Πγl. .P. guli quadrati , ut patet ; item 3. anguli hexagonis unus enim facis q. tertias c unius recti, ac pro' . per eo. inde 3. Detunt Ia. tertias unius recti, hoc es rum rol. a. P. μm q. rectos. J Ergo m. ' .
uuod autem id nulla alia figura pust , liquido
eonstabit, si angulum ejus repertum, ut jura, quo cunque numero multiplices Gemper enim aut deficiem - rem1, aut exsedent.
127쪽
Uanti momenti in Geometria sit scientia proportionum , nemo est Mathematicus , qui ignoret. Ea traditur ab Euclide t to quinto , ct sexto libro ..Sed quammis illi , caterjque Elementorum conditoribus plurimum debeamus ; in iis tamen , quae de propor tione tradiderunt , desiderari aliquid videtur . Di fmultas tota in desinitione s. lib. s. vertitur , ubi tradit Euclides , quid sit quatuor magnitudines esse proportionales, sive duas rationes easdem , smistes , aquales esse. Definit igitur duas rationes rumaequales dici,seu similes, quando antecedentia quocunque numero aequaliter multiplicata, consequentibus etiam quocunque numero aqualiter multiplicitis , semper vel Amul aqualia junt, vel simul mina perde-jora, vel simul minora. a Atque ex ea definitio elatita, ne Vmne .deinde 3. ,2 6. libri demonstrationes mindiate , vel immediate deducis . Haec doctrina Emclidaea summa es, qua multiplicem, ut dixi, dis
Inf. post sicultatem habet . Nam in primis certum es eadφιβε desinitione non naturam aequalium rationum , sed assectionem solummodo aliquam explicari . Deinde illa multiplicium proprietas adducitur , vel tamquam Aenum infallibile rationum aequalium , ut quandocunque ea demonstrata fuerit de quibusvis rationibus, inferre certo liceat , aquales easiesse gνel is sensus illius est, ut per magnitudines ean'
128쪽
Liber uuintus . Io dem rationem habentes nihil aliud intelligi velit, quam earum multiplices modo jam dicto excedere, ωel excedi . Si primum , demonstrare debuerat , eam a sectionem omnibus, O solis rationibus aqua ιibus inesse, ut ex ea rationum aqualitas certo p sis inferri. Id vero minime vulgare theorema est, quod neque Euclides , neque alius post Euclidem ullus demonoravit . Si secundum , securi quidem erimus de veritate theorematum in sensu definitianis acceptorum p minime tamen ex vi demonstrationum nobis constare poterit de absoluta rationum
qualitate Exemplum esto prima sexti . Certi e- rimus ex Euclidaia demonstratione , rationem re angulorum ABC , O DEF aequalem esse rationi basium A C, or D F , per rationum aequalitatem solum intelligendo dictam illam proprietatem multiplicium ; non colligemus tamen rationes illas tr angulorum basium rationibus vere, ct absolute a maies sis , cum demonstratum non sit, a sectionem
illam multiplicium cum absoluta , O vera rationum qualitate necessario est' connexam . Ouomodocunque igitur illa desinitio accipiatur , librorum s. ac 6. aemonstrationes vacillant , quamdiu d monstratum non fuerit, veram rationum aqualis
rem cum ea multiplicium proprietate semper esse connexam . Denique ut sibi constarent omnia , immen ille multiplicium labrrinthus mihι , aliisque
semper displicuit , ct 0ronibus plurimum semper
facessivis negotii, quorum ita plerumque mentes imtricat , ut exitum vix reperiant. uuare ut doctris nam proportionum, qua quasi medulla, atque an ma Geometria, ct universa Matheseos es, ab ea abe vindicemus, hac tria praestare conabimur.
Primo sendam libri quinti theoremata, qua ab Euclide per muctiplices demonstrantur, eo fere loco
129쪽
Dro Elementorum Geometria habenda esse, axiomata , ac proinde declara ruris potius suoinde aliqua , demonstratione egere. Ira proportionum cognitio, ille circuitus multiplicium di siem hactenus , ct perobscuram effecerat, plana , ct expedita reddetur. Secundo demonstrabimus, quandocumque antecedentium qualibet aque multiplices consequentium quibuslibet aquemultiplicibus vel pariter majores sunt , vel pariter minores , vel pariter aquales, tum rationes esse vere aquales, sim similes . έ- stabilito, Euclidaa demonstrationes, totaque illius de proportionibus doctrina subsistet , nostris probationibus contentus non sit , ad Eucliarias , quamvis prolixas, jam tamen jecuras , solidas se passi convertere. A gnab mus item , ac demonstrabimus proportionum aequalium aliud indiscium clarissmum , ac prim- , quo omnes quinti libri propositiones deducere poterit , ω
Planis . De proportionum denominatoribus , agor thmo , compostione tractatum subjungam peni. Horis Geometria studiosis plane necessarium, ubi εν iam demonstrabimus axioma illud, seu potius them
stema hae tenus indemonstratum, rationem extremo. m ex rationibus quotlibet intermediorum eo fi
Dmnibus satis erit definitiones, primam par
130쪽
Proportionum elementa faciliori methodo
a D Ars aliquota magnitudinis est, quae aliqu6 1 ties repetita magnitudinem metitur , sive
adaequat o Pars aliquanta, quae non metitur. 'Longitudo unius pedis est pars aliquot a longismdinis i ta pedum , quia illam decies repetita meritur . Longitudo vero pedum est pars aliquanta linea Io pedum , quia aliquoties repetita , nempe bis illam non adaquae , repetita Nero ter em
a Μagnitudo magnitudinis multiplex est, eum minor metitur majorem, ac proinde ejus pars msquota ess , sive cum major minorem aliquoties Continet praecise . 3 Ratio ,ssive proportio est duarum ejusdem generis magnitudinum mutua quaedam secundum quantitatem habitudo. Sunt igitur in omni proportione duo termini , quorum die Antecedens dicitur , qui primo nomi=ης- , sive is, qui nominandi casu efferaur, aster Consequens. Cum anteeedens , ct consequens sunt equales, proportio aqualitatis dicitur, cum inaquales, dici- esse proportio inaequalitatis. Ratio, seu proportio rationalis est, quae eX, M Jnter magnitudines commensurabiles , & nu