장음표시 사용
141쪽
Elementorum Geometriationem , hoc est adhuc erit AC ad CB , MFL ad LI. PROPOSITIO XVIII. SI antecedens unum s ACI sit ad eosquens mnum s CB, 3 ut antecedens alterum s I ad nsequens alterum Γυ; J etiam componendo erus cum CB J primum antecedens cum suo Confinente ad idem consequens s CB, J in s cumGJ fecuniam antecedens eu- suo consequente ad consequens s G. 3Rursum enim instar axiomatis assumi poterit es duae quantitates Λ C, FL eandem ad X, &Z habeant rationem, etiam AC, FL similiter, seu proportionaliter auctae pe gent ad X , & Teandem habere rationem : hoc est adhue erit ΛC se aucta ad X, ut FL sic aucta ad T. Id vero est quod propositio asserit . Nam ponitur AC esse
ad C B , ut F L ad L I . Quare si ipsis AC, FL addantur CB, LI; erunt AC, FL propo tionaliter , seu similiter auctae. Cum igitur AC, FL eodem modo se habeant ad CB, LI, etiam cum similiter fuerint auctae hoc est ipsae jam AB , FI pergent ad easdem CB , LI eodem modo se habere; hoc est adhuc AB erit ad CB. tit FI ad LΙ. Corellarium I. SI antecedens unum AB suerit ad eons quens s CB, ut antecedens alterum s FI ad consequens alterum Ll, ) etiam antecedens primum ΛΒ erit ad c AC excessum suum sepragonsequens, ut antecedens alterum s FI est ad
142쪽
Hac argumentatio vocatur conversio rationis. Corollarium
SI AC est ad AB, ut FL ad FI, erit quoque AC ad CB, ut FL ad LI; & ΛΒ ad CB,
PROPOSITIO XIX. . SI ut totum d es ad totum s H, I ita ab- Fia. ra. larum s J fit ad ablatam s LI; I etiam se totum est ad totum, ita reliquum s AC J eris ad reliquum s FL. JOmnino clarum est per se . Potest tamen ex Praecedentibus sic ostendi; quoniam Λ B est ad EI, ut C B ad L 1, erit permutando a ΑΗ ad aphiivi CB, ut FI ad LI. Ergo per conversionem raa i. s. tionis AB est ad ΛC, ut, FI ad FL. Ergo per- eor. i.
mutando e ut AB ad FI, ita AC ad FL. ' A. ir
143쪽
IN nostra methodo sunt super a. PROPOSITIO XXII.
SI fueris A ad B, ut O ad OB ad C, ut O ad
R, oesic deinceps erit ex aequo ut A prima a Cultimam , ita o prima ad ultimam R. Ponantur C, R, esse minores, quam B, Q; eadem . , laret Ostensio, si majores ponerentur . Quoniam
ων. i ad C , ut Q. ad R ; erunt C , R totorumn Qν partes similes. Cum igitur Λ , & O ad B, Ri., y eandem habeant rationem , habebunt quoque ad C , & R , quae sunt ipsorum B , & partes sim,
Ies, eandem rationem. Instar enim axiomatis est, si duae quantitates ad alias duas eandem inter se habuerint rationem, etiam ad partes earum similes eandem inaer se habere rationem. Si plures fuerint utrinque quantitates , quam tres , eodem ratiocinio procedainr ad res
Fig. I . fuerit ut A prima ad B secundam , ita O is prima ad Q secundam, O ut B secunda ad
C tertiam, ita tertia quapiam R ad primam O , erit ex aquo ut A prima ad C tertiam , ita Rtertia ad u secundam.
Ut B est ad C, ita opotest Q. esse ad aliam quam piam
144쪽
Liber uuintus. Pars L Taspiam S. Iam quia ut B ad C, sic ρ Rest ado, ut B ad C, ιρ sic uest ad S, erit Rad Ο, a ut ad S. Igitur permutando b R est ad in ut o S. Deinde , quia o est ad Q, ut fΛ ad B , &est ad S, t ut B ad C, ex aequo erit o ad S, e Λ est ad C . Sed jam ostendi R esse ad us ut est ad S. Ergo etiam d R est ad Q, ut Λ ad C.
Hocatuν a Geometris hac ratio perturbata
SI fuerit ut A ad B, ita C ad F , ct ut Iad B, ita Fig. is: L ad F, erit ut A cum I ad B. ita C cum L ad F.
Quoniam I per hyp. est ad B, ut L ad F, erit a Perquoque a invertendo B ad Ι, ut F ad L. Cum i i. Rh'l tur Λ sit ad B, b ut C ad F, &Bad I, ut Fad L, τ raex aequo erit c ut A ad I, sic C ad L. Igitur d eom- : ponendo ut AI est ad I, sic CL est ad L. I vero est l.s.Rd B, e tat L ad F. Rursum igitur sex aequo ΛΙ est ης yy ad B, ut CL ad F. . . V pdi
PROPOSITIO XXV. i s. SI quatuor magnitudines s AB, CF, I, L J fuerint Fig. is. proportionales, maxima L M, J ct minima s mduabus reliquis LG, G' Id majores erunx. Sit AB ad CF, ut I ad L. Ex maxima Λ B sumatur Λ aequalis I , & ex C F sumatur CR par minimae L. Erit igitur ΛΒ tota ad tOtam CF, ut ablata A ad ablatam CR. Ergo liqua QB est ad reliquam a RF, ut tota AB a per .d totam CF. Sed Λ B major b est, quam CP.
145쪽
ta s plementorum Geometria Ergo ct QB major, quam RF. Iam vero quia Ampsi I, & CR ipsi L aequales sunt, etiam Ad cum L ipsi I cum CR aequales erunt. Quare , si ad Α cum L addatur majus QB , & ad I cum CR addatur minus RF, erit totum AQB cum L maius toto I cum CRF. Quod erat de
uua sequuntur non sunt propositiones Euclidis , sed ex Pans Alexandrino , aliisque desumpta obfrequentem earum usum Euclidais subjungi solent. PROPOSITIO XXVI. Fig. 11. CI prima s AJ ad secundam s B J majoremo rationem habeat, quam tertia s C J ad quar ram F, J habebit inmertendo s B J fecunda ads AJ primam minorem m/ionem, quam L FJ qua'ra ad c C tertiam.
Quoniam ponitur Α habere ad B majorem riss Per a. tionem , quam C ad F. Igitur Λ ad O aliquam iv φη ς BX quae a major erit quam B in eandem habebit: Per io. rationem, qaam C ad F. Invertendo igitur erit
I. r. minori ratione erit, quam F ad C.
Fig. 17. cI A habet ad B majorem rationem , quam cI ad F, etiam permutando A ad C majorem rationem habebit, quam B ad F. Quoniam ratio Λ ad B ponitur major rati . ne C
146쪽
mer Quintus. Pars 1. M. ne C ad F, erit o ratio A ad aliam BX quae . . necessario infor est, quam a B aequalis rationi :-I.: aa x . Jam Igitur , permutando Λ erit αδ C MLε
ne, c quam B ad F. Ergo etiam Λ hst ad Cin: ης in maIori, quam B ad F. - : pes s. Idemsimiliter demonstrabitur de proportione minori. - -
f, C majorem rationem habet , Fig.ria in is componendo AC ad BC-strem ratronem habet, ad α.inioniam ponitur ΛΒ ad BC esse in maiori ratione, quam FI ad IL. Ergo o alia OB quae, rerne stario erit minor, a quam ΑΒ est in BC .
ut FI ad IL . Ergo b componendo DC est ad j x MBC, ut G ad IL . Ergo AC est ad BCi, τ' is i -
militer Gmonstrabisur de propontione minori. Φ' PRO
147쪽
PROPOSITIO XXX. CI AC ad BC majorem rationem habet , quam I FL, ad α convertendo habebit AC ad AB
minorem, quam ad M. Quoniam AC est ad BC in majori, quandi flo Per s. ad IL, erit dividendo a AB ad BC in majori, k per Σε. quam FI ad IL. Ergo invertendo b CB ad BAi- s- est in minori, quam LI ad IF . Ergo componen- exasa.1. do c CA est ad ΒΛ in minori, quam LF ad IE . PROPOSITIO XXXI. Fig. rs. AB ad C majorem rationem habeat , quam o F ad L, ct C ad L majorem rationem hibeat , quam I ad S, ct Iis Zeinceps, etiam prima AB ad ultimam L mmajorem rationem habebit, quam prima F ad ultimam S. Quoniam ΑΒ est ad C in majori, quam F ad , L Ergo alia o quaepiam OB quae necessario mi- a Per io. nor A erit, quam ΛΒ est ad C , ut Fad I. Et in quia C est ad L n majori, quam I ad S. Ergo C ad aliam quampiam L R quae erit necessario major, quam LQ est, ut I ad S. Igitur ex aequo
I OB est ad LR, ut Fad S. Ergo OB est ad L
a Per t. in majori, quam d F ad S. Ergo ΛΒ est ad L U et i s In Inullo majori, quam F ad S.
148쪽
. PROPOSITIO XXXII. SI AB ad C majorem rationem habet , quam Fig. Is. I ad Sa ct C ad L Q maiorem, quam F ad
I, etiam ex aequo habebit majorem rationem AB
Demonstratio eadem , quae praecedentis , sed
SI tota ad totam FI majorem ratio- Fig. αἰnem habuerit, quam ablata CB ad ablatam M , tota ad totam minorem rationem habebit, quam reliqua AC ad reliquam FL. Quia AB est ad FI in majori, quam CB ad
LI, erit a permutando etiam ΑΒ ad CB in m aperiri tori, quam FI ad LΙ. Ergo convertendo b AB i s est ad AC in minori , quam FI ad FL . Ergo i., '' etiam permutando c ΛΒ est ad FI in minori , . Pate. quam AC ad FL. eX27.1.s.
PROPOSITIO XXXIV. SI rationes A ad C, ct E ad Ο sunt aqua- Fig. lium rationum A ad B, & E ad F dupli
cata , aut triplicata, ct sic deinceps, aequales sunt etiam i a. Quia ratio A ad C duplicata est rationis A ad B, erit a ut A ad B, sic B ad C. Ob eandem causam erit ut E ad F, sic F ad Ο . Cum ergo sit ut A ad B, Pς se I sic
149쪽
x,u Elementorum Geometria Lib. V. Pars T.
sie per hyp. E ad F; & ut B ad C , sie F ad Ο nam ut B ad C , sie Λ ad B , hoc est E ad F, hoc est F ad U , igitur b ex aequo erit ut Λad C, M E ad O. DROPOSITIO XXXV.
SI rationes aquales A ad C , ct E ad O sivi duplicata, aut triplicata , ct fio deinceps ritionum A ad B, ct E ad F , etiam ha aequales
Si negas , sit ut A ad B , sic E ad aliam Linaequalem ipsi F, dc fiat ut E ad L, sie T ad X. Quoniam igitur rationum aequalium A ad B, di Ead T duplicatae o sunt rationes A ad C, &E ad X , etiam ratio E ad X aequalis erit a rationi Λ ad Ce hoc est per hyp. rationi E ad O. Ergo e sequantur Ο & X. Ergo patet etiam medias F, & T sequaIes esse . Ergo Λ est ad ut E ad F, seu T. Quod erat demonstrandum.
Ex eo diatorio assertimis directe illata es assertio.
150쪽
Suetiria per multiplices definitio aquatium rationum demonstratur, exhibeturque , ac demonis frabitar aliud magis immediatum, oe fa euiu sindicium aqualitatιι rationum .
PRoportionum elementis methodo nis fallor
eommodiori explicatis, reliquum est, ut quod fecundo loco promiseram, prasiare aggrediar. Hoc
igitur loco quod a nullo hactenus fabum demonstrabimus, nihiι assumendo, nisi quod per se
lumine naturali sit manifeseum, duas rationes in ter se aequales esse, quando antecedentsum qualia set aeque multiplices consequentium aque multipliacibus 'Nerisne vel pariter maiores, vel pariterminores, vel pariter aquales . cujus quidem n gotii eum satis ardua, atque prolixa sis demonstra-ο-ο, ut sa-reipsa cognoscemus, facile apparebit . prapostere egisse melidem, qui aqualitatis rati ηum primum, oefandamentate indicium sumi ν uit ex hac multiplicium indemonstrasa hactenus proprietate, cuius eam remota, ct obscura sit cum
Lemma I. QD ad B, ut c ad F ; anteceden. Hs,t-m C quati et aque m .hiplices I, Ommirum vel da a, vel triρla, ω sic deinceps. item consequentium B, F quia et aque multiplices L, R.